«Решаем задачки про ненормальных детей», или Как приблизить математику к реальности26.03.2025 21:31

Речь пойдёт о так называемых текстовых задачах, в которых сначала рассказывается некая история, а затем предлагается ответить на вопрос по ней. Как педагог дополнительного образования я имею дело только с олимпиадными задачами, поэтому примеры будут из школьных олимпиад, но полагаю, что и в обычных учебниках тоже есть к чему придраться что улучшить.

В заголовок статьи вынесено название прошлогоднего чатика (в теперь уже запрещённом для учителей мессенджере, но сейчас не об этом) с моими учениками, причём назвали его так они сами. Так что же не так с героями задач и можно ли с этим что-то поделать?

По моим наблюдениям, герои текстовых задач довольно часто:

• Имеют непривычные для современных школьников имена. Это могут быть Вася или Петя, если они фигурируют в задаче по одному или вдвоём, а также Аркадий, Борис, Вениамин, Глеб и Денис, если в истории много действующих лиц. Как-то раз мне встретились Аля, Валя, Галя, Белла и Диля, когда автор позаботился о женской части аудитории.

• Вызывают когнитивный диссонанс. Недавно попалась задача, в которой Белоснежка общается с десятью гномами. В итоге вместо размышлений над сутью задачи мой несчастный мозг задавался вопросом, откуда взялись ещё три гнома.

• Ведут себя странно, нелогично. Например, двое друзей играют в игру, в результате которой один обязательно в плюсе (который может измеряться деньгами или конфетами), а другой всегда проигрывает. И вопрос только в том, насколько первый сможет нагреть второго.

Ну, с именами всё понятно. Использование «шаблонных» Вась и Петь не мешает восприятию задачи, а напротив, даже помогает абстрагироваться от реальных знакомых (заодно удерживает от шуточек над одноимёнными одноклассниками, если герой задачи демонстрирует не лучшие качества). Имена по алфавиту нужны для сокращённой записи условия задачи, и ничего страшного, если Аркадий по ходу решения вдруг превратится в Андрея, а Глеб станет Георгием. Иногда дети специально стараются придумать как можно больше разных трактовок записанного на доске только первой буквой имени — вполне себе хорошая дополнительная тренировка для мозга, как мне кажется.

Лишние гномы — как лишние пальцы на изображениях, созданных нейросетью. Раздражают, отвлекают, мешают в полной мере насладиться решением задачи. Тут можно предложить авторам либо сократить их поголовье до стандартных семи штук, если при этом задача не потеряет смысл, либо подобрать более подходящих персонажей. Конкретно в этом случае гномы делились на правдивых и не очень, поэтому можно было просто заменить их на знакомых всем рыцарей и лжецов. Да, они уже, наверное, всем приелись, зато не пришлось бы лишний раз объяснять, чем друг от друга отличаются.

И, наконец, нелогичность в задачах. Собственно, то, ради чего и затевалась эта статья. С нелогичностью хочется бороться, чтобы подрастающее поколение видело, что математика действительно может помочь в решении практических задач, а не занимается какими-то сферическими конями в вакууме.

А теперь слайды! примеры.

Кто не работает, тот ест!

Начнём с тех задач, где один из героев наживается на другом.

Петя загадывает четырёхзначное число вида 20∗∗. Вася последовательно проверяет, делится ли загаданное Петей число на 1, 3, 5, 7, 9, 11, и, если делится, то Вася платит Пете 1, 3, 5, 7, 9 или 11 рублей соответственно. Какое наибольшее количество рублей может получить Петя?

Что меня смущает в этой истории?

Вася по сути выполняет работу для Пети (и по инициативе Пети), при этом почему-то Вася же Пете за это и платит. А нам (точнее, школьникам, участвующим в олимпиаде) тоже предлагают поработать на Петю — помочь ему придумать такое число, чтобы его прибыль была максимальной. За Петю, конечно, можно порадоваться, но кажется, это какие-то неправильные трудовые отношения.

Ещё один пример:

Таня и Вера играют в игру. У Тани есть карточки с числами от 1 до 30. Она расставляет их в некотором порядке по кругу. Для каждых двух соседних чисел Вера считает их разность, вычитая из большего числа меньшее, и выписывает получившиеся 30 чисел себе в блокнот. После этого Вера отдает Тане количество конфет, равное наименьшему числу из выписанных в блокнот. Таня выкладывает карточки так, чтобы получить как можно больше конфет. Какое наибольшее количество конфет она может получить?

Опять та же картина: Вера старается, что-то там вычисляет, записывает, а мы помогаем хитрой Тане побольше на этом заработать.

А ведь можно ту же схему с конфетами повернуть так, чтобы история была не про эксплуатацию одним героем другого, а про поощрение удачной находки. Автору следующей задачи это вполне удалось:

Миша предложил Юле передвинуть фишку из клетки A в клетку B. За один шаг можно передвинуть фишку в соседнюю по стороне или по углу клетку. Чтобы было интереснее, Миша положил 30 конфет в призовой фонд, но сказал, что будет забирать по 2 конфеты за каждый горизонтальный или вертикальный ход и по 3 конфеты за каждый диагональный ход. Оставшиеся конфеты Юля получает в награду. Какое максимальное количество конфет может выиграть Юля?

Те же 14 конфет в ответе (простите за спойлер), но задача выглядит куда логичнее. Бонус получает тот, кто трудится, причём размер бонуса зависит от качества найденного решения.

Я 11 лет считаю спички в коробках…

Учитель написал на доске число. Саша решил поделить его с остатком на 102, а Маша — на 103. Оказалось, что частное, полученное Сашей, и остаток, полученный Машей, в сумме дают 20. Какой остаток получил Саша?

Просто представьте себе эту ситуацию.

Вы сидите на уроке / лекции / рабочем месте (нужное подчеркнуть), и там учитель / преподаватель / начальник пишет число. И вы сразу: «Хм, почему бы не поделить его с остатком на 102?», а рядом одноклассник / друг / коллега поддерживает: «Отличная идея! Только я бы, пожалуй, на 103 поделил».

На самом деле, эту задачу легко исправить, если сказать, что задание делить с остатком дал детям учитель. А вот в следующем примере остаётся только посочувствовать герою.

Расстояние между городами А и Б составляет целое число километров. На дороге между городами каждый километр стоит табличка: на одной стороне написано расстояние до города А, на другой — до города Б. Слава шёл пешком из города А в город Б. В течение своего путешествия Слава посчитал для каждой таблички НОД чисел, написанных на ней. Оказалось, что среди посчитанных НОДов встречаются только числа 1, 3 и 13. Чему равняется расстояние между городами?

Это что же должно было случиться со Славой, чтобы он после этого шёл пешком по трассе 39 километров и считал НОДы?

Встаньте, дети, встаньте в круг…

В детском саду 150 детей выстроились по кругу. Каждый смотрит на воспитателя, стоящего в центре круга. Часть детей одета в синие куртки, а остальные — в красные. Детей в синих куртках, левый сосед которых в красной куртке, 12 человек. Сколько детей, левый сосед которых в куртке того же цвета?

150 детей — это, пожалуй, весь детский сад разом, от яслей до подготовишек. Попробуйте представить то, что описано в задаче. Это как минимум сложно, а если всё-таки получится, то страшно.

Сразу возникает куча вопросов, никак не связанных с математической составляющей задачи:

• Зачем их всех заставили встать в один круг?

• Где на территории детского сада удастся этот круг разместить?

• Сможет ли один воспитатель справиться с таким количеством детей?

• Как ему удалось добиться, чтобы они все одновременно на него смотрели?

• Зачем вообще нужен воспитатель, если его наличие/отсутствие не влияет на задачу?

• Кстати, а какого цвета у него куртка?

А ведь можно ту же самую задачу сформулировать гораздо ближе к жизни. Даже оставаясь в рамках детского сада, если потребуется. Например, так:

В детском саду Вася выстроил вокруг себя 150 деталей лего. Часть деталей синего цвета, а остальные — красные. Синих деталей, слева от которых лежит красная, 12 штук. Сколько деталей, слева от которых деталь того же цвета?

Это легко представить и даже можно объяснить для себя всю ситуацию. К примеру, дело было вечером, остальных детей уже забрали родители, а мама Васи немного задержалась на работе, и вот он сидит в одиночестве и развлекается как может.

Кстати, умение переформулировать задачу — полезный навык для современного учителя. Пригодится, чтобы исключить (или хотя бы снизить) вероятность того, что заботливо подобранная вами задача будет загуглена вместе с ответом и решением.

Критикуешь — предлагай

Если пойти дальше, можно не только переформулировать имеющиеся в распоряжении задачи, делая их более естественными, но и придумывать собственные — так сказать, основанные на реальных событиях.

Например, про четыре лифта в подъезде новостройки, два из которых ездят в паркинг, а другие два спускаются только до первого этажа, и, чтобы приехал нужный лифт, нужно зажать кнопку вызова на 3 секунды. Или про душ на последнем этаже старого дома, который становится контрастным не тогда, когда владелец решит закаляться, а когда на другом этаже кто-то спускает воду в туалете.

Но это пока только на уровне идеи, готовых формулировок у меня нет.

В заключение приведу несколько примеров хороших, на мой взгляд, задач. Они логичные, реалистичные (даже когда речь идёт о вымышленных существах), их интересно решать.

Ну, и напоследок история из жизни.

Решаем с ребятами задачу: «Напишите 7 последовательных натуральных чисел, чтобы среди цифр в их записи было ровно 16 двоек». Нашли одно решение. Спрашиваю: «А как ещё можно получить 16 двоек?» Шёпот с третьей парты: «Прийти на географию».