Матрица Вандермонда17.08.2024 19:15

Введение

Александр Теофил Вандермонд (28 февраля 1735 — 1 января 1796) — французский музыкант и математик, известный благодаря своей работе в области высшей алгебры.

Главным увлечением Вандермонда длительное время была лишь музыка, но к 35-ти годам юный ученый обратился к математике. Первым делом он провел исследование симметрических функций и решения круговых полиномов, после чего выпустил три статьи: про задачу о ходе коня, про комбинаторику и про основы теории детерминантов.

В честь Александра Теофила был назван специальный класс матриц — матрицы Вандермонда, о котором пойдет речь в данной статье. [1]

Матрица Вандермонда

В линейной алгебре матрица Вандермонда, представляет собой матрицу с членами геометрической прогрессии в каждой строке.

Давайте рассмотрим узлы x_i , где $x_i =\frac{i}{n}$ для i = 0, 1, …, n.

Тогда первый столбец матрицы будет полностью заполнен , оно же x_i^0 ; второй столбец будет заполнен x_i , третий — x_i^2 и так далее. Общий вид матрицы:

$\begin{bmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & ... & x_0^n\\ 1 & x_1 & x_1^2 & ...& x_1^n \\ 1 & x_2 & x_2^2 & ... & x_2^n\\ ... & ... & ... &... &... \\ ... &... & ... &... &x_n^n \end{bmatrix}$

Применение — интерполяция

Задача интерполяции заключается в том, чтобы найти полином вида:

p(x)=a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + … + a_n*x^n

который удовлетворяет условию:

p(x_0)=y_0, …, p(x_m)=y_m.

Сделать это можно используя матрицу Вандермонда, следуя формуле:

V * a = y

где — матрица Вандермонда, a = (a_0, …, a_n) — вектор коэффициентов и y = (y_0, …, y_n) = (p(x_0), …, p(x_n)) — вектор значений. [2]

$\begin{bmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & ... & x_0^n\\ 1 & x_1 & x_1^2 & ...& x_1^n \\ 1 & x_2 & x_2^2 & ... & x_2^n\\ ... & ... & ... &... &... \\ ... &... & ... &... &x_n^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ ... \\ a_n \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \\ ... \\ y_n \end{bmatrix}$

Пример

Даны три точки: (1, 2); (3, 4); (2, 3) , нужно найти полином вида

p(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_n*x^n , проходящий через эти точки.

Для начала, построим матрицу Вандермонда. x_0=1, x_1=3, x_2=2

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 9 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$

Далее, расширим матрицу значениями вектора

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &| & 2 \\ 1 & 3 & 9 & | & 4 \\ 1 & 2 & 4 & | & 3 \end{bmatrix}$

Пользуясь правилами сложения и вычитания строк матрицы, упростим её до формы:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0\end{bmatrix}$

Далее, решаем систему методом подстановки, a_2=0, a_1=1, a_0=1.

Таким образом, наш полином равен p(x)=1 + x

Код

Мы создадим собственную функцию vandermonde_matrix,которая вычисляет матрицу

Вандермонда (n + 1) × (n + 1) с узлами x_i , где $x_i =\frac{i}{n}$ для i = 0, 1, …, n .

Входные данные функции — степень искомого полинома, а выходные данные — матрица.

import numpy as np

def vandermonde_matrix(n):
    A=np.zeros((n+1,n+1)) 
    for i in range (n+1):
        for j in range (n+1): 
            A[i][j]=(i/n)**j if n !=0 else 1
    return A

print(vandermonde_matrix(3)) #пример

результат прогонки кода (матрица 4х4)

результат прогонки кода (матрица 4×4)

Число обусловленности

В численном анализе число обусловленности функции показывает насколько может измениться значение функции при небольшом изменении аргумента. Число обусловленности отражает, насколько чувствительна функция к изменениям или ошибкам на входе и насколько ошибка на выходе является результатом ошибки на входе. [3]

Число обусловленности для матрицы Вандермонда будет рассчитываться как произведение двух норм — нормы матрицы Вандермонда и нормы обратной матрицы Вандермонда.

Код

Для n = 1,2,...,100, мы построим матрицу Вандермонда (n + 1) × (n + 1);

вычислим число обусловленности матрицы и построим график зависимости числа обусловленности матрицы Вандермонда от .

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def vandermonde_matrix(n):
    A=np.zeros((n+1,n+1)) 
    for i in range (n+1):
        for j in range (n+1): 
            A[i][j]=(i/n)**j if n !=0 else 1
    return A

cond_vandermonde=np.zeros(101)

for i in range (1, 101):
    matrix=vandermonde_matrix(i)
    matrix_inv=np.linalg.inv(matrix)
    cond_vandermonde[i]=np.array(np.linalg.norm(matrix)*np.linalg.norm(matrix_inv))
    
n_values=np.zeros(101)

for i in range(1, 101):
    n_values[i]=np.array(i)
plt.semilogy(n_values, cond_vandermonde)
plt.ylabel('n')
plt.xlabel('Число Обусловленности')
plt.title('Зависимость числа обусловленности от n') 
plt.show()

результат прогонки кода

Мы можем заметить, что когда увеличивается размер матрицы, число обусловленности также возрастает. Это связано с тем, что матрица Вандермонда содержит всё большие и большие разности элементов, что приводит к увеличению значений определителя.

Из-за того, что определитель матрицы Вандермонда может сильно возрастать с увеличением размера матрицы, происходят численные нестабильности и потери точности вычислений. Благодаря чему мы можем подвести итог.

Заключение

Метод интерполяции с использованием матрицы Вандермонда эффективен для небольшого количества точек, когда нужно построить матрицу небольшого размера. Однако, для больших данных или случаев с высокой чувствительностью к точности, могут потребоваться более устойчивые методы.

Список Литературы

https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Вандермонд, АлександрТеофил
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_matrix
https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Число_обусловленности