Введение в комлексные числа09.11.2018 11:19

Привет!

Выяснив, что многие знакомые программисты не помнят комплексные числа или помнят их очень плохо, я решил сделать небольшую шпаргалку по формулам.

А школьники могут что-то новое узнать ;)
// Всех кого заинтересовал прошу под кат.
Итак, комплексные числа эта такие числа, которые можно записать как

$x+iy$

Где x, y вещественные числа (т.е привычные всем числа), а i — число, для которого
выполняется равенство

$i^2=-1$

Кстати, -i в квадрате тоже дает -1.
Так что утверждение, что если дискрименант отрицательный, то корней нет это вранье.
А точнее оно выполняется на множестве вещественных чисел.

Т.е можем записать:

$z=x+yi$

x называется действительной частью, y — мнимой.

Это алгебраическая форма записи комплексного числа.

Существует также тригонометрическая форма записи комплексного числа z:

$z=r(cos ϕ + i sin ϕ)$

С введением, пожалуй, все.

Переходим к самому интересному — операциям над комплексными числами!
Для начала рассмотрим сложение.

У нас есть два таких комплексных числа:

$z1=1+2i, z2=3+5i$

Как же их сложить?
Очень просто: сложить действительную и мнимую части.
Получим число:

$z3=4+7i$

Все просто, не так ли?
Вычитание выполняется аналогично сложению.
Нужно просто вычесть из действительной части 1 числа действительную часть 2 числа,
а потом проделать тоже с мнимой частью.
Получим число

$z3=-2-3i$

Умножение выполняется вот так:

$z3.x=z1.x*z2.x-z1.y*z2.y$

$z3.y=z1.x*z2.y+z1.y*z2.x$

Напомню, x это действительная часть, y — мнимая.
Деление выполняется вот так:

$z3.x=(z1.x * z2.x + z1.y * z2.y) / (z2.x * z2.x + z2.y * z2.y) $

z3.y=(z1.y * z2.x — z1x * z2.y) / (z2.x * z2.x + z2.y * z2.y)
Кстати, поддержка комплексных чисел есть в стандартной библиотеке Python:

z1=1+2j
z2=3+5j
z3=z1+z2
print(z3) #4+6i

Вместо i используется j.
Кстати, это потому что Python принял конвенцию инженеров-электриков, у которых
буква i обозначает электрический ток.
Задавайте свой вопросы, если они есть, в комментариях.
Надеюсь, вы узнали для себя что-то новое.

UPD: В комментариях просили рассказать о практическом применении.
Так вот комплексные числа нашли широкое практическое применение в авиации
(подъемная сила крыла) и в электричестве.
Как видете, очень нужная вещь ;)