[Из песочницы] Противоречие — формула, ложная в любой интерпретации
Вернемся к этим выводам немного позже.
Пока же зададимся вопросом. Найдется ли такой предикат P, что о каждом элементе этого множества будет верным сказать (X — P), где Х — элемент множества? Другими словами, для каждого ли множества можно найти характеристическое свойство P (X)? Да, для каждого. В самом деле, уже с первого класса в школе учат как считать элементы множества. Например, для множества {дог, лайка | собака} можно сказать, что (дог — собака), (лайка — собака) и собак две. Здесь предикат — собака. А для множества {собака, слон, кошка | животное} этим предикатом будет «животное». Каким же наиболее абстрактным это P может быть? Этим наиболее абстрактным P является понятие «быть». Если сравнить такой подход с диаграммами Венна, то видно, что диаграммы Венна являют собой вид сверху, а подход «элемент множества — предикат» представляет вид сбоку. Причем они могут быть выражены как X=F (P), где F — функция, преобразующая однозначно предикат в элемент множества. И для каждого элемента множества она своя.
Но можно поставить вопрос иначе. Что общего между различными элементами множества? Общее между элементами множества то, что каждый из различающихся попарно элементов «равен себе», т.е. выполняется (Х = Х). Итак, «быть» и «равняться себе» суть одно. Поэтому формулируем: (существует Х) = (Х = Х). Отрицание же по отношению к (Х = Х) дает (Х ≠ Х). Имеем: (не существует Х) = (Х ≠ Х).
Может возникнуть вопрос трактовки понятия «существует». В математике принято понятие «существует» отождествлять с квантором существования. Квантор же существования есть «по крайней мере один». Нет сомнений, что «по крайней мере один» с квантором существования суть одно. Но как быть с «существует»? Тождественны ли понятия «существует» и «существуют»? Нет. Понятие «по крайней мере один» — это «один или более одного». Но тогда «один или более одного» — то же самое, что «существует или существуют». Допустим, имеется множество {Х2, Х1 | Х}. Исходя из этих соображений можно сказать, что (существует Х2) = (Х2 = Х2), (существует Х1) = (Х1 = Х1) и что в множестве {Х2, Х1 | Х} имеется «два P», где (P есть Х), а (Х2 ≠ Х), (Х1 ≠ Х).
В этом примере элемент множества и предикат — не одно и тоже. Но возможно такое, что элемент множества, если он — единственный элемент, и характеристическое свойство (предикат) — одно: {X | X}.
Как же тогда относиться к тому, что множество не может быть своим элементом, ведь такой подход допускает Х = {X}? Так, если попытаться опровергнуть это таким образом, что «содержит ли множество, которое не содержит себя?», то это равносильно тому, чтобы сказать Х = {не, Х}. Противоречие здесь возникает не потому, что множество и элемент множества не могут быть равны, а потому, что делается попытка отождествить два или более элементов множества с одним из этих элементов.
Грегори Чейтин как-то сказал по поводу выводов Геделя [Столетие противоречий в основаниях математики]: «Таким образом, идея состоит в том, что мы или доказываем ложное утверждение, что является для системы ужасным (она противоречива), либо мы имеем что-то не столь ужасное, но все же плохое, потому что в этом случае наша формальная аксиоматическая система неполна». Но может стоит выбрать иной путь? Может стоит формулировать всё в терминах полноты системы, даже если противоречие, т.е. ложная в любой интерпретации формула, допускается? В конце концов, не начинается ли математика с таблиц истинности, где ложь является таким же логическим объектом, как и истина? Необходимо же как-то выражать то, чего нет! Вот, формула (нет Х) = (Х ≠ Х) именно это и делает.
Такая логика, кстати говоря, позволяет интерпретировать летящую стрелу (один из парадоксов Зенона) с точки зрения сменяющих друг друга состояний: (А есть, В нет, С нет) → (А нет, В есть, С нет) → (А нет, В нет, С есть), где А, В, С — состояния стрелы S. А что есть состояние? Сошлемся на С.И. Дронина [Квантовая магия]:
Выводы? Во-первых, стрела S (говорим о сущности) — одна, поскольку (одно S) = (S = S). Во-вторых, каждое из ее состояний также одно: (одно А) = (А = А), (одно В) = (В = В), (одно С) = (С = С). В-третьих, переходы из состояния в состояние, когда нет ни того и не другого состояния, может быть выражено (на примере перехода А→B) следующим образом: (нет А) = (А ≠ А), (нет А, нет В) = (А = В), (нет В) = (В ≠ В).
Что представляют собой (есть А) = (А = А), (нет А) = (А ≠ А) в терминах квантовой механики? Суперпозицию |1> + |0> чистых состояний системы А. Считается, что магия КМ начинается с понимания принципа, что система может находиться в различных состояниях одновременно (несепарабельность есть не-отделимость)! В случае смешанных состояний это означает, что состояние А стрелы S — то же самое, что состояние В стрелы S: (нет А, нет В) = (А = В).
В кибернетике, если наблюдается система S, в которой происходит смена состояний (А→B→C), то она (система S) не замкнута. И она (система S) будет замкнутой, если последнее состояние переходит в одно из своих предыдущих состояний. Например, таковыми будут: (A→B→C→C) или (А→B→C→B). Можно ли преобразовать не замкнутость в замкнутость? Можно. Имеем систему S: (A→B→C→нет_S→нет_S).
Выводы к сказанному. Состояние системы (преобразования) суть само преобразование. Такое видение позволяет описывать иерархию систем. И выразить изменение чего-либо без привлечения формулы, ложной в любой интерпретации, попросту невозможно.
