Задача Танежи: новый этап развития математики?17.05.2020 22:18

Введение

Математика XXI века принципиально отличается от античной. И речь идёт не просто о новых достижениях в геометрии и арифметике — науках, базовые принципы для которых сформированы тысячелетия назад. С появлением вычислительной техники изменился приоритет, и теория чисел из области «упражнений для развития ума» превратилась в науку, от достижений которой зависит мировая экономика.
По задаче о простых близнецах, по ABC-гипотезе, проблеме Гольдбаха-Виноградова и некоторым другим важным математическим проблемам новые научно-популярные публикации выходят ежедневно. С одной стороны, эти задачи выдержали проверку временем, с другой — регулярный пиар поддерживается шестизначными наградами за решение каждой. Но 4 года назад в трудах одного бразильского математика была, косвенно и незаметно для него самого, поднята проблема, которая может стать целью и смыслом жизни для математиков нынешнего столетия. Речь идёт о классификации трансцендентных чисел относительно замыкания конечных множеств алгебраических чисел.

Задача Индер Танежи

Общие сведения

Индер Танежа — бразильский математик-популист, посвятивший большую часть жизни магическим квадратам, треугольным числам и другим занимательным задачам. Он никогда не брался за нерешённые проблемы столетия, не сделал профессионального вклада в изучение свойств натурального ряда, но именно в его любительских исследованиях были подняты вопросы, ответы на которые не способна дать современная математика.
Всё началось с серии публикаций в Реддит, где Танежа рассуждал о возможности представить любое натуральное число меньше некоторой границы при помощи ограниченного числа операндов. Сама идея не нова, и в советских изданиях для олимпиадников периодически возникали такие вопросы:

Представьте число 1958 при помощи семи двоек, расставляя операторы сложения, вычитания, умножения и возведения в степень

Ответом будет:

$1958 = 22^2*2*2+22$

Подбор необычного представления для текущего года стал традицией для математических факультетов многих вузов и укрепился в литературе. Также было с задачами о простоте больших чисел: пару веков назад числами Мерсенна и Ферма занимались из спортивного интереса, а теперь первые обеспечивают криптографию надежными закрытыми ключами. И вот 4 года назад появилась публикация, в которой рассматривались возможные пути решения задачи о представлении натурального числа с использованием одной цифры, а также упорядоченные представления со всеми цифрами кроме нуля. Например:

$1958 = ((12*((34*5)-6)+7)-8)-9$

Среди допустимых операций изначально были:

конкатенация: 2||3=23
сложение: 2+3=5
вычитание: 2–3=-1
умножение: 2×3=6
унарный минус: -(2+3)=-5

Танежа считал деление бесполезным, так как числа до тысячи можно было представить подобно примеру выше без дополнительных операций. Но в дальнейшем всё же добавил в необходимый минимум возведение в степень (включая степени с дробно-рациональными, иррациональными и комплексными показателями, если таковые возникали в промежуточных вычисления и приводили к целому результату в конце расчётов) и деление.
Спустя год вышел объемный труд с таблицей представлений чисел от 1 до 11 111 при помощи цифр в порядке возрастания и убывания. Указанного ранее набора операций оказалось достаточно для представления всех чисел цифрами в убывающем порядке, а также для представления 11 110 чисел из списка в возрастающем порядке.
В поисках одобрения, Индер рассылает на почту профессиональным математикам и блогерам-популистам свой труд с личными комментариями. В числе прочих получателей оказывается Мэт Паркер — лицо Австралийского проекта «Математический стендап» и один из участников Ютуб-проекта «Numberphile». Видеоролик об особенном числе 10958 (единственном пробеле в таблице разложений Танежи) стал достаточно популярен для того, чтобы попытки решения и научно-популярные статьи о Танеже стали иногда появляться по всему миру.

[embedded content]

В Россию задачу «завезли» Mad Astronomer и неизвестный автор с Яндекс.Дзен. Последний добавил новость о премии в 5000$ за нахождение решения для числа 10958. Однако ни Танежа, ни Паркер, ни сотрудники MIT о публичной награде ничего не знают. За три года вышло всего две любительские работы, предпринимающие хоть какие-то попытки найти решения. Первая опубликована экс-участником проекта TedX и касается вопроса оценки общего количества вычислимых выражений, построенных по правилам Танежи, и времени работы переборного алгоритма. Вторая направлена на «слабое расширение» задачи, а именно:

Представить все числа от 1 до 11 111 111 при помощи цифр в порядке возрастания (одну цифру можно использовать один раз и каждая цифра должна быть использована), расставляя операторы: а) бинарные: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень; б) унарные: унарный минус, факториал, квадратный корень

Такого ослабления, со слов автора исследования, оказалось достаточно для представления 11 111 105 чисел. Оригинальный видеоотчёт:

[embedded content]

Попытки точного аналитического доказательства непредставимости числа 10958 в необходимом нам виде не предпринимались, во всяком случае информации о них нет ни на одном из доступных мне иностранных языков. О невозможности переборного решения и особенностях числа 10958 будет подробнее рассказано ниже.

Точная формулировка и первые обобщения

Вольная формулировка автора задачи породила множество ошибочных решений, опирающихся на неверную трактовку условия. Самые частые ошибки:

использование «внешней» конкатенации: составление новых операторов из цифр начального вектора допустимо, но конкатенация в общем виде как дописывание одного числа справа от другого — запрещена. Примеры:
округление: решение задачи Танежи в целых числах означает не только использование целочисленного начального вектора, но и получение целого результата на выходе. Примеры: $8=(1-2+3)*4 - можно, 7 \approx (1+2/3)*4=20/3 - нельзя$
использование дополнительных операндов: при выполнении операции возведения в степень некоторые авторы рассматривают исходных набор цифр как допустимые основания степени и прибегают к произвольным показателям. Примеры:

Опишем процесс проверки и принятия решения задачи Танежи для некоторого числа. Пусть для некоторого вектора комплексных (в общем случае) чисел $(c_1, c_2, ..., c_k)$ предложена тройка $(op, ind,ind+1)$ , где $ind$ и $ind+1$ — последовательные натуральные числа, $ind_1<=k$ ; $op$ — код оператора — натуральное число от 1 до 7, тогда итерацией над вектором $(c_1, c_2, ..., c_k)$ будем называть процесс, результатом которого является вектор длины $k-1$ , а именно:

вектор $(c_1, c_2, ... , с_{ind-1}, c_{ind}||c_{ind+1}, c_{ind+2}, ... , c_k)$ для
вектор $(c_1, c_2, ... , с_{ind-1}, c_{ind}+c_{ind+1}, c_{ind+2}, ... , c_k)$ для
вектор $(c_1, c_2, ... , с_{ind-1}, |c_{ind}-c_{ind+1}|, c_{ind+2}, ... , c_k)$ для
вектор $(c_1, c_2, ... , с_{ind-1}, c_{ind}*c_{ind+1}, c_{ind+2}, ... , c_k)$ для
вектор $(c_1, c_2, ... , с_{ind-1}, c_{ind}/c_{ind+1}, c_{ind+2}, ... , c_k)$ для
вектор $(c_1, c_2, ... , с_{ind-1}, c_{ind}^{c_{ind+1}}, c_{ind+2}, ... , c_k)$ для
вектор $(c_1, c_2, ... , с_{ind-1}, c_{ind}^{-(c_{ind+1})}, c_{ind+2}, ... , c_k)$ для

Пусть дан начальный вектор $(1, 2, ... , 9)$ из девяти элементов, равных своим порядковым номерам. Тогда говорят что для некоторого целого числа $a$ существует решение задачи Танежи в восходящем порядке, если существует последовательность (которую мы будем называть выводом для числа а):

$(op_1, ind_1,{ind_1}+1)$ — итерация над начальным вектором, результат которой — вектор (1)
$(op_2, ind_2,{ind_2}+1)$ — итерация над вектором (1), результат которой — вектор (2)
…
$(op_8, ind_8,{ind_8}+1)$ — итерация над вектором (7), результат которой — вектор (8),

такая, что вектор (8) равен вектору $(a)$ либо вектору $(-a)$ и для каждой итерации со значением оператора равным единицы верно, что элементы с номерами $ind_m и {ind_m}+1$ не являются преобразованными. При выполнении некоторой итерации будем называть элемент некоторого нового вектора (x) атомарным, если значение этого элемента было взято из исходного вектора или получено конкатенацией атомарных значений. Будем называть элемент некоторого нового вектора (y) преобразованным, если он является результатом выполнения одной из шести бинарных арифметических операций с номерами от 2 до 7, на одной из итераций, предшествующей данной.
Для каждого вектора количество операций и возможностей выбора пар значений $(ind, ind+1)$ ограничен, количество итераций, предшествующих получению результата — числа, а — тоже ограничено. Следовательно, существует конечное количество целых чисел, для которых задача Танежи в восходящем порядке имеет решение. Также можно на примерах показать, что разные последовательности итераций не всегда приводят к разным результатам, а также — что не все такие последовательности имеют целый или хотя бы действительный результат. Кроме того, статистические данные, в частности — результаты работы Билла Амса, показывают, что число различных выводимых рациональных значений может не превышать удвоенного числа различных целых значений. Поэтому первым важным обобщением задачи Танежи является следующий набор вопросов:

Сколько различных выводов, имеющих целочисленный результат, существует?
Сколько различных по модулю целых чисел выводимо?
Сколько различных комплексных значений выводимо?
Верно ли, что количество различных рациональных значений, выводимых и по модулю не превосходящих некоторое целое число k, не превосходит удвоенного количества различных выводимых целых, по модулю не превосходящих k? Для каких k? Верно ли в общем виде?

Верно также, что при выводе целого значения, таком что на некоторых промежуточных итерациях вектор содержит иррациональные и комплексные значения, вероятность получить различные итоговые значения уменьшается, так как ряд операций (сложение иррационального с рациональным, возведение рационального в иррациональную степень) не возвращают рациональный результат, а потому количество вариантов уменьшается. Поэтому возникает ещё одно обобщение:

Доказать или опровергнуть, что для всякого целого числа, а справедливо: если задача Танежи в восходящем порядке для числа, а не имеет такого решения, в котором все итерации вывода выполняются над векторами, не имеющими иррациональных элементов, то она не имеет решения вовсе.

Ход решения

Для начала реализуем функцию подсчёта количества всех выводов, которые могут считаться решениями для некоторого, а — не обязательно целого (т.е. всех выводов, для которых операция с кодом 1 выполняется только над атомарными операндами). Язык реализации — C#. Получим:

static long Num_0(bool[] A)
        {
            if (A.Length == 1)
            {
                return 1;
            }
            else
            {
                long res = 0;
                for (int i = 0; i < A.Length - 1; i++)
                {
                    bool[] B = new bool[A.Length - 1];
                    for (int j = 0; j < i; j++)
                        B[j] = A[j];
                    for (int j = i + 1; j < A.Length-1; j++)
                        B[j] = A[j+1];
                    if (A[i] && A[i + 1])
                    {
                        B[i] = true; //B[i] result for A[i]||A[i+1]
                        res += Num_0(B);
                    }
                    B[i] = false; //B[i] result for A[i] op A[i+1], op!=||
                    res += 6 * Num_0(B);
                }
                return res;
            }
        }

        static void Test_0(int range = 9, bool wait = true)
        {
            Console.WriteLine("Test 0 for [1.." + Convert.ToString(range) + "]");
            bool[] A = new bool[range];
            for (int i = 0; i < range; i++)
                A[i] = true; //each basic element is concatenable 
            string s = "Eq count: " + Convert.ToString(Num_0(A));
            Console.WriteLine(s);
            if (wait) Console.ReadLine();
            else
                Console.WriteLine();
        }

Результат работы программы:

Test 0 for [1..9]
Eq count: 112274877312

Мы получили около 112 млрд вариантов. По построению, многие варианты вывода будут не просто производить одно и то же значение, но и иметь одно и то же инфиксное представление (получать искомое число, используя те же операторы, над теми же операндами, но в другом порядке). Например, если первая итерация преобразовала элементы $1$ и $2$ в $1+2=3$ , а вторая элементы $3$ и $3$ в $3+3=6$ и если первая итерация преобразовала элементы $2$ и $3$ в $2+3=5$ , а вторая элементы $1$ и $5$ в $1+5=6$ , то в обоих случаях мы получим инфиксное выражение:

$1+2+3=6$

Опишем некоторые классы выводов с повторяющимся результирующим инфиксным представлением:

пусть оператор сложения выполняется над операндами, один из которых является результатом сложения, тогда можно ограничиться итерациями, в которых правый операнд не является результатом сложения и результат прошлых вычислений является элементом, индекс которого не более текущей итерации. Так мы с одной стороны исключаем в пользу , а с другой для выражения исключаем вариант вычисления до вычисления , исключая таким образом как минимум один повтор
сложение и вычитание результатов сложения и вычитания: аналогично предыдущему пункту, но с ограничениями для унарных операций перед показателями степеней
пусть основание степени является результатом возведения в степень, тогда можно не проверять вариант с оператором 7, на основании тождества: ${({a^b})}^c={{(a^{-b}})}^{-с}$ , зная что по построению наличие вектора, аналогичного входному вектору текущей итерации, за исключением значения $a^{-b}$ вместо гарантировано
умножение и деление можно БОО (Без Ограничения Общности) выполнять строго слева направо, т.е. только когда правые операнды не являются результатами умножения или деления. Следует из тождеств:

Реализация операторов с учётом этих классов не гарантирует отсутствие повторов среди инфиксных выражений, но БОО позволяет отбросить часть таких повторов.
Значения элементов векторов для некоторых выводов не вычислимы, что связано с ограниченным размером машинного слова. С использованием типа данных BigInteger можно будет вычислить часть таких значений. Объявим структуру данных для элемента вектора. В ней буду два длинных целых, представляющих числитель и знаменатель некоторого рационального числа. Для каждого оператора напишем ряд дополнительных условий, гарантирующих получение рационального результата без переполнения. Добавив в эту же структуру коды операций и ограничения по классам повторяющихся инфиксных значений, получим функцию Num_1, которая БОО подсчитывает количество выводов, имеющих различное инфиксное представление. Очевидно, что ни одно решение не будет потеряно, в том смысле, что если для некоторого числа, а существовал минимум 1 вывод в Num_0, то для него будет существовать хотя бы один вывод в Num_1. Получим:

        public struct NumEx
        {
            public NumEx(BigInteger x, BigInteger y, int opcode)
            {
                X = x;
                Y = y;
                OpCode = opcode;
                Eq = X.ToString();
            }

            public BigInteger X { get; set; }
            public BigInteger Y { get; set; }
            public int OpCode { get; set; }

            public string Eq { get; set; }

            public override string ToString() => $"({X}/{Y}) [{Eq}]";
        }

        static long Num_1(NumEx[] A, int pos = -1)
        {
            if (A.Length == 1)
                return 1;
            else
            {
                long res = 0;
                for (int i = 0; i < A.Length - 1; i++)
                    if ((A[i + 1].OpCode != 0) || (pos == -1) || (pos >= i))
                    {
                        NumEx[] B = new NumEx[A.Length - 1];
                        for (int j = 0; j < i; j++)
                            B[j] = A[j];
                        for (int j = i + 1; j < A.Length - 1; j++)
                            B[j] = A[j + 1];
                        if ((A[i].OpCode < 2) && (A[i + 1].OpCode == 0))
                        {
                            // concat
                            B[i].OpCode = 1;
                            res += Num_1(B, i);
                        }
                        if (A[i + 1].OpCode != 2)
                        {
                            //+ -
                            B[i].OpCode = 2;
                            res += 2 * Num_1(B, i);
                        }
                        if (A[i + 1].OpCode != 3)
                        {
                            //* /
                            B[i].OpCode = 3;
                            res += 2 * Num_1(B, i);
                        }
                        {
                            //^ ^-
                            B[i].OpCode = 4;
                            if (A[i].OpCode == 4)
                                res += Num_1(B, i);
                            else
                                res += 2 * Num_1(B, i);
                        }
                    }
                return res;
            }
        }

        static void Test_1(int range = 9, bool wait = true)
        {
            Console.WriteLine("Test 1 for [1.." + Convert.ToString(range) + "]");
            NumEx[] A = new NumEx[range];
            for (int i = 0; i < range; i++)
                A[i] = new NumEx(i + 1, 1, 0);
            string s = "Eq count: " + Convert.ToString(Num_1(A));
            Console.WriteLine(s);
            if (wait) Console.ReadLine();
            else
                Console.WriteLine();
        }

Результат работы нового теста:

Test 1 for [1..9]
Eq count: 4762796551

Получили около 4762 млн выражений.
В структуре данных для элемента вектора также создадим строковое поле, в котором будет накапливаться инфиксное представление вывода. В конце цепочки итераций (при рекурсивном вызове функции Num_2 с массивом длины 1) будем проверять сократимость дроби, представляющей элемент этого вектора и сравнивать результат деления числителя на знаменатель с некоторым числом. Введя переменную счётчик, получим процедуру, результатом работы которой будет количество выводов числа val с заданными условиями. Для чисел $10958$ и $5479=10958/2$ (где $5479$ — простое) получим:

        public struct NumEx
        {
            public NumEx(BigInteger x, BigInteger y, int opcode)
            {
                X = x;
                Y = y;
                OpCode = opcode;
                Eq = X.ToString();
            }

            public BigInteger X { get; set; }
            public BigInteger Y { get; set; }
            public int OpCode { get; set; }

            public string Eq { get; set; }

            public override string ToString() => $"({X}/{Y}) [{Eq}]";
        }
        static long PowLimit = 27;
        static long SolLimit = 400;
        static long SolCount = 0;
        static long Num_2(NumEx[] A, long val, int pos = -1)
        {
            if (A.Length == 1)
            {
                if ((A[0].X % A[0].Y) == 0)
                {
                    BigInteger B = BigInteger.Divide(A[0].X, A[0].Y);
                    if (B == new BigInteger(val))
                    {
                        SolCount++;
                        if (SolCount <= SolLimit)
                        {
                            Console.WriteLine(Convert.ToString(val) + " = " + A[0].Eq);
                        }
                    }
                }
                return 1;
            }
            else
            {
                long res = 0;
                for (int i = 0; i < A.Length - 1; i++)
                    if ((A[i + 1].OpCode != 0) || (pos == -1) || (pos >= i))
                    {
                        NumEx[] B = new NumEx[A.Length - 1];
                        for (int j = 0; j < i; j++)
                            B[j] = A[j];
                        for (int j = i + 1; j < A.Length - 1; j++)
                            B[j] = A[j + 1];

                        if ((A[i].OpCode < 2) && (A[i + 1].OpCode == 0))
                        {
                            // concat
                            int p = A[i + 1].X.ToString().Length;
                            B[i].X = BigInteger.Add(A[i + 1].X, BigInteger.Multiply(A[i].X,
                                BigInteger.Pow(new BigInteger(10), p)));
                            B[i].Y = 1;
                            B[i].OpCode = 1;
                            B[i].Eq = A[i].Eq + A[i + 1].Eq;
                            res += Num_2(B, val, i);
                        }

                        if ((A[i + 1].X % A[i + 1].Y) == 0)
                        {
                            //pow
                            BigInteger pow = BigInteger.Divide(A[i + 1].X, A[i + 1].Y);
                            if (pow <= PowLimit)
                            {
                                if (pow.IsZero)
                                {
                                    B[i].X = 1;
                                    B[i].Y = 1;
                                    B[i].OpCode = 4;
                                    string s1 = A[i].Eq;
                                    string s2 = A[i + 1].Eq;
                                    if (A[i].OpCode > 1)
                                        s1 = "(" + s1 + ")";
                                    if (A[i+1].OpCode > 1)
                                        s2 = "(" + s2 + ")";
                                    B[i].Eq = s1 + "^" + s2;
                                    res += Num_2(B, val, i);
                                }
                                else
                                {
                                    //^
                                    int p = (int)pow;
                                    BigInteger val1 = BigInteger.Pow(A[i].X, p);
                                    BigInteger val2 = BigInteger.Pow(A[i].Y, p);
                                    B[i].X = val1;
                                    B[i].Y = val2;
                                    B[i].OpCode = 4;
                                    string s1 = A[i].Eq;
                                    string s2 = A[i + 1].Eq;
                                    if (A[i].OpCode > 1)
                                        s1 = "(" + s1 + ")";
                                    if (A[i + 1].OpCode > 1)
                                        s2 = "(" + s2 + ")";
                                    B[i].Eq = s1 + "^" + s2;
                                    res += Num_2(B, val, i);
                                    //^-
                                    if ((!val1.IsZero) && (A[i].OpCode != 4))
                                    {
                                        B[i].X = val2;
                                        B[i].Y = val1;
                                        B[i].OpCode = 4;
                                        s1 = A[i].Eq;
                                        s2 = A[i + 1].Eq;
                                        if (A[i].OpCode > 1)
                                            s1 = "(" + s1 + ")";
                                        if (A[i + 1].OpCode > 1)
                                            s2 = "(" + s2 + ")";
                                        B[i].Eq = s1 + "^-" + s2;
                                        res += Num_2(B, val, i);
                                    }
                                }
                            }
                        }
                        if ((A[i + 1].X != 0) && (A[i + 1].OpCode != 3))
                        {
                            //div
                            B[i].X = BigInteger.Multiply(A[i].X, A[i + 1].Y);
                            B[i].Y = BigInteger.Multiply(A[i].Y, A[i + 1].X);
                            B[i].OpCode = 3;
                            string s1 = A[i].Eq;
                            string s2 = A[i + 1].Eq;
                            if (A[i].OpCode > 1)
                                s1 = "(" + s1 + ")";
                            if ((A[i + 1].OpCode > 1)||(s2.ToArray()[0]=='-'))
                                s2 = "(" + s2 + ")";
                            B[i].Eq = s1+ "/" + s2;
                            res += Num_2(B, val, i);
                        }
                        if (A[i + 1].OpCode != 3)
                        {
                            //mul
                            B[i].X = BigInteger.Multiply(A[i].X, A[i + 1].X);
                            B[i].Y = BigInteger.Multiply(A[i].Y, A[i + 1].Y);
                            B[i].OpCode = 3;
                            string s1 = A[i].Eq;
                            string s2 = A[i + 1].Eq;
                            if (A[i].OpCode > 1)
                                s1 = "(" + s1 + ")";
                            if ((A[i + 1].OpCode > 1) || (s2.ToArray()[0] == '-'))
                                s2 = "(" + s2 + ")";
                            B[i].Eq = s1 + "*" + s2;
                            res += Num_2(B, val, i);
                        }
                        if (A[i + 1].OpCode != 2)
                        {
                            //add
                            B[i].X = BigInteger.Add(BigInteger.Multiply(A[i].X, A[i + 1].Y),
                                BigInteger.Multiply(A[i].Y, A[i + 1].X));
                            B[i].Y = BigInteger.Multiply(A[i].Y, A[i + 1].Y);
                            B[i].OpCode = 2;
                            string s1 = A[i].Eq;
                            string s2 = A[i + 1].Eq;
                            if (s2.ToArray()[0] == '-')
                                s2 = "(" + s2 + ")";
                            B[i].Eq = s1 + "+" + s2;
                            res += Num_2(B, val, i);
                            //sub -abs
                            B[i].X = 
                                BigInteger.Subtract(BigInteger.Multiply(A[i].X, A[i + 1].Y),
                                BigInteger.Multiply(A[i].Y, A[i + 1].X));
                            bool neg = B[i].X < BigInteger.Zero;
                            if (neg) B[i].X = BigInteger.Abs(B[i].X);
                            B[i].Y = BigInteger.Multiply(A[i].Y, A[i + 1].Y);
                            B[i].OpCode = 2;
                            s1 = A[i].Eq;
                            s2 = A[i + 1].Eq;
                            if (A[i].OpCode > 1)
                                s1 = "(" + s1 + ")";
                            if ((A[i + 1].OpCode > 1) || (s2.ToArray()[0] == '-'))
                                s2 = "(" + s2 + ")";
                            if (neg)
                                B[i].Eq = "(-" + s1 + ")+" + s2; //?
                            else
                                B[i].Eq = s1 + "-" + s2;
                            res += Num_2(B, val, i);
                        }
                    }

                return res;
            }
        }

        static void Test_2(long val, int range = 9, bool wait = true, long out_lim = 400, long pow_lim = 27)
        {
            Console.WriteLine("Test 2 for [1.." + Convert.ToString(range) + "]");
            NumEx[] A = new NumEx[range];
            for (int i = 0; i < range; i++)
                A[i] = new NumEx(i + 1, 1, 0);
            SolCount = 0;
            SolLimit = out_lim;
            PowLimit = pow_lim;
            Console.WriteLine("Max power: " + Convert.ToString(PowLimit) + ", output limit: " 
                + Convert.ToString(SolLimit));
            string s = "Eq count: " + Convert.ToString(Num_2(A, val));
            Console.WriteLine(s);
            Console.WriteLine("Total solutions count for " + Convert.ToString(val) + ": " 
                + Convert.ToString(SolCount));
            if (wait) Console.ReadLine();
            else
                Console.WriteLine();
        }

Вывод будет содержать количество выводов, результат которых удалось точно вычислить, а также инфиксные выражения для всех выводов их числа вычисленных, которые закончились с получением значения val. Результат:

Test 2 for [1..9]
Max power: 27, output limit: 400
Eq count: 957441620
Total solutions count for 10958: 0

Test 2 for [1..9]
Max power: 27, output limit: 400
5479 = ((1+2*(345-6)+7)*8)-9
5479 = ((((-((-1)+23))+((4*5)*6))*7)*8)-9
5479 = 1+(2*3)*((((4*5)*6)-7)*8+9)
5479 = (((((-1)+(2^3))*((4*5)-6))*7)*8)-9
5479 = ((((1+2*3)*((4*5)-6))*7)*8)-9
5479 = ((((((-1)+(2^3))/4)*56)*7)*8)-9
5479 = (((((1+2*3)/4)*56)*7)*8)-9
5479 = ((((1^2+3/4)*56)*7)*8)-9
5479 = ((((1^-2+3/4)*56)*7)*8)-9
5479 = (((((-1)+2+3/4)*56)*7)*8)-9
5479 = ((((1*2)*((-(3+4))+56))*7)*8)-9
5479 = ((((1*2)*((-(3+4))+56))*7)*8)-9
5479 = 1*((((2*((-(3+4))+56))*7)*8)-9)
5479 = ((123-4+567)*8)-9
5479 = (-(1*2))+((34+567+8)*9)
5479 = (-(1*2))+((34+567+8)*9)
5479 = 1*((-2)+((34+567+8)*9))
5479 = ((((1/2+3)*4)*(56-7))*8)-9
5479 = (((1*2+3*4)*(56-7))*8)-9
5479 = (((1*(2+3*4))*(56-7))*8)-9
5479 = 1*((((2+3*4)*(56-7))*8)-9)
5479 = ((((1*2)*(3+4))*(56-7))*8)-9
5479 = 1*((((2*(3+4))*(56-7))*8)-9)
5479 = 1+(2+3^4)*(56-7+8+9)
5479 = ((((1*2)*34+5*6)*7)*8)-9
5479 = (((1*(2*34+5*6))*7)*8)-9
5479 = 1*((((2*34+5*6)*7)*8)-9)
5479 = (((((1/2)^-(3+4))-(5*6))*7)*8)-9
5479 = (((((1*2)^(3+4))-(5*6))*7)*8)-9
5479 = ((((1*(2^(3+4)))-(5*6))*7)*8)-9
5479 = (((1*((2^(3+4))-(5*6)))*7)*8)-9
5479 = 1*(((((2^(3+4))-(5*6))*7)*8)-9)
5479 = ((((1/(2^-(3+4)))-(5*6))*7)*8)-9
5479 = ((((-1)+((2+3+4)*(5+6)))*7)*8)-9
5479 = (-(1*2))+(((-(3+4))+(((5+6)*7)*8))*9)
5479 = (-(1*2))+(((-(3+4))+(((5+6)*7)*8))*9)
5479 = 1*((-2)+(((-(3+4))+(((5+6)*7)*8))*9))
5479 = (((12/3)*4)*(5*67+8))-9
5479 = (((12/3)*4)*(5*67+8))-9
5479 = (((12/3)*4)*(5*67+8))-9
5479 = (((1^2+3)*4)*(5*67+8))-9
5479 = (((1^2+3)*4)*(5*67+8))-9
5479 = ((((-(1^2))+3)^4)*(5*67+8))-9
5479 = ((((-(1^2))+3)^4)*(5*67+8))-9
5479 = (((1^2+3)*4)*(5*67+8))-9
5479 = ((((-(1^2))+3)^4)*(5*67+8))-9
5479 = (((1^-2+3)*4)*(5*67+8))-9
5479 = (((1^-2+3)*4)*(5*67+8))-9
5479 = ((((-(1^-2))+3)^4)*(5*67+8))-9
5479 = ((((-(1^-2))+3)^4)*(5*67+8))-9
5479 = (((1^-2+3)*4)*(5*67+8))-9
5479 = ((((-(1^-2))+3)^4)*(5*67+8))-9
5479 = ((((-1)+2+3)*4)*(5*67+8))-9
5479 = ((((-1)+2+3)*4)*(5*67+8))-9
5479 = ((((-((-1)+2))+3)^4)*(5*67+8))-9
5479 = ((((-((-1)+2))+3)^4)*(5*67+8))-9
5479 = ((((-1)+2+3)*4)*(5*67+8))-9
5479 = ((((-((-1)+2))+3)^4)*(5*67+8))-9
5479 = ((((-1)+((2+3)^4))-5+67)*8)-9
5479 = (-1)+(2^3)+((4+5+67)*8)*9
5479 = (-1)+(2^3)+((4+5+67)*8)*9
5479 = 1+(2/3+(4+5+67)*8)*9
5479 = 1+2*3+((4+5+67)*8)*9
5479 = 1+2*3+((4+5+67)*8)*9
5479 = 1+(2/3+(4+5+67)*8)*9
5479 = (-1)+(2^3)+((4+5+67)*8)*9
5479 = 1+2*3+((4+5+67)*8)*9
5479 = (((12/3)*4)*(5*67+8))-9
5479 = (((1^2+3)*4)*(5*67+8))-9
5479 = ((((-(1^2))+3)^4)*(5*67+8))-9
5479 = (((1^-2+3)*4)*(5*67+8))-9
5479 = ((((-(1^-2))+3)^4)*(5*67+8))-9
5479 = ((((-1)+2+3)*4)*(5*67+8))-9
5479 = ((((-((-1)+2))+3)^4)*(5*67+8))-9
5479 = (1*2)*(3+4*(5+678))+9
5479 = (1*2)*(3+4*(5+678))+9
5479 = (1*2)*(3+4*(5+678))+9
5479 = (1*2)*(3+4*(5+678))+9
5479 = 1*(2*(3+4*(5+678))+9)
5479 = 1+(2+3^4)*((5*(6+7))-8+9)
5479 = 1+(2+3^4)*((5*(6+7))-8+9)
5479 = 1+(2+3^4)*((5*(6+7))-8+9)
5479 = (-(1*2))+(((34-5)*(6+7+8))*9)
5479 = (-(1*2))+(((34-5)*(6+7+8))*9)
5479 = 1*((-2)+(((34-5)*(6+7+8))*9))
5479 = (-1)+((2+3)*(4^5+(((-6)+7)*8)*9))
5479 = (-1)+((2+3)*(4^5+(((-6)+7)*8)*9))
5479 = (-(1*2))+(((3^4)-5)*((-6)+78))+9
5479 = 1+2*((34-5+6)*78+9)
5479 = (-(1*2))+(((3^4)-5)*((-6)+78))+9
5479 = (-(1*2))+(((3^4)-5)*((-6)+78))+9
5479 = (-(1*2))+(((3^4)-5)*((-6)+78))+9
5479 = (-(1*2))+(((3^4)-5)*((-6)+78))+9
5479 = 1*((-2)+(((3^4)-5)*((-6)+78)))+9
5479 = 1*((-2)+(((3^4)-5)*((-6)+78))+9)
5479 = (-(1*2))+(((3^4)-5)*((-6)+78))+9
5479 = (-(1*2))+(((3^4)-5)*((-6)+78))+9
5479 = 1*((-2)+(((3^4)-5)*((-6)+78)))+9
5479 = 1*((-2)+(((3^4)-5)*((-6)+78))+9)
5479 = 1+(((2/3)*(4^5+6))-78)*9
5479 = (-(1*2))+(((3^4)-5)*((-6)+78))+9
5479 = (-(1*2))+(((3^4)-5)*((-6)+78))+9
5479 = 1*((-2)+(((3^4)-5)*((-6)+78)))+9
5479 = 1*((-2)+(((3^4)-5)*((-6)+78))+9)
5479 = (-(1*2))+(((3*4)-5)*((-6)+789))
5479 = (-(1*2))+(((3*4)-5)*((-6)+789))
5479 = (-(1*2))+(((3*4)-5)*((-6)+789))
5479 = (-(1*2))+(((3*4)-5)*((-6)+789))
5479 = (-(1*2))+(((3*4)-5)*((-6)+789))
5479 = 1*((-2)+(((3*4)-5)*((-6)+789)))
5479 = (-(1*2))+(((3*4)-5)*((-6)+789))
5479 = (-(1*2))+(((3*4)-5)*((-6)+789))
5479 = 1*((-2)+(((3*4)-5)*((-6)+789)))
5479 = (-(1*2))+(((3*4)-5)*((-6)+789))
5479 = (-(1*2))+(((3*4)-5)*((-6)+789))
5479 = 1*((-2)+(((3*4)-5)*((-6)+789)))
5479 = (1+(2*3+4^5)*6)-(78*9)
5479 = (1+(2*3)*(4^5+6))-(78*9)
5479 = (-(1*2))+((3+4+56)*(78+9))
5479 = (-(1*2))+((3+4+56)*(78+9))
5479 = (-(1*2))+((3+4+56)*(78+9))
5479 = 1*((-2)+((3+4+56)*(78+9)))
5479 = 1+(2+3^4)*((-5)+6+7*8+9)
5479 = 1+(2+3^4)*((-5)+6+7*8+9)
5479 = 1+(2+3^4)*((-5)+6+7*8+9)
5479 = 1+2*(3+456*((7+8)-9))
5479 = 1+((2+3^4)*(5+6))*((7+8)-9)
5479 = (((-((-1)+(2^3)))+(4^5))*6)-(7*89)
5479 = (((-((-1)+(2^3)))+(4^5))*6)-(7*89)
5479 = (((-(1+2*3))+(4^5))*6)-(7*89)
5479 = (((-(1+2*3))+(4^5))*6)-(7*89)
5479 = (((-((-1)+(2^3)))+(4^5))*6)-(7*89)
5479 = (((-((-1)+(2^3)))+(4^5))*6)-(7*89)
5479 = (((-((-1)+(2^3)))+(4^5))*6)-(7*89)
5479 = (((-((-1)+(2^3)))+(4^5))*6)-(7*89)
5479 = (((-(1+2*3))+(4^5))*6)-(7*89)
5479 = (((-(1+2*3))+(4^5))*6)-(7*89)
5479 = (((-(1+2*3))+(4^5))*6)-(7*89)
5479 = (((-(1+2*3))+(4^5))*6)-(7*89)
5479 = (((-((-1)+(2^3)))+(4^5))*6)-(7*89)
5479 = (((-(1+2*3))+(4^5))*6)-(7*89)
5479 = (-((1/2)^-(3+4)))+((56+7)*89)
5479 = (-((1*2)^(3+4)))+((56+7)*89)
5479 = (-((1/2)^-(3+4)))+((56+7)*89)
5479 = (-((1/2)^-(3+4)))+((56+7)*89)
5479 = (-((1*2)^(3+4)))+((56+7)*89)
5479 = (-((1*2)^(3+4)))+((56+7)*89)
5479 = (-(1*(2^(3+4))))+((56+7)*89)
5479 = (-(1*(2^(3+4))))+((56+7)*89)
5479 = 1*((-(2^(3+4)))+((56+7)*89))
5479 = (-(1/(2^-(3+4))))+((56+7)*89)
5479 = (-(1/(2^-(3+4))))+((56+7)*89)
5479 = (-((1/2)^-(3+4)))+((56+7)*89)
5479 = (-((1*2)^(3+4)))+((56+7)*89)
5479 = (-(1*(2^(3+4))))+((56+7)*89)
5479 = 1*((-(2^(3+4)))+((56+7)*89))
5479 = (-(1/(2^-(3+4))))+((56+7)*89)
5479 = (-((1/2)^-(3+4)))+((56+7)*89)
5479 = (-((1*2)^(3+4)))+((56+7)*89)
5479 = (-(1*(2^(3+4))))+((56+7)*89)
5479 = 1*((-(2^(3+4)))+((56+7)*89))
5479 = (-(1/(2^-(3+4))))+((56+7)*89)
5479 = 1+(2+3^4)*((-((5*6)-7))+89)
5479 = 1+(2+3^4)*((-((5*6)-7))+89)
5479 = 1+(2+3^4)*((-((5*6)-7))+89)
5479 = ((1/2)/3)^-4+(5+6*7)*89
5479 = ((1/2)/3)^-4+(5+6*7)*89
5479 = ((1/2)/3)^-4+(5+6*7)*89
5479 = ((1/2)/3)^-4+(5+6*7)*89
5479 = ((1/2)/3)^-4+(5+6*7)*89
5479 = ((1/2)/3)^-4+(5+6*7)*89
5479 = ((1*2)*3)^4+(5+6*7)*89
5479 = ((1*2)*3)^4+(5+6*7)*89
5479 = ((1*2)*3)^4+(5+6*7)*89
5479 = ((1*2)*3)^4+(5+6*7)*89
5479 = ((1*2)*3)^4+(5+6*7)*89
5479 = ((1*2)*3)^4+(5+6*7)*89
5479 = (1+2+3)^4+(5+6*7)*89
5479 = (1+2+3)^4+(5+6*7)*89
5479 = (1+2+3)^4+(5+6*7)*89
5479 = (1+2+3)^4+(5+6*7)*89
5479 = (1+2+3)^4+(5+6*7)*89
5479 = (1+2+3)^4+(5+6*7)*89
5479 = 1*((2*3)^4)+(5+6*7)*89
5479 = 1*((2*3)^4)+(5+6*7)*89
5479 = 1*((2*3)^4)+(5+6*7)*89
5479 = 1*((2*3)^4+(5+6*7)*89)
5479 = 1/((2*3)^-4)+(5+6*7)*89
5479 = 1/((2*3)^-4)+(5+6*7)*89
5479 = 1/((2*3)^-4)+(5+6*7)*89
5479 = 1*((2*3)^4)+(5+6*7)*89
5479 = 1*((2*3)^4)+(5+6*7)*89
5479 = 1*((2*3)^4+(5+6*7)*89)
5479 = 1/((2*3)^-4)+(5+6*7)*89
5479 = 1/((2*3)^-4)+(5+6*7)*89
5479 = 1*((2*3)^4)+(5+6*7)*89
5479 = 1*((2*3)^4+(5+6*7)*89)
5479 = 1/((2*3)^-4)+(5+6*7)*89
5479 = ((1/2)/3)^-4+(5+6*7)*89
5479 = ((1/2)/3)^-4+(5+6*7)*89
5479 = ((1/2)/3)^-4+(5+6*7)*89
5479 = ((1*2)*3)^4+(5+6*7)*89
5479 = ((1*2)*3)^4+(5+6*7)*89
5479 = ((1*2)*3)^4+(5+6*7)*89
5479 = (1+2+3)^4+(5+6*7)*89
5479 = (1+2+3)^4+(5+6*7)*89
5479 = (1+2+3)^4+(5+6*7)*89
5479 = 1*((2*3)^4)+(5+6*7)*89
5479 = 1*((2*3)^4)+(5+6*7)*89
5479 = 1*((2*3)^4+(5+6*7)*89)
5479 = 1/((2*3)^-4)+(5+6*7)*89
5479 = 1/((2*3)^-4)+(5+6*7)*89
5479 = 1*((2*3)^4)+(5+6*7)*89
5479 = 1*((2*3)^4+(5+6*7)*89)
5479 = 1/((2*3)^-4)+(5+6*7)*89
5479 = ((1/2)/3)^-4+(5+6*7)*89
5479 = ((1*2)*3)^4+(5+6*7)*89
5479 = (1+2+3)^4+(5+6*7)*89
5479 = 1*((2*3)^4)+(5+6*7)*89
5479 = 1*((2*3)^4+(5+6*7)*89)
5479 = 1/((2*3)^-4)+(5+6*7)*89
5479 = (((-((-1)+(2^3)))+(4^5))*6)-(7*89)
5479 = (((-(1+2*3))+(4^5))*6)-(7*89)
5479 = 1+2*((((3^(4+5))-6)/7)-(8*9))
5479 = 1+(2+3^4)*((-((-((-5)+6))+7))+(8*9))
5479 = 1+(2+3^4)*((-((-((-5)+6))+7))+(8*9))
5479 = 1+(2+3^4)*((-((-((-5)+6))+7))+(8*9))
5479 = ((((12^3)/4)-5)*(6+7))-(8*9)
5479 = (-1)+((2+3)*(4^(5^((-6)+7))+8*9))
5479 = (-1)+((2+3)*(4^(5/((-6)+7))+8*9))
5479 = (-1)+((2+3)*(4^(5*((-6)+7))+8*9))
5479 = (-1)+((2+3)*((4^5)^((-6)+7)+8*9))
5479 = (-1)+((2+3)*((4^5)/((-6)+7)+8*9))
5479 = (-1)+((2+3)*((4^5)*((-6)+7)+8*9))
5479 = (-1)+((2+3)*((4^5)^((-6)+7)+8*9))
5479 = (-1)+((2+3)*((4^5)^((-6)+7)+8*9))
5479 = (-1)+((2+3)*((4^5)/((-6)+7)+8*9))
5479 = (-1)+((2+3)*((4^5)/((-6)+7)+8*9))
5479 = (-1)+((2+3)*((4^5)*((-6)+7)+8*9))
5479 = (-1)+((2+3)*((4^5)*((-6)+7)+8*9))
5479 = (-1)+((2+3)*(4^(5^((-6)+7))+8*9))
5479 = (-1)+((2+3)*(4^(5^((-6)+7))+8*9))
5479 = (-1)+((2+3)*(4^(5^((-6)+7))+8*9))
5479 = (-1)+((2+3)*(4^(5/((-6)+7))+8*9))
5479 = (-1)+((2+3)*(4^(5/((-6)+7))+8*9))
5479 = (-1)+((2+3)*(4^(5/((-6)+7))+8*9))
5479 = (-1)+((2+3)*(4^(5*((-6)+7))+8*9))
5479 = (-1)+((2+3)*(4^(5*((-6)+7))+8*9))
5479 = (-1)+((2+3)*(4^(5*((-6)+7))+8*9))
5479 = (-12)+(((-(3*4))+(5*67))*(8+9))
5479 = (-12)+(((-(3*4))+(5*67))*(8+9))
5479 = (-12)+(((-(3*4))+(5*67))*(8+9))
5479 = (-12)+(((-(3*4))+(5*67))*(8+9))
5479 = (-12)+(((-(3*4))+(5*67))*(8+9))
5479 = (-12)+(((-(3*4))+(5*67))*(8+9))
5479 = (-12)+(((-(3*4))+(5*67))*(8+9))
5479 = (-12)+(((-(3*4))+(5*67))*(8+9))
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7^((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7/((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7*((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7^((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7^((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7^((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7/((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7/((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7/((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7*((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7*((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7*((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7^((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7/((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7*((-8)+9)
5479 = ((12*((3^4)-5))*6+7)^((-8)+9)
5479 = ((12*((3^4)-5))*6+7)/((-8)+9)
5479 = ((12*((3^4)-5))*6+7)*((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7^((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7/((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7*((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7^((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7/((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7*((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7^((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7/((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7*((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7^((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7/((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7*((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7^((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7/((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7*((-8)+9)
5479 = ((12^3)*(4-(5/6))+7)^((-8)+9)
5479 = ((12^3)*(4-(5/6))+7)/((-8)+9)
5479 = ((12^3)*(4-(5/6))+7)*((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7^((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7/((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7*((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7^((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7/((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7*((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7^((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7/((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7*((-8)+9)
5479 = ((12^3)*(4-(5/6))+7)^((-8)+9)
5479 = ((12^3)*(4-(5/6))+7)/((-8)+9)
5479 = ((12^3)*(4-(5/6))+7)*((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7^((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7/((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7*((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7^((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7/((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7*((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7^((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7/((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7*((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7^((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7^((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7/((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7/((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7*((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7*((-8)+9)
5479 = ((12^3)*(4-(5/6))+7)^((-8)+9)
5479 = ((12^3)*(4-(5/6))+7)/((-8)+9)
5479 = ((12^3)*(4-(5/6))+7)*((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7^((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7/((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7*((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7^((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7/((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7*((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7^((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7/((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7*((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7^((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7/((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7*((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7^((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7^((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7^((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7/((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7/((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7/((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7*((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7*((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7*((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7^((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7^((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7^((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7^((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7/((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7/((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7/((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7/((-8)+9)
5479 = (12*((3^4)-5))*6+7*((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7*((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7*((-8)+9)
5479 = (12^3)*(4-(5/6))+7*((-8)+9)
Eq count: 957441620
Total solutions count for 5479: 356

Итак, для ограничения по целым степеням не более 27 по модулю, вычислимыми оказались результаты ~957 млн выводов и среди них 356 являются выводами числа 5479 и ни один вывод (а соответственно ни один вывод с операциями сложения, вычитания, конкатенации, умножения и деления, а также некоторые выводы с этими же операциями и некоторыми целыми степенями) не является выводом числа 10958. В чем его особенность?

Призраки и тени

Для задачи, аналогичной задаче Танежи в восходящем порядке, но с начальными векторами длины 8, такими как $(1, 2, ... , 8)$ и $(2, 3, ... , 9)$ количество вариантов меньше, а с иррациональными, комплексными и длинными целыми значениями элементов векторов (1) — (7) справляются оптимизированные алгоритмы Вольфрам Математики. Так, достоверно известно, что ни один вывод в $(1, 2, ... , 9)$ , имеющий на 8-ой итерации оператор конкатенации, сложения или вычитания не может привести к значению 10958. Какие возможности для дальнейшего решения это даёт?
Число 10958 является полупростым. И если последняя итерация вывода не содержит сложение, вычитание и конкатенацию, то один из операндов на 8-ой итерации будет гарантировано включать 5479 в некоторой степени, за исключением двух случаев:

когда операнды кратны некоторым комплексно-сопряжённым
когда один из операндов содержит логарифм, основание или показатель которого кратны 5479

И если первый случай