Неевклидова геометрия в природе27.12.2015 12:07

Математик Сергей Нечаев о визуализации неевклидовой геометрии в рисунках Эшера, устройстве цепной дроби и правиле неравенства треугольника

Речь пойдет о неевклидовой геометрии в природе, а точнее, даже в повседневной жизни. Я у своих друзей и знакомых спрашиваю иногда, какие ассоциации у них вызывает словосочетание «неевклидова геометрия». Ответы я получаю, как правило, трех сортов: одни говорят, что это что-то из космоса, другие говорят, что это когда параллельные прямые пересекаются, а третьи говорят, что это так сложно, что лучше об этом не думать. Но на самом деле неевклидова геометрия присутствует в нашей жизни постоянно и, более того, вылезает из всех щелей.

Есть разные математические, геометрические, физические аспекты, и о некоторых из них я постараюсь вам рассказать, начав с образа, который известен, во всяком случае, мне с детства по картинкам из журнала «Квант». Я думаю, что многие помнят рисунки Эшера, которые назывались «Предел круга» или «Руки, которые рисуют одна другую». Это визуализация неевклидовой геометрии. Помните, как выглядят руки, которые рисуют одна другую? Рука держит карандаш и рисует другую руку, которая рисует первую. В результате появляется замкнутый цикл, который в словах можно выразить примерно так: «Я знаю, что ты знаешь, что я знаю» или «Я оглянулся посмотреть, не оглянулась ли ты, чтоб посмотреть, не оглянулся ли я».

Математическая реализация этого — цепная дробь, которая устроена так: у вас есть числитель, скажем единица, а в знаменателе стоит единица плюс, дальше дробь опять единица поделить на единицу плюс, и так до бесконечности. Есть, если вы вспомните, «Предел круга» Эшера, то, что там изображено: фигурки, которые начинаются в центре и постепенно уменьшаются, и их количество увеличивается, и они уменьшаются до бесконечности и стягиваются к периферии. Примерно так же устроен парадокс, известный нам с детства — парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе. Ахиллес не может догнать черепаху, которая находится перед ним: как только черепаха проходит какое-то расстояние, Ахиллес догонят ее, черепаха проходит расстояние меньше, Ахиллес догоняет ее снова и так далее. Эти стягивающиеся фигурки на круге, изображенные Эшером, — это визуализация этой конструкции, потому что фигурки уменьшаются в той пропорции, в которой их становится больше, и поэтому периметр круга, скажем единичного круга, является бесконечностью для них.

Это математические конструкции. Где подобное можно найти в природе? Давайте вспомним, как выглядит лист салата или вообще как выглядят разные листы. В частности, если возьмете лист салата, то вы не сможете его уложить плоско, если вы попытаетесь его разгладить на плоскости, у вас ничего не получится — он все время будет топорщиться. Это происходит из-за того, что клетки, которые находятся на периферии, которые находятся на границе листа, растут так, что их рост ничем не ограничен, они не знают, что они должны расти так, чтобы находиться в плоскости. Как у нас растет периметр круга? С удалением от центра он растет пропорционально радиусу. Клетки об этом не знают, они делятся так, как они хотят. Возможно, визуальный образ, который при этом возникает, такой: представьте себе, что у вас имеется диск и есть разрез в этом диске. Вы раздвинули границы диска, и в результате получилось, что периметр у вас оказался больше, чем это было бы, если бы он был 2πr. В результате куда уходит лишний материал? Он уходит в третье измерение. Именно поэтому лист нельзя уложить в пространстве. Именно поэтому он топорщится оттуда. Но почему клетки не делятся внутри? Дело в том, что существует механизм, который называется «ингибирование под давлением». Клетки, которые находятся внутри листа, не делятся, а клетки, находящиеся на периферии, делятся произвольно, и в результате образуются такие складки.

Между прочим, есть тест на рак, который устроен таким образом: в чашку Петри или на подложку высеивается культура клеток, и через какое-то время люди видят, что произошло. Оказывается, в каком-то месте вырос гриб. Что это означает? Дело в том, что в раковых клетках сломан механизм ингибирования под давлением, поэтому клетки делятся и растут неконтролируемо. В результате куда ему остается выходить? Только в трехмерное пространство. У меня спросил приятель, когда я делал доклад об этих геометрических конструкциях: «Представь себе, что у тебя есть сфера и площадь поверхности растет быстрее, чем R квадрат. Что происходит с этой сферой?» Действительно, представьте себе, что будет? Куда уходит материал? Четвертого измерения нет. По-видимому, возникнут выпуклости, возникнут неустойчивости. Именно это и возникает в действительности, именно конфликт между внутренней топологией и внутренней геометрией, растущей структурой и тем пространством, куда она вложена, является как раз этим фактором, который формирует систему складок и то, что мы видим, когда пытаемся лист салата расправить на плоскости. Возникающие структуры называются ультраметрическими. Они имеют некоторые свойства, которые отличают их от того, что мы имеем в повседневной жизни.

Дело в том, что в жизни у нас существует правило, которое называется «неравенство треугольников». Есть треугольник, у него три стороны — A, B, C, и одна из сторон никогда не превосходит сумму двух других. В ультраметрике это неравенство заменено другим, а именно: одна сторона никогда не превосходит максимума двух других. То есть представьте себе, что у вас есть два отрезка, которые вы сложили, и третий отрезок является суммой двух других. Так вот правило такое, что в ультраметрике то, что получилось, должно быть меньше, чем максимальный из тех, которые вы складываете. В результате возникают очень любопытные конструкции. Например, сумма расстояний не превышает наибольшего числа, которое вы суммируете. И это приводит к совершенно удивительной геометрии. Например, такие вещи возникают, как ни странно, в следующих конструкциях.

Представьте себе, что вы взяли очень большую матрицу, которая состоит из 0 и 1. Эту матрицу физики называют матрицей смежности. А в действительности вы можете себе представлять, что у вас есть в пространстве некоторое количество точек, эти точки вы соединяете попарно линиями. Если вы поставили линию между двумя точками, то вы в эту матрицу ставите единицу. Если точки не соединены — ноль. Вот что называется матрица смежности, она симметрична. В силу определенных обстоятельств, о которых я даже не буду говорить, связанных с изучением структуры ДНК, мы занимались изучением статистических свойств таких матриц смежности, а именно: мы брали такую матрицу, в которой очень мало единиц, и изучали ее спектр, то есть мы вычисляли определенные характеристики, которые называются значениями. Потом брали другую матрицу, вычисляли ее спектр, суммировали и смотрели на то, что получается в результате. Оказалось, что спектры таких случайных матриц, в которых очень мало единиц, имеют удивительную теоретико-числовую структуру, например такую, что спектр является ультраметрическим. Он состоит из системы пиков, разделенных пиками поменьше, которые сами разделены пиками поменьше и так далее, имеют такую иерархию. Казалось бы, у вас имеется матрица с малым количеством единиц, что соответствует тому, что у вас имеется много точек, как-то соединенных между собой, то есть у вас имеются графы, в пространстве напоминающие деревья. И при этом они совершенно произвольные, они случайны, они никак не структурированы. Так вот оказывается, что у таких редких случайных графов имеется вполне четкая теоретико-числовая структура.

Я говорю, что эта работа — предупреждение. Представьте себе, что люди, которые занимаются эффектом малых доз, а именно, если уж говорить по-другому, гомеопатией, говорят, что «мы разбавляем сигнал до бесконечности, а все равно видим какой-то регулярный сигнал, который можно интерпретировать как некоторый эффект». Так вот, я совершенно не хочу умалить достоинство работ, с каждой нужно разбираться отдельно. Но наша работа является предупреждением в том смысле, что, возможно, наличие совершенно никак не структурированных примесей, грязи в чистой воде выглядит так, как будто там есть полезный сигнал. Что действительно люди измеряют? Люди измеряют спектр поглощения, то есть это означает, что вот этот граф я сделал из пружинок и каким-то образом возбудил, в результате этот граф зазвенел. Спектр этого графа — это, собственно, те резонансные частоты, на которых он звенит. Поэтому то, что мы изучаем, действительно имеет отношение к жизни, если мы поставим такой эксперимент, когда у нас имеется очень сильно разбавленная система, мы каким-то образом, например лазером, ее возбуждаем и изучаем свойства поглощения этой системы. Я уверен, что при этом мы увидим вполне регулярную картину, в которой имеется удивительная иерархия и которая никакого отношения не имеет ни к какому эффекту, о котором говорят люди, занимающиеся, скажем, эффектом малых доз.

Ультраметрика, как вы видите, проявляется в жизни и связана с неевклидовой геометрией. При этом люди, проводящие эксперименты, работающие с эффектом малых доз, должны быть очень аккуратны, потому что нужно иметь в виду, что шум может обладать удивительными теоретико-числовыми действиями, которые сложно отличить от полезного сигнала.

И последнее, что нужно сказать, — что эти ультраметрические свойства проявляются в так называемом филлотаксисе. Если вы сосчитаете количество спиралей на шишке, окажется, что оно всегда одно из чисел Фибоначчи — это ряд, который устроен так: вы берете 0 плюс 1, складываете и получаете следующее число — 2, потом складываете 2 и два предыдущих и получаете следующее число и так далее, то есть каждое последующее является суммой двух предыдущих. Удивительным образом природа устроена так, что количество спиралей на шишке — это всегда одно из чисел Фибоначчи. Почему это так — отдельный разговор, который можно тоже свести к проявлению неевклидовой геометрии в природе.

Сергей Нечаев