[Из песочницы] Модель развития типической эпидемии COVID-19
Эта публикация о наипростейшей математической модели развития эпидемии, имеющей всего два параметра, которая адресована всем тем, кто хочет узнать, что будет окружать нас и наших соседей завтра, через неделю, через месяц или два. Заранее благодарен тем, кто, насладившись моделью, обнажит ее пороки и поможет сделать ее лучше.
Вступление. Несколько слов о полуголых числах
Оценивая развитие эпидемии следует помнить, что ее развитие определяется количеством носителей вируса, а проявляется через число подтвержденных диагнозов. Эти величины нетождественные. Мы можем только предполагать, что число носителей вируса в инфицированном обществе прямо пропорционально числу подтвержденных диагнозов. Коэффициенты пропорциональности могут различаться как в автономных областях одной страны, так и в разных странах.
Источники официальной и неофициальной информации о легочном заболевании, которое ВОЗ назвал COVID-19 [5], постоянно сообщают подтвержденные случаи, когда люди были положительно протестированы на Sars-CoV-2. Но эти цифры ничего не говорят о том, сколько людей в разных странах на самом деле несут или несли в себе вирус, а также о том, сколько болеет или до настоящего времени заболело COVID-19, вызванной вирусом.
Истина заключается в том, что мировая общественность (пока) не знает, насколько высока темная цифра заболеваний. Проблема в том, что тестирование на Sars-CoV-2 аналогично привычному для водителей тестированию на алкогольное опьянение. Тестирование происходит в два этапа. На первом – берется проба, обрабатывается согласно стандартной процедуре и определяется концентрация в пробе некоего вещества-свидетеля, присутствие которого скорее всего связано с заражением Sars-CoV-2, или, как в случае с водителем – связано с опьянением. Обеспечение этого этапа поддается унификации и даже стандартизации, как в случае «промилле». ВОЗ обеспечивает этот этап путем аккредитации эталонных лабораторий по всему миру [5]. Российский Госстандарт также выдает свидетельство о поверке алкотестеров. Но на следующем этапе, этапе интерпретации результата измерения концентрации вещества-свидетеля, начинается область ответственности национальных властей. Власти, также, как и с промилле, устанавливают национальные правила подтверждения диагноза COVID-19 на основании превышения установленного властями порогового уровня концентрации вещества-свидетеля в пробе. Никакого соглашения между странами относительно такого порогового уровня нет и никакого международного сличения подтверждения диагнозов также не было.
Из этого можно сделать вывод, что число носителей вируса может быть оценено в лучшем случае грубо. По этой-же причине не имеет смыла сравнивать абсолютные числа подтвержденных диагнозов в разных странах и строить умозаключения по результатам деления числа диагнозов на число граждан.
Пожалуйста, всегда имейте в виду эти неопределенности при интерпретации полуголых чисел.
Принципы развития эпидемии
Согласно фундаментальному Курсу дифференциального и интегрального исчисления Г.М. Фихтенгольца, пытаясь описать развитие пандемии COVID-19, мы описываем обыкновенную варианту – или функцию времени, отражающую последовательность ежедневных значений характеристики развития эпидемии (или пандемии – кому как нравится). Мы получаем оценки значения этой функции в виде случайной выборки – тех чисел, которые ежедневно приносят отчеты о числе новых подтвержденных диагнозов, числе умерших или выздоровевших. Наша задача – найти закон изменения функции (или варианты по Фихтенгольцу) со временем (день за днем) по результатам случайной выборки. Цель такого поиска – найти надежную основу для прогноза развития эпидемии. А область применения результатов – принятие обоснованного решения, например, о том, когда уже можно будет поехать с подругой в Плес на Волгу или о том, когда-же наконец властям можно будет снять карантинные мероприятия в стране и можно будет приглашать иностранных коллег на симпозиум. К сожалению, от того как развивается эпидемия, сейчас так много зависит в нашей жизни.
Интересующая нас функция – зависимость суммарного числа носителей Sars-CoV-2, или пропорциональное ему число подтвержденных диагнозов COVID-19 от времени. Это неубывающая функция: сегодняшнее значение функции должно быть больше или равно тому, которое было вчера. Такая функция является отражением самого общего закона развития эпидемии [5, 6]. В его основе лежат три принципа.
Принцип пропорциональности. Суточный прирост числа носителей вируса в инфицированном обществе пропорционален суммарному числу носителей вируса, возникших за все предыдущее время развития эпидемии.
Принцип независимости. Относительный суточный прирост числа носителей вируса не зависит от суммарного числа носителей вируса, возникших за все предыдущее время развития эпидемии.
Математическое выражение закона развития эпидемии, отвечающего этим принципам, элементарно:
N(n+1) = N(n) + f(n)×N(n) = N(n)[1+ f(n)],
где N(n) – число носителей вируса в n-й день развития эпидемии, например, сегодня, N(n+1) – число носителей вируса в n+1-й день развития эпидемии, то есть завтра, и f(n) — относительный суточный прирост числа подтвержденных диагнозов, который является «фактором воспроизводства эпидемии».
Функция f(n), как «фактор воспроизводства эпидемии» в инфицированном обществе, которую я описывал в [1,2], является главным показателем распространения вируса во время эпидемии. Фактор воспроизводства полностью определяет развитие эпидемии и является полным аналогом ставки банковского вклада, которая в свою очередь является фактором воспроизводства денег на срочном вкладе:
- Если f(n) растет со временем, то эпидемия прогрессирует, и суммарное число бывших и настоящих носителей вируса растет все быстрее и быстрее, как росли бы деньги на банковском вкладе, если бы банк изо дня в день повышал процентную ставку;
- Если f(n) не изменяется со временем, то эпидемия развивается, но медленно, как растут деньги, положенные на счет с неизменной процентной ставкой;
- Если f(n) уменьшается со временем, то эпидемия развивается, но все медленнее и медленнее, как растут деньги, положенные на счет в банке, который постоянно снижает процентную ставку;
- Если f(n) равна нулю, то эпидемия закончилась. Все кончено и суммарное число носителей вируса больше не растет.
Как и деньги на срочном банковском вкладе, суммарное число носителей вируса в инфицированном обществе, которое мы оцениваем количеством носителей вируса, растет как
N(n+1) = N(n)[1+ f(n)],
N(n+2) = N(n)[1+ f(n)] × [1+ f(n+1)],
N(n+3) = N(n)[1+ f(n)] × [1+ f(n+1)] × [1+ f(n+2)],
и так далее.
В условиях управления развитием эпидемии, вид функции воспроизводства эпидемии определяется действием нескольких факторов [1-7]:
- Случайными изменениями вируса вследствие мутаций, сопровождающих воспроизводство вируса в организме носителя вируса;
- Действиями медиков, которые с помощью тестирования определяют носителей вируса в инфицированном обществе и не допускают дальнейшую передачу вируса, ограничивая контакт установленного носителя с окружающими;
- Действиями властей, которые с помощью карантинных мер ограничивают возможность контакта неустановленного носителя с окружающими.
Имея в виду случайность и независимость процессов образования мутаций, передачи вируса при контактах, следует ожидать, что в условиях неизменных мер управления эпидемией со стороны медиков и властей, типичная функция воспроизводства эпидемии будет иметь вид убывающей экспоненциальной функции времени с постоянными параметрами:
f(n) =B×exp(-Ax)
Развитие любого инфекционного заболевания характеризуется скрытым (латентным) периодом его развития от передачи вируса его носителем здоровому человеку до проявления симптомов заболевания и последующего подтверждения диагноза у нового носителя вируса. Поэтому изменение мер властей по управлению эпидемией или саботаж таких мер членами инфицированного общества не проявится в изменении числа носителей вируса мгновенно. Эти действия и вызванные ими видимые изменения, например, числа диагнозов или смертей, будет разделять промежуток времени, примерно равный латентному периоду развития заболевания. Отсюда вытекает третий принцип развития управляемой эпидемии.
Принцип последействия. Относительный суточный прирост числа носителей вируса с опозданием отражает меры по управлению эпидемией или их саботаж.
Наглядным примером действие этого принципа является дистанционное управление марсоходом. Оператор на Земле нажимает педаль тормоза, а аппарат на Марсе останавливается только через 3 минуты из-за конечности скорости распространения радиоволн.
Типическая эпидемия
Типической эпидемией является эпидемия, развитие которой подчиняется Принципу пропорциональности, Принципу независимости и Принципу последействия, а функция воспроизводства имеет вид убывающей экспоненциальной функции времени с постоянными параметрами.
В дальнейшем мы будем рассматривать число подтвержденных диагнозов как характеристику эпидемии COVID-19, пропорциональное числу носителей вируса Sars-CoV-2. Статистические отчеты ВОЗ [8] о развитии пандемии COVID-19 показывают, что во всех без исключения странах в истории развития эпидемии COVID-19 есть достаточно продолжительные периоды типического развития. При типическом развитии эпидемии для того, чтобы оценить число подтвержденных диагнозов через месяц, достаточно знать сколько их уже зарегистрировано на сегодняшний день и параметры функции f(n) на следующие 30 суток.
Рост числа подтвержденных диагнозов NД(n) в китайской провинции Хубэй, столицей которой является известный Ухань, по мере развития эпидемии представлен на рис. 1. Там же представлена зависимость f(n), именуемая относительным суточным приростом числа подтвержденных диагнозов. На первом этапе развития эпидемии скорость «воспроизводства» диагнозов в Хубэй быстро росла, но с 10-х суток f(n) начинает вести себя как падающая экспоненциальная функция с постоянными параметрами, и развитие эпидемии становится типическим.
В период 10-40 суток параметры экспоненциальной функции f(n) равнялись: А = 0.14604 1/сут. и В = 1.234. При этом 13 февраля случился кризис системы подтверждения диагнозов и их число за один день увеличилось почти на 17 тыс. [1,2]. При этом такой вброс новых диагнозов не привел к изменению параметров функция воспроизводства. После 40-х суток, на третьем, заключительном этапе развития эпидемии А = 0.324 1/сут. и В = 3.273.
Изменение параметров функции воспроизводства f(n) явилось следствием действий властей, направленных на усиление карантинных мероприятий, затрудняющих воспроизводство и передачу вируса. При этом, согласно Принципу последействия, эти действия и последующие изменения функции воспроизводства не происходили одномоментно. Их разделяет временной интервал, примерно равный 5-15 дням.
Примерно 10 марта величина относительного суточного прироста числа подтвержденных диагнозов опустилась ниже уровня 0.0001 1/сут. Китайские власти начали снимать карантинные ограничения и 15 марта официально заявили, что эпидемия COVID-19 в провинции Хубэй закончилась.
Рис. 1. Развитие эпидемии COVID-19 в провинции Хубэй (Китай)
Еще один пример типического развития эпидемии демонстрирует Швейцария. В Швейцарии (см. рис 2) зависимость функции воспроизводства f(n) от времени остается неизменной с 16 марта, на десятый день после того, как число подтвержденных диагнозов превысило критический уровень, равный 100 [1,2]. Развитие эпидемии COVID-19 – типическое. Параметры функции воспроизводства эпидемии: А = 0.0910 и В = 0.6443.
Рис. 2. Развитие эпидемии COVID-19 в Швейцарии
Устойчивое падение скорости воспроизводства эпидемии в Швейцарии отражает усилия властей и жителей в борьбе с эпидемией. Жесткие меры вмешательства китайских властей при полном подчинении этим мерам со стороны жителей позволили обеспечить быстрое окончание эпидемии. Либеральные карантинные меры властей в совокупности с полной поддержкой этих мер жителями позволили властям и жителям Швейцарии остановить эпидемию, но только к 80-му дню ее развития добиться результатов, которых провинция Хубэй достигла на 30 дней раньше, к 50-му дню.
Атипическая эпидемия
Есть страны, в которых и действия властей были малоэффективны, а их саботаж со стороны тех, кого власти должны защитить, и вовсе свел эти меры на нет. Такие страны являют примеры атипического развития эпидемии COVID-19.
<img src=«habrastorage.org/webt/mx/ql/b_/mxqlb_1v8ffbjmmcll_zryz8vuw.png» alt=«image» align = «center/>
Рис. 3. Развитие эпидемии COVID-19 в Иране
На рис. 3 представлена картина развития эпидемии COVID-19 в Иране. Сильная светская иранская власть за первый месяц развития эпидемии добилась больших успехов в управлении эпидемией. Но затем произошли два события, которые привели к катастрофическим последствиям. Следствие первого события – всплеск f(n) 24-31 марта. Если-бы всплеска не было, в Иране число подтвержденных на сегодня (25 мая) диагнозов было-бы около 30 тыс. вместо 135 тыс. Что было толчком, вызвавшим всплеск воспроизводства эпидемии? Такой толчок – это акт саботажа — грубое нарушение карантинных мероприятий, например, народное гуляние посреди периода самоизоляции. Как было показано ранее, время между актом саботажа и всплеском числа обращений за медицинской помощью должно составлять примерно 5 — 15 дней. Какие события массового нарушения карантинных мероприятий, связанные со скоплением людей, произошли в Иране за 5 — 15 дней до 24-31 марта? В календаре светских и религиозных праздников в Иране таких событий несколько: 8 марта День отца в мусульманских странах и День рождения имама Али; 10 марта — День традиционной курдской одежды; 21 марта – Навруз и 22 марта – Исрав-аль-Мирадж. День отца и Навруз – достойные поводы собраться, пообщаться (поцелуи – непременный атрибут радушной встречи на Востоке) и поспособствовать воспроизводству носителей вируса. Вслед за этими событиями светские власти Ирана власти снова установили жесткий контроль над развитием эпидемии, но 1 мая стало понятно, что контроль над эпидемией стал не эффективен. 18 апреля в Иране отметили День армии, которому 11 апреля предшествовало снятие многих карантинных ограничений [9]. Результат – частичная потеря контроля над эпидемией и безудержный рост числа подтвержденных диагнозов в мае.
Другим примером потери контроля над развитием эпидемии является ситуация в столице Австрии – прекрасной Вене. На рис. 4 представлена картина развития эпидемии COVID-19 в Вене.
Рис. 4. Развитие эпидемии COVID-19 в Вене
Как рассказывают венские жители, карантинные меры в городе свелись к прекращению работы офисов и предприятий, закрытию городских парков, музеев и всего, где люди могли вольно или невольно общаться, включая продовольственные магазины. Те, что продолжили работу были переполнены. На улицах полиция не допускала появления только пожилых жителей города. Все остальные должны были заботиться о своей безопасности сами. И люди отправились гулять в парки и леса, не имеющие ворот и заборов, которых много в Вене и окрестностях. Как результат – очень большая вариация f(n), указывающая не слабое управление эпидемией. После 14 апреля (Католическая Пасха) в Вене вообще началось что-то похожее на события в Иране после 1 мая. Функция воспроизводства эпидемии практически перестала изменяться. Ее выборка – метания вокруг 0.012 1/сут. Как результат – непрекращающийся рост числа подтвержденных диагнозов в течение последних 50 дней, аналогичный иранскому. К тому-же случился кризис системы медицинской помощи: после 4 апреля число больных встало на отметке 1500 человек, по-видимому, это максимум для Вены, а за два дня 16-17 апреля больных в Вене стало меньше на 1000 человек. Эту тысячу признали выздоровевшими. Как результат – в течение последних 40 дней число больных в Вене практически не меняется и остается на уровне 450-500 человек. Людей вылечивают, но им на смену сразу приходят новые и ничего не меняется. Ничего подобного в остальных 8 федеральных австрийских землях не происходило [6]. Если-бы власти удержали контроль над эпидемией в конце апреля – начале мая, ситуация могла развиваться как показывает красный пунктир.
В истории развития эпидемии COVID-19 в Москве, как и в России в целом, тоже случился саботаж. На рис. 5. Показано развитие эпидемии COVID-19 в Москве.
Рис. 5. Развитие эпидемии COVID-19 в Москве
Толчком, приведшим к всплеску функции воспроизводства эпидемии 30 апреля – 3 мая скорее всего были Пасхальные мероприятия в совокупности с заторами на входе станций Московского Метро в понедельник 15 апреля. Второе событие стало следствием введенного правительством Москвы ограничительного режима использования общественного транспорта. Власти Москвы вводили ограничения на пользование общественным транспортом в два этапа. С 25 марта был отменен льготный проезд в транспорте для пожилых и студентов. 11 апреля было принято решение о введении пропускного режима на транспорте с 15 апреля, сразу после Пасхальных мероприятий. Скопление людей в церквях и на входе в метро стало толчком (саботажем?), приведшем к всплеску функции воспроизводства эпидемии в начале мая. То, что такой-же всплеск произошел во всей России, версия о причастности к нему именно Пасхальных мероприятий наиболее вероятная.
Параметры модели развития типической эпидемии
Так как развитие типической эпидемии предсказуемо, считаю необходимым представить в распоряжение читателей параметры функции воспроизводства эпидемии в ряде стран и городов. Они приведены в Таблице.
Имеющийся опыт использования модели развития типической эпидемии COVID-19 дает прогноз числа подтвержденных диагнозов с неопределенностью около 10-15%. Согласно существующей практике, при уменьшении f(n) ниже 0.001 1/сут власти могут принять решение об ослаблении или полном снятии карантинных мероприятий. В этой области условия типичности эпидемии не будут соблюдаться и прогнозные оценки числа подтвержденных диагнозов будут занижены. Это следует учитывать при оценке прогноза для стран, в которых эпидемия близка к окончанию.
Таблица. Параметры функции воспроизводства числа подтвержденных диагнозов в ходе развития типической эпидемии COVID-19.
Заключение
В середине апреля Москва и Россия наступили на первые грабли, на которые Иран наступил месяцем раньше – в середине марта. На вторые иранские грабли наступила Вена. Если в отличие от Вены мы не наступим на вторые иранские грабли, то, как показывают оценки на рис. 5, проведение Парада Победы, назначенное Президентом на 24 июня может быть безопасным.
Внешние ссылки
[1] COVID-19: Чего и когда ожидать?
[2] Антилапша № 2 COVID-19: Зачем нужны наука с карантином?
[3] Антилапша № 3 COVID-19 в большом городе
[4] Антилапша № 4 COVID-19: Лавина, накрывшая Европу
[5] Антилапша № 5 COVID-19: А ВОЗ и ныне где?
[6] Антилапша № 6 COVID-19: Конец пандемии?
[7] Антилапша № 7 COVID-19: Полуголые цифры. Людские потери
[8] Доклады ВОЗ по COVID-19
[9] –В Иране заявили, что ожидают вторую и третью волны коронавируса в стране/ TASS.ru (02.05.2020; 14:27)
[10] Цифровые пропуска: как будет работать пропускная система в городе. MOS.ru. (11.04.2020; 19:35).
