Об одном индикаторе, применимом для наглядной оценки быстро возрастающих функций20.04.2020 10:03

Для многих моделей эпидемий — SIR, SEIR и подобных (детали математического описания см., например, в www.idmod.org/docs/hiv/model-compartments.html) справедливо следующее утверждение: на начальном этапе эпидемии, когда количество заразившихся (I) много меньше размера популяции, скорость роста количества заболевших пропорциональна количеству заболевших:

$∂I/∂t=βI $ , где β — коэффициент, характеризующий скорость заражения.
Решением данного уравнения является показательная функция. Для показательной функции $f(t)=a^t$ справедливо следующее функциональное уравнение:

$f(t+log_a⁡2 )=2f(t)$

Т.о. число $log_a⁡2 $ является периодом удвоения для функции $f(t)=a^t$ . По определению, если период удвоения для гладкой неубывающей функции является константой, то функция — показательная.

Как и многие другие в это интересное время, я слежу за графиками роста заболеваемости, публикуемыми, к примеру, на сайте.

Уже довольно давно графики стали напоминать нечто, похожее на бумеранг или хоккейную клюшку:

Рисунок 1

Те же графики в логарифмическом масштабе дают чуть больше информации:

Рисунок 2

Видно, что темпы роста имеют тенденцию к замедлению, поскольку наклон логарифма от соответствующей функции уменьшается, но все же есть неудовлетворенность от непонимания, насколько всё-таки действенны применяемые меры по сдерживанию эпидемии.

Реальная динамика количества заражённых даже в условиях применимости приближения $∂I/∂t=βI $ отличается от экспоненциальной, что обусловлено в первую очередь мерами по сдерживанию эпидемии, которые приводят к тому, что $β$ перестаёт быть константой и становится убывающей (если меры эффективные, разумеется) функцией от времени.

В связи с вышеизложенным в качестве индикатора, применимого для наглядной оценки функций, похожих на показательную, предлагается использовать период удвоения. В общем случае для монотонно возрастающей функции $f(t)$ период удвоения $D(t)$ можно определить из следующего функционального уравнения:

$f(t+D(t))=2f(t)$

Отличие $D(t) $ от константы свидетельствует об отличии $f(t)$ от экспоненты. Применительно к динамике показателей заболеваемости, рост $D(t) $ (в идеале — к бесконечности) свидетельствует об эффективности принимаемых мер по сдерживанию эпидемии.

В случае функций, заданных таблично на дискретном множестве, например, в виде таблицы зависимости количества заболевших от даты, существует произвол в определении $D(t) $ . В качестве простейшего способа определения $D(t) $ можно предложить следующий:

Пусть t∈{0;1; …; N}-дискретное время, I (t) — количество заболевших в зависимости от времени t. Тогда

Также можно определить «пессимистичный» период удвоения

«Пессимизм» в данном случае связан с тем, что сравнение I (t) производится всегда с I (o), т.е. с «низкой» по определению базой. Но мы ведь предполагаем, что с течением времени ситуация должна улучшаться? Для оптимистов есть своё определение: