Как муравьи решают проблемы коммивояжёров
В математике и программировании порой используются необычные названия явлений, объектов и алгоритмов. Но почти всегда такие названия позволяют быстро понять суть описываемых сущностей. Возьмём, к примеру, широко известную задачу о коммивояжёре — найти кратчайший путь между заданными точками. И действительно, сразу представляется себе коммивояжёр, которому нужно обойти все дома в небольшом городке, но при этом затратить минимум усилий и времени. Эта задача имеет очень широкое применение, ведь оптимизация маршрутов и различных процессов — это одна из самых насущных проблем в современном, быстро меняющемся мире. Для решения этой задачи используются разные алгоритмы, один из них называется «муравьиным». С этим названием всё немного сложнее. Для того, чтобы разобраться с этим алгоритмом, нам для начала нужно присмотреться к поведению муравьёв в их необычном организованном мире.
Необычный мир у нас под ногами
Давайте попробуем представить себе обычный муравейник в лесу — это небольшая горка, в которой, на первый взгляд, хаотично копошатся муравьи. Несколько напоминает станцию метро в час пик. На подступах к муравейнику их становится уже не так много, перемещения отдельных муравьёв выглядят более осмысленными. Это больше похоже на оживлённый проспект где-нибудь в центре города. Если же проследить за отдельными муравьями дальше, то часто можно увидеть вереницу муравьёв, которые организованно ползут друг за другом: в одну сторону пустыми, в другую — с добычей. Чем-то похоже на шоссе с потоком грузовиков. Такая цепочка муравьёв — знакомая всем нам картина, её можно увидеть во многих научно-популярных программах и, конечно, в мультфильмах. Например, в классическом «Томе и Джерри», где такая процессия здорово досаждала отдыхающему в гамаке Тому.
Ещё со школы мы знаем, что муравьи — высокоорганизованные существа. Они выполняют множество различных задач: разводят тлю в качестве домашних животных (мирмекофилия), организованно транспортируют запасы пищи из найденных источников в специальные хранилища внутри муравейника, строят и ремонтируют этот самый муравейник, защищают его от врагов. Но как же так получается, что обычные насекомые ведут такую осмысленную коллективную деятельность? Ведь по некоторым данным, в мозге у одного муравья всего около 500 тысяч нейронов. Для сравнения, у человека их 86 миллиардов. Это значит, что сам муравей не в состоянии принять какое-то осмысленное решение. Максимум, на что он способен, это следовать простейшей программе. Единого мозгового центра у муравейника тоже нет — в нём не сидит некий суперумный ведущий муравей, который мудро управляет всеми остальными муравьями. Как же функционирует единая система «муравейник»? Наука пока не может дать однозначный ответ на все вопросы о муравьях, но исследования продолжаются, работы ведутся. О направлении этих исследований и некоторых гипотезах об устройстве муравьиного «управления», например, можно почитать в статье журнала «Наука и жизнь». Примечательно, что некоторые научные исследования муравьёв уже достигли стадии широкого практического применения в технологиях и программировании.
Следуй за этим муравьём
Давайте вернёмся к нашему примеру с цепочкой муравьёв. Как муравьи «понимают», что в определённом месте находится источник питания и нужно двигаться к нему по определённому маршруту? Учёные довольно давно выяснили, как это происходит. На основе исследования поведения муравьёв им удалось создать один из самых эффективных алгоритмов достаточно быстрого решения задачи. Этот алгоритм официально так и называется «муравьиным», по-английски — ant colony optimization, сокращённо ACO.
Муравей на цветке / Фото jcomp, ru.freepik.com
Проследим за одним так называемым муравьём-фуражиром, задачей которого в муравьиной семье является добыча пищи. В обычном режиме он бессистемно курсирует по местности в поисках чего-нибудь съедобного. В какой-то момент он находит источник пищи, например, сочный аппетитный фрукт. Сам муравей, естественно, этот фрукт дотащить до муравейника не может. Тогда он забирает кусочек добычи и тащит его в муравейник. При этом он помечает свой путь специальным феромоном. Дальше мы для простоты будем называть этот феромон просто «меткой». Важно то, что другие муравьи, почуяв запах такой метки, с большой охотой побегут по тому же пути. Для них это сигнал, что эта дорожка приведёт к чему-то вкусному и питательному.
В книге Игоря Акимушкина «Проблемы этологии» (1985 год) описан такой интересный опыт:
Возьмите лист бумаги и положите его на пути муравья, возвращающегося домой с известием о богатой находке. Когда муравей проползет по листу, пометьте его путь лёгким штрихом карандаша и поверните бумагу под небольшим углом. Муравьи, вызванные из гнезда, добегут по трассе до края бумаги, упрутся в то место, где раньше трасса проходила с земли на лист, но — тут обрыв! Начнут суетиться у разрыва, искать трассу и, когда найдут её в стороне, снова побегут по прямой. Вы увидите, что путь муравьёв будет совпадать с отмеченной карандашом линией.
Немного про обратные связи
К сожалению, мы знаем, что всё вкусное имеет свойство быстро заканчиваться. Так что же произойдёт, когда муравьи по кусочкам перенесут этот сочный фрукт в муравейник? Мудрая природа предусмотрела и это. Дело в том, что метка постепенно испаряется. Пока муравьи носят добычу в муравейник, они постоянно подпитывают метку на своём пути — ведь каждый из них возвращается с добычей. Но в какой-то момент муравьи начнут возвращаться ни с чем — оставлять свою метку они уже не будут. С точки зрения математики, такое испарение метки обеспечивает отрицательную обратную связь всей системе.
Кстати, описанная организация процесса даёт муравьям ещё один замечательный «бонус» — поиск кратчайшего пути от фрукта к муравейнику. В принципе, муравей не обязан выбирать путь с меткой. Такой путь для него более привлекательный, но не единственный. Муравей может перемещаться хаотично, оставляя свою метку на любой траектории. Но за определённый период времени по кратчайшему пути пройдёт больше муравьёв, чем по всем остальным путям. А это значит, что на самом коротком пути количество метки будет больше, чем на всех остальных случайных траекториях. И это количество будет постоянно увеличиваться за счёт того, что другие муравьи с большей вероятностью будут выбирать этот путь. С математической точки зрения — это положительная обратная связь.
От муравьёв к системе
Что же в итоге мы имеем? Давайте перечислим все особенности получившейся системы:
система является самоорганизующейся, без единого центра управления;
система является распределённой — каждый муравей использует только доступную ему локальную информацию;
система является устойчивой — если пара муравьёв заблудится по дороге, то это никак не повлияет на решение общей задачи;
система успешно решает задачу самооптимизации — с помощью отрицательной и положительной обратной связи муравьи находят кратчайший маршрут.
По сути муравьи представляют собой реализацию живого алгоритма для быстрого отыскания кратчайшего пути между двумя точками. Почему бы не формализовать этот алгоритм и не использовать его для нахождения оптимальной траектории между любым количеством точек? Впервые эту задачу решил французский учёный Марко Дориго. Именно он в своей диссертации в 1992 году предложил первую версию «муравьиного алгоритма».
Марко Дориго / Фото с личного сайта учёного
Алгоритмизируем муравьёв
Рассмотрим один из вариантов реализации муравьиного алгоритма. Итак, у нас есть заданное количество точек. Задача заключается в том, чтобы за несколько итераций найти кратчайший маршрут обхода всех точек. Количество муравьёв совпадает с количеством точек. Перед каждой итерацией размещаем муравьёв по одному в каждой точке.
На каждой итерации каждый муравей обходит все точки по определённой траектории. При составлении своей траектории каждый муравей несколько раз «выбирает» точку, в которую он переместится. На выбор точки для перемещения влияют следующие параметры:
Список точек, заходить в которые нельзя. Муравей за итерацию может посетить каждую точку только один раз.
Желание посетить точку — муравей с большей охотой посещает ближайшие к нему точки. Обозначим этот параметр как N. Он будет равен 1/D, где D — расстояние до рассматриваемой точки от текущего положения муравья.
Количество меток на пути между точкой, в которой находится муравей, и рассматриваемой точкой. Обозначим этот параметр как T.
Кратчайший путь между точками A и B / Wikimedia Commons
Чтобы решить, в какую точку ему переместиться, муравей сначала составляет список точек, в которых он ещё не был. Для каждой из точек полученного списка муравей выполняет следующие действия:
вычисляет параметры N и T;
получает показатель H = Tα·Nβ, где α и β — это весовые коэффициенты, настройки алгоритма;
вычисляет вероятность перемещения в точку — P = H / (сумма H всех точек).
После этого муравей с учётом вероятностей P выбирает точку, в которую ему нужно переместиться. Представим себе рулетку, в которой каждой точке соответствует сектор с площадью, пропорциональной вероятности P. С помощью такой гипотетической рулетки муравей и делает свой выбор.
После перемещения муравья между точками нужно увеличить количество меток на этом отрезке на величину, равную Q / L, где L — расстояние между точками, а Q — настраиваемый параметр всего алгоритма в целом (он выбирается одного порядка со средним расстоянием между точками).
Таким образом, в рамках одной итерации каждый муравей по определённой траектории обходит все заданные точки. В конце каждой итерации нам нужно обеспечить испарение метки на каждом из отрезков между точками. Для этого нужно умножить её количество на постоянную величину E (evaporation), которая больше 0, но меньше 1.
Ну и конечно, в конце каждой итерации нам нужно выбрать кратчайший маршрут. Если он лучше, чем самый короткий маршрут за все предыдущие итерации, то выбираем его как текущее решение задачи. И так — итерация за итерацией, пока кратчайший маршрут на протяжении нескольких итераций не перестанет изменяться. Тогда с достаточной степенью уверенности мы сможем сказать, что решили поставленную задачу.
Пример нескольких итераций решения задачи коммивояжёра с помощью муравьиного алгоритма / Wikimedia Commons
Экспериментируем с алгоритмом
Здесь приведено упрощённое изложение алгоритма без сложных формул, но если вас интересуют подробности, то вы можете найти их в Сети. Начать можно, например, отсюда. Также можно найти много готовых программ с иллюстрацией работы алгоритма. Мне больше всего понравилась программа, которая так и называется — Ant Colony Algorithm. В этой программе можно управлять основными параметрами алгоритма, просматривать результаты каждой итерации, задавать тестовые примеры с любым количеством точек. Кстати, как вы думаете, каким образом можно протестировать работу этого алгоритма? Как понять, что наши муравьи нашли действительно кратчайший маршрут. Для этого есть отличный тестовый пример: точки, расположенные по кругу. Для них кратчайший путь будет всегда один — окружность. В указанной программе такое расположение можно получить, выбрав режим «Automatic placement». А ещё эта программа позволяет попробовать работу различных модификаций алгоритма. При желании в этом можно как следует разобраться, скачав исходники программы на C.
Седьмой шаг поиска оптимального маршрута в программе Ant Colony Algorithm
«NP-простые» муравьи
Чем же так хорош алгоритм, который мы только что изучили? Дело в том, что задача коммивояжёра относится к числу так называемых NP-сложных. Это значит, что её можно решать простым перебором только на очень маленьком числе точек. Даже незначительное увеличение числа точек даёт невообразимый рост количества вычислений (а именно n!, где n — количество точек). Поэтому для нескольких десятков точек задачу простым перебором уже не решить. Тут-то и помогают методы, вроде муравьиного алгоритма. Ведь они позволяют решить эту задачу всего за минуту, тогда как на простой перебор потребовались бы миллионы лет.
Кстати, с помощью муравьиного алгоритма можно оптимизировать не только расстояние. В качестве параметра оптимизации могут выступать цена, время и любые другие показатели. В статье Адама Харта «Эти умницы муравьи» в журнале «Наука в фокусе» (№5 [18], 2013) приводятся такие примеры использования муравьиного алгоритма: планирование маршрутов грузовиков в компании Air Liquide (США), проектирование оптимальной схемы разводки проводов в искусственных спутниках Земли компании Clyde Space (Шотландия), вычисление оптимальных маршрутов космических аппаратов с использованием гравитационных манёвров в модели, разработанной несколькими университетами в Великобритании.
В той же статье описана ещё одна задача, решение которой подсказали учёным муравьи. Это задача вычисления оптимального количества пакетов, необходимых для передачи информации. Дело в том, что муравьи-фуражиры следуют простому правилу: периодичность покидания гнезда зависит от периодичности, с которой другие муравьи возвращаются с провиантом. Этот алгоритм сейчас успешно используется в известном всем протоколе TCP/IP. Высокая частота подтверждений доставки пакетов говорит отправителю о широкой полосе пропускания и возможности увеличения частоты отправки новых пакетов.
Ещё одна сфера, в которой можно применять муравьиный алгоритм — это оптимизация различных внутренних процессов в высокотехнологичных компаниях. Как спланировать производство и разработку, тестирование и документирование, внедрение и поддержку сложных систем, чтобы одни отделы и сотрудники не были перегружены, а другие не простаивали без дела? В выборе оптимальной цепочки и сроков выполнения задач может помочь муравьиный алгоритм.
Программная оптимизация производства и маршрутов грузоперевозок, выбор оптимальной траектории, планирование различных взаимосвязанных работ — всё это прикладные области, в которых можно успешно и эффективно применять муравьиный алгоритм. А всё началось с того, что кто-то внимательно и вдумчиво посмотрел на обычную цепочку муравьёв у себя под ногами. В мире математики и программирования очень многое начинается с простой наблюдательности и умения формализовывать и алгоритмически описывать окружающий мир.
Статья была впервые опубликована на другом ресурсе 19 января 2021.
