Проблемы современной записи математических текстов09.11.2018 11:19

В недавней статье товарищ KvanTTTподнял вопрос:

Можете пояснить что вам не нравится в современной записи (математических положений и) формул и как ее можно улучшить?

Я постарался ответить в одном комментарии, но размер текстового поля не позволил закончить выкладки. Данная статья — чрезмерно развернутый ответ.

Сразу скажу, материал холиварный. Местами слишком эмоциональный. Очень спорный. Слишком личный — часто основан на собственном опыте, небогатом, хоть и разнообразном. Пост касается школьных и университетских текстов учебников: у «профессиональной» литературы своя специфика, своя аудитория. Решения у проблемы в текущих реалиях нет. При этом, часть «моих» наблюдений задолго до меня высказывали такие авторитеты, как Кнут и Хэмминг; чуть менее популярные ребята даже запилили инструкцию «Как читать математику».

Итак, на мой взгляд, основные претензии не столько к записи формул, сколько к подаче материала. Причем, к подаче материала на практически всех уровнях образования, начиная со школы, и заканчивая передовой наукой. Начало текущей ситуации положил Евклид, заявивший про отсутствие царской дороги в математике. Царскую дорогу не проложили до сих пор. Евклид обходился, и мы сможем.
Первая проблема — значимость не показана. Еще один подарок от Евклида: «Дай вопрошающему грош, если он ищет выгоды, а не математики». Авторы начинают вводить определения, доказывать теоремы и творить прочую математику без объяснения зачем оно вообще нужно. Пример: учебник по математическому анализу от Фихтенгольца. Почитайте первую главу: «из школьного курса вы знаете про рациональные числа, но потребности математики понуждают нас ввести вещественные…» и понеслась. Какие потребности, какой математики, чем не устраивают рациональные — да пес его знает. «Очевидно».

Или другой пример из того же учебника. «Постоянное число a называется пределом варианты $x=x_n$ если для каждого положительного $\varepsilon$ сколько бы мало оно ни было, существует такой номер N, что все значения $x_n$ , у которых номер n>N, удовлетворяет равенству $|x_n - a | < \varepsilon$ .»

Большинство студентов не понимает определения выше, но через полгода привыкает к нему. Еще больше студентов даже к концу обучения не осознает, зачем им было нужно понятие предела последовательности. Аналогично для функций, интегралов, рядов… Фихтенгольц описывает какие-то математические объекты, иногда дает частные примеры — и все. Ну да, сейчас мне понятно, что пределы нужны, например, для корректного описания верхних/нижних сумм при введении интегралов, но до интегралов еще два семестра!

Или определитель, определяемый как кососимметрическая полилинейная функция. Ребята, вы это серьезно? Единственный адекватный ответ студента-первокурсника на такой определение «и что»? Выгода какая с этого определения? Не спорю, выгода есть, но всякий ли первокурсник может её осознать?

Ложное решение проблемы: история вопроса. Проявляется на всякого рода конференциях. «Проблему поставил Иаков, исследовал его ученик Авель, и ученик ученика Каин, и сто-пятьсот воплощений Вишны». В чем суть проблемы, почему её решал первоначальный автор, почему так важно убивать на неё профессоро-часы — опускается.

Следующая проблема — авторы не ставят реальных проблем

В принципе, схожа с предыдущей. Вспомните курс теории вероятностей. Какие там преобладают задачи? «В корзине лежат 25 черных и 10 белых шаров…». Казиношные примеры, карточные, D&D, экономические — не, не слышали. Мы будем использовать максимально политкорректные примеры, хоть теория вероятностей выросла из исследований игры в кости.

Про живые примеры недавно писала Free_Mic_RS

Я преподавала статистику и фин.анализ…

Я преподавала статистику и фин.анализ у относительно гуманитарных ребят. Это было довольно сложно — видеть 30–90 пар пустых глаз. Меня саму начинало мутить от их беспросветного непонимания индексов, показателей и формул. Но, конечно, сообразительные ребятки были, и вот однажды я услышала, как один парень объяснял что-то сокурсникам: «Да вы уловите суть! Вы пришли в клуб и думаете, что все девушки там, как Анджелина Джоли. Идёте, а там у первой ноги короткие, у второй короткая стрижка, у третьей пятый размер, у четвёртой — нулевой, у пятой есть парень и т.д. И ни одна не Джоли, но из них её собрать можно. Но в целом это молодые девушки, с которыми можно приятно провести время. И вот то, насколько они далеки от идеала, определяет качество вашей вечеринки. В этом суть дисперсии — отклонения кучи циферок от самой главной циферки». Это было прекрасно, живо и весело. Я взяла опыт на вооружение и уже через неделю у нас был проектор с интересными презентациями и примерами, а аудитория не тупо записывала под бу-бу-бу и стук мела по доске, а искала примеры. Это была лучшая сессия за 2 года.

Математика начинается с задачи. И мертвые, однобокие задачи оставляют впечатление, что теор-вер только с ними и работает. Намерение авторов благое: дать пример, а потом перейти к общему. Абстрагировать от примера. Но несколько «живых» примеров сделали бы переход к абстракции гораздо полезнее. По крайней мере, я свято верю, что обратный процесс (переход от абстрактного к частному) проходил бы гораздо проще.

Проблема: излишняя краткость и непоследовательность

Помните школу? А формулу дискриминанта? А как она доказывается/выводится? Один из способов: чисто алгебраический. Берем уравнение $ax^2 + bx = -c$ , «Умножаем каждую часть на $4a$ и прибавляем $b^2$ » (почему именно на эти значения? ), еще немного трансформаций — и готово. После дискриминанта ученикам дают дискриминант-для-четного-b. А потом формулы Виета. А ещё полные квадраты. И кучу примеров. И далеко не всегда объясняется, зачем нужны все эти методы.

А теперь представьте ситуацию, ученику говорят: «сегодня мы научимся решать уравнения с $x^2$ . Любые.» И начинается серия примеров с усложнением.

$x^2 = 4\\ x^ 2 = 9\\ x^2 + 2x + 1 = 1\\ x^2 + 2x + 1 = 4\\ x^2 + 2x + 1 = 9\\ 4x^2 + 4x + 1 = 9\\ 4x^2 + 4x + 5 = 13$

Очень много примеров, которые органично приводят к решению уравнения через полные квадраты. Потом уже можно вводить дискриминант (как простой алгоритм для решения уравнений, когда ученики устанут выделять полные квадраты), и Виет с четным дискриминантом как «ноу-хау».

Схожий подход используется в учебниках. Увы, не во всех. И не везде видна четкая последовательность. По слухам, некоторые авторы теряли листы черновиков в трамваях, а потом заменяли утерянные куски выражениями вроде «легко показать, что…». В итоге, вместо спокойных прыжков с примера на пример, студенты были вынуждены перепрыгивать через пропасть. Сколько людей сорвалось и еще сорвется за 10+6 лет обучения в школе/ВУЗе?

Личный пример (просили в оригинальном посте). На первом курсе матана я страдал. Спокойно решая примеры, совершенно не усваивал теорию. Попросил однокурсника о помощи с вычислением длины кривой через интеграл. Тот взял бутылку пива, нарисовал рандомную кривую, спрямил бесконечно малыми отрезками, выделил один такой отрезок, достроил его до треугольника dl, dx, dy, и спросил: «Теорему Пифагора помнишь»? Дальше все было просто.

Я его спросил:, а почему такое не показывают на парах/в учебниках? Он показал пару контрпримеров, объяснил зачем нужен формализм в матане — и у меня попёрло. Я просто читал теорему, выделял главное, писал/решал тривиальные примеры, потом разбирался с формализмом — и реально понимал, о чем идет речь.

Я не знаю, можно ли массово использовать подход общий обзор => контрпримеры => формализм. Не знаю, сколько и какой теории/практики нужно набрать студенту до «прорыва», с трудом представляю себе, как ставить педагогические эксперименты на эту тему, и сколько труда придется вложить в исследования. Но память о том объяснении живет уже 10 лет. И спустя все эти годы я стараюсь слушателям сначала дать общую картину, потом показать проблемы, и потом уже погружаться в детали.

Вы скажете, мои персональные ощущения могут быть ошибочными. Помимо них у меня есть только аналогичные идеи от Хэмминга:

… я мог изучать, какие методы были эффективны, а какие нет. Посещая встречи, я уже изучал, почему некоторые работы запоминают, а большинство — нет. Технический человек хочет дать очень ограниченную техническую лекцию. Как правило, аудитория хочет широкую лекцию общего характера и хочет гораздо больше общего обзора и введений, чем желает дать спикер. В результате многие лекции неэффективны. Лектор называет тему и внезапно ныряет в детали. Мало кто может уследить. Вы должны нарисовать общую картину, чтобы рассказать, почему это важно, и затем медленно развернуть эскиз того, что было сделано. Тогда большее число людей скажут: «Да, Джо сделал это» или «Мэри сделала то, я действительно вижу, о чём это. Да, Мэри дала по-настоящему хорошую лекцию, я понимаю, что она сделала». Как правило же, люди дают очень ограниченную, безопасную лекцию; это обычно неэффективно. Кроме того, многие лекции переполнены информацией…

Идеи россыпью

Должен заметить, мой опыт в преподавании крайне ограничен. Возможно, вы заметили, что я ограничился школьной программой и матанализом. Увы, это те области, где у меня была возможность соприкоснуть теорию с практикой. Я до сих пор не понимаю сути определителя в алгебре, не осознаю проективную геометрию, и лишь полгода назад начал проникаться матрицами (сразу после практики, ага). Неплохая иллюстрация поговорки «теория без практики мертва».

Как мне рассказывали, в НМУ новый концепт всегда вводился с десятком вопросов. А что если так? А если этот пункт условия не выполнен? Что нужно, чтоб дополнить наш концепт до полугруппы? Слушателям давали поиграть с предметом. Привыкнуть. Думаю, над опытом НМУ стоит хорошенько задуматься.

Наверняка в высших разделах математики подход «сначала пример, потом абстракция» не сработает. Так, примеры «на бумажке» никак не помогают осознать RSA. Зато растущее время работы программы с увеличением длины ключа помогает прочувствовать чисто практические аспекты.

Есть опасение, что «идеальные/тепличные» школьные учебники приведут к шоку при работе с «вышкой». Вроде как, «хардкорщика надо воспитывать смолоду».

Довольно сложно разрабатывать курсы, надеясь что студенты уже что-то знают. Чем больше требуемая база, тем больше вероятность, что что-то из базы студентом недопонято.

Говорят, пик формы математиков — 30 лет. После 30 уже можно нагружать их писать учебники, дав в напарники спеца методиста.

Текущие технологии позволяют писать тексты командой, используя git. На хабре недавно проскакивала статья про компиляцию TeXa в pdf в процессе CI. Уверен, авторский коллектив с хорошим инструментарием может писать гораздо более качественные учебники.

Помимо профессоров, учителей, студентов и школьников в математике есть государства. И регламенты. И требования. И сертификации. Все это влияет на учебники, авторов, преподавателей, и качество подачи материала.

Как можно улучшить подачу материала в математических текстах

В текущих (российских) реалиях — никак. Энтузиасты есть, профессионалы есть, мотивации нет.

У профессоров математики хватает своих задач, чтобы писать учебники. Иногда не хватает чисто гуманитарных скиллов, писать книги в университетах не учат. Плюс, профессиональная деформация: «очевидное» для профессора может быть неподъёмно для студентов. Учителя математики загружены текучкой. И бумагами. И репетиторством. Про государство промолчу. Почти не сталкивался с его представителями, так что говорить нечего. Разве что, упомяну политику замену учебников каждые три года. После школы я хотел сдать свои учебники в библиотеку, мне сказали «они старые, нельзя их хранить». Мотивации писать хорошие учебники такой подход не добавляет.

Иными словами, от системы образования лично я позитивных подвижек не жду. Надеюсь, конечно, но не жду. Что выручает — проблески ИТ и прочей инженерии. На одной из математических конференций я получил от одного из участников книгу по компьютерной графике. Автор работал в конторе, разрабатывающей графическое ядро какой-то чертежной системы, и материал был вполне неплох. Математика была не «чистая», прикладная, но сам факт существования хорошего учебного материала безусловно радует.

Еще один подход: преподаватели от компаний, работающие в ВУЗах. Математических текстов от этих ребят ждать не приходится, специфика не та. Разве что, геймдевщики соберутся написать мануал по теорверу, или графики напишут про алгебру/геометрию необходимую для разработки тех же САПРов (если такие проекты есть — зовите).

Наконец, есть различные негосударственные образовательные платформы, вроде той же Coursera. Эти ребята могут все, ибо работают за деньги, конкурируют, быстро получают обратную связь. Но у них свой недостаток: формат подачи данных иной. Непосредственно текстов они не пишут.

И к чему все придет в будущем?

Самому интересно. Может, всё останется как есть. Может, будет уход от текстов в математике. А может, авторы проникнутся идеей «продукт текст должен быть удобным для клиента читателя», и силами первопроходцев удастся таки переломить традицию. Тогда лет через 30–50–100 у нас появятся учебники, понятные большинству читателей.

Upd1. Вставил фото с вычислением длины участка кривой.

Upd2. В комментариях часто упоминают, что текст посвящен проблемам преподавания, а не профессиональной математике. Причина проста: большая часть виденных мною «профессиональных» работ в плане подачи материала не отличается от учебников. При этом, школьная\университетская литература известна большинству на хабре, а «профессиональная» — процентам.