5 наиболее красивых задач с экзамена в Школу Анализа Данных от Яндекса16.12.2024 19:15

Школа Анализа Данных бесплатный проект дополнительного образования в области Data Science и Big Data, можно сказать в РФ остается лидером по качеству курсов и преподавателей. Такой же уровень ШАД требует и от студентов: абитуриентам нужно пройти 3 этапа вступительных испытаний, где спрашивают математику и алгоритмы. Сам же я занимаюсь подготовкой к ШАД ни один год, поэтому в этой статье хотел бы поделиться своими любимыми задачами со вступительных испытаний разных лет, которые мне кажутся наиболее красивыми.

Задача 1

Найти f^{(319)}(0), если f(x)=\frac{x^2+17}{x^4-5x^2+4}.

Пояснение: то есть просят найти производную 319-го порядка в нуле.

Прежде, чем открывать решение обязательно подумайте самостоятельно!

Решение

Задача 2

Показать, что у целочисленной матрицы не бывает рациональных нецелых собственных числе.

Подсказка

Вспомните, как ищутся собственные числа \lambda матрицы А: из уравнения det(A - \lambda E) = 0.

Решение

Задача 3

Алиса и Боб подбрасывают правильную монетку (вероятность выпадения орла 0.5). Алиса подбрасывает ее n раз, а Боб — n+1. Найдите вероятность того, что у Боба будет больше орлов, чем у Алисы.

Решение

Пусть Алиса и Боб кинули монетку по n раз. Обозначим вероятности возможных событий следующим образом:

  1. У Алисы выпало больше орлов, чем у Боба — p .

  2. У Боба выпало больше орлов, чем у Алисы — p (вероятности равны из-за симметрии, монетка честная).

  3. У Алисы и Боба одинаковое количество орлов — 1-2p (сумма вероятностей (1), (2), (3) должна равняться 1).

    Есть только два возможных случая, в которых у Боба, после того как он подбросил монетку в n+1 — й раз, орлов будет больше, чем у Алисы:

    1. У Боба было больше орлов, чем у Алисы, и после (n+1) — го броска соотношение не поменялось, вероятность — p.

    2. У Боба и Алисы было одинаковое количество орлов и в n+1 — й бросок выпал орел, вероятность — \frac{1}{2}(1-2p). Поскольку два последних события несовместны, искомая вероятность равна

      p+\frac{1}{2}(1-2p)=\frac{1}{2}.

На самом деле мы здесь просто воспользовались формулой полной вероятности:

P(A) = P(A | H_1)P(H_1) + P(A | H_2)P(H_2) + P(A | H_3)P(H_3)

где H_1, H_2, H_3 — несовместные события, выше мы их обозначили как (1), (2), (3).

Задача 4

Пусть X_1, X_2, \ldots, X_n — независимые одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием a и дисперсией \sigma^2, принимающие положительные значения. Пусть также m < n. Найдите математическое ожидание отношения:

\frac{X_1+\ldots+X_m}{X_1+\ldots+X_n}.

Решение

Задача 5

Решите уравнение:

\lim_{n\to \infty}{\cos(nx)}=1Решение:

Автор статьи: Владислав, ex-преподаватель ШАД; основатель сообщества «Поступашки — ШАД, Стажировки и Магистратура». Для связи: Телеграм @Postypashka

© Habrahabr.ru