К вопросу о теоретической эффективности воздушных винтов и импеллеров13.05.2024 06:30

1. Введение

Здравствуйте, уважаемые читатели Хабра!

Данная статья может оказаться полезной для тех, кто интересуется физикой воздушного винта, реактивного движения, а также для всех, кто неравнодушен к теме авиамоделизма и авиаконструирования!

Я приглашаю Вас ознакомиться со своими выкладками касающимися анализа теоретического предела удельной тяги (кг/кВт) ВМУ в статической конфигурации и, немаловажно, доказательства, что таковой предел существует. Этот предел накладывает ограничения на то, какое значение максимальной тяги можно получить для винта с заданным ограниченным диаметром (ометаемой площадью) и заданной ограниченной мощностью силовой установки.

В силу профессиональной специфики часто приходится взаимодействовать со специалистами, которые также, как и я, занимаются электрической авиацией. Пилотируемой и беспилотной.
Часто приходится слышать обсуждения на тему, что существенного улучшения характеристик летательного аппарата (ЛА), особенно в режимах вертикального взлета и посадки (VTOL), можно достичь за счет поиска новой прогрессивной модели воздушного винта, по сравнению с имеющимися образцами на рынке. Сюда же относятся вопросы, касательно того, дает ли выигрыш в удельной тяге схема с размещением винта (вентилятора) внутри трубы (ducted fan).

Путем несложного анализа процессов, происходящих при работе любой пропульсивной системы (использующей внешнюю среду, как рабочее тело для создания тяги), было решено предложить методику расчета теоретического предела удельной тяги, цель которой — дать ориентир для оценки реальной эффективности ВМУ и возможность сравнивать их между собой.

2. Что такое удельная тяга?

Это один из важнейших параметров, который позволяет оценить эффективность используемого пропеллера, импеллера или любой другой аэро- и гидродинамической установки для создания тяги, которая будет приводить летательный (или плавательный) аппарат в движение.

Единица измерения — один Ньютон тяги на Ватт мощности (Н/Вт)
На практике удобно использовать другую размерность: один килограмм тяги на киловатт мощности (кг/кВт).

Примеры:

Удельная тяга для парамотора Moster-185, на котором мною было совершено несколько тысяч полетов — 75 кг при мощности 25 л.с. на валу винта диаметром 125 см:
75 кг / (25л.с. х 0.735) = 4.08 кг/кВт в режиме максимальной мощности:
Полеты автора на парамоторе Moster-185

Удельная тяга для электрической винтомоторной установки HobbyWing Xrotor X11max согласно таблице, представленной производителем:
На максимальной мощности: 9.55 кВт и 44.6 кг тяги — 4.67 кг/кВт.
Следует обратить внимание, что для корректного сравнения с ВМУ с ДВС необходимо учесть, что в таблице указана электрическая мощность, подаваемая к контроллеру мотора, а нам необходимо брать значение механической мощности на валу, куда прикреплена ступица воздушного винта. Ориентировочное значение сквозного КПД, учитывающий потери в проводах, контроллере (ESC) и в электродвигателе можно взять как 87%, поэтому удельная тяга ВМУ X11max с точки зрения механического привода будет около 5.4 кг/кВт.
Также, из таблицы виден один очень важный факт: при снижении оборотов и снижении подаваемой мощности удельная тяга вырастает!
Но о причине этого явления мы поговорим чуть позже.
Удельная тяга экспериментального импеллера VF-570 найденного на просторах Ютуба:
https://www.youtube.com/watch? v=e-25Y7lKBgo
Для различных режимов, включая режим максимальной мощности:
393В 16.4А 6.4 кВт 23.5 кг — 3.7 кг/кВт;
385В 33.7А 13.0 кВт 40.3 кг — 3.1 кг/кВт;
371В 78А 28.9 кВт 75.4 кг — 2.6 кг/кВт;
339В 215А 72.9 кВт 146 кг — 2 кг/кВт.
Аналогичная картина — чем больше тяга, снимаемая с установки — тем меньше показатель удельной тяги.

Разные ВМУ с разными показателями числа лопастей, диаметром винта/вентилятора, с разным шагом винта, с разными оборотами — как это всё привести к единому знаменателю и понять, какая ВМУ лучше, а какая хуже? Какие данные, заявленные производителем реализуемы физически, а какие завышены по соображениям маркетинга?

3. Как работает воздушный винт? Анализ физики процесса

Согласно третьему закону Ньютона — если приложить к материальному телу силу, то точно такая же сила будет действовать на нас, равная по модулю и противоположная по знаку.
Это означает, что если мы будем давить на воздух с силой 1 Ньютон, то воздух будет давить на нас с силой 1 Н. Это и будет наша сила тяги. Так как воздух — среда нетвердая, текучая и «продавливаемая», то для того, чтобы статическую тягу создавать постоянно — следует отбросив один объем воздуха, тут же необходимо приступать к тому, чтобы зачерпнуть новый объем воздуха и снова его от себя отбросить.
Этот принцип является базовым и лежит в основе принципа работы любой пропульсивной системы: систематически отбрасываем от себя назад новые и новые порции рабочего тела — движемся вперед.

Есть два параметра, которыми мы можем оперировать, чтобы достичь заданного значения тяги:

изменять массовый расход рабочего тела (сколько кг в каждую секунду воздуха или другой среды мы отбрасываем от себя);
изменять прирост скорости рабочего тела (насколько изменяется скорость воздуха до контакта с ВМУ и после операции по его разгону в м/с за счет ВМУ).

Имеем два базовых закона:

Тяга F любого движителя, работа которого основана на отталкивании от себя рабочего тела — равна произведению скорости его истечения на его массовый расход:
(W — массовый расход рабочего тела, кг/с)
(V — скорость истечения, м/с).

F = W х V E = m V^2/2

Отсюда вытекают следствия:
I. Мощность, которую необходимо подводить к системе, которая разгоняет рабочее тело до скорости V равна:

P = E/t = W х V^2/2.

Пример:
Допустим, мы сидим в лодке на середине озера. У нас есть корзина с камнями, каждый из которых имеет массу 0.3 кг. Какую реактивную тягу мы получим, если зададимся целью кидать камни в определенную сторону с частотой 2 камня/сек и если после броска они достигают скорости 10 м/с?
Ответ: (0.3×2) кг/с х 10 м/с = 6 Н или около 0.6 кг тяги.

Какую мощность мы затрачиваем на разгон камней при условии, что разгон камней происходит с КПД = 100%?
Ответ: (0.3×2) кг/с х (10 м/с^2)/2 = 30 Вт.

Какая удельная тяга нашей пропульсивной установки?
Ответ: 0.6 кг/0.03 кВт = 20 кг/кВт.

Допустим, мы захотели поменять ситуацию. Камней в корзине мало, и чтобы создавать ту же самую тягу подольше, решили расходовать камни в два раза реже, но кидать их со скоростью в два раза большей.

Тяга: (0.3×1) кг/с х 20 м/с = 6 Н или около 0.6 кг тяги (не изменилась).
Мощность: (0.3×1) кг/с х (20 м/с^2)/2 = 60 Вт (увеличилась в два раза).
Удельная тяга: 0.6 кг/0.06 кВт = 10 кг/кВт (ухудшилась в два раза).

Вывод: чем меньше используется рабочего тела для создания той же тяги, тем до бОльшей скорости необходимо его разгонять и тем хуже становится показатель удельной тяги.
Этим законом объясняется причина, почему вертолеты имеют винты большого диаметра, а вертолеты из фильма «Аватар» могут летать только в условиях атмосферы с бОльшей плотностью и при более низкой силы тяжести планеты Пандора. Маленькие винты имеют маленькую ометаемую площадь, маленькая площадь не может захватить большую массу воздуха и поэтому для той же тяги необходимо компенсировать недостаток массового расхода бОльшим значением скорости истечения воздушной струи. А это — энергозатратный путь. Земной вертолет в конфигурации фантастического SA-2 samson будет малогрузоподъемным, неэкономичным и дорогостоящим из-за высоких требований к мощности силовой установки.

Фантастический Samson SA-2 из фильма

Фантастический Samson SA-2 из фильма «Аватар»

Настоящий Ми-8 :)

Настоящий Ми-8:)

Теперь перейдем к ВМУ:

Простой геометрический анализ дает нам следующие уравнения:

II. Массовый расход воздуха при скорости потока V:

$W = \pi p D^2 V /4$

где p — плотность воздуха, D — диаметр трубы.

III. Затрачиваемая мощность:

$P = W х V^2/2 = \pi p D^2 V^3/8$

IV. Тяга:

$F = W х V = \pi p D^2 V^2/4$

V. Удельная тяга:

$Q = F/P = (\pi p D^2 V^2/4) / (\pi p D^2 V^3/8) = 2/V$

(в размерности Н/Вт, для размерности кг/кВт надо умножить на 1000/g = 102, где g — ускорение свободного падения — 9.8 м/с^2).

В формуле всё посокращалось, какая красота!
Удельная тяга зависит только от одного параметра — от скорости истечения струи, другими словами от того, насколько быстро мы разгоняем воздух.
Отсюда видно, что самый эффективный винт или вентилятор — этот тот, что разгоняет воздух до возможно МЕНЬШЕЙ скорости.

4. Расчёты на примерах

Начнем расчет с импеллера VasyFan-570 с внутренним диаметром воздухозаборника 570 мм.
Предположим, что КПД вентилятора равен 100%, а КПД электромотора — 90%.
Тогда 72.9 кВт электрической подаваемой мощности, соответствуют 65.6 кВт мощности, закачиваемой в разгон струи воздуха, проходящей через эту трубу.

Выясним, до какой минимальной скорости теоретически может разгоняться поток в трубе VasyFan 570 мм, если все 65.6 кВт мощности будут израсходованы на приведение молекул воздуха в поступательное движение:
Выразим V из формулы для тяги:

$V = \sqrt[3]{8P / (\pi p D^2 )}$

Подставляем 65600 Вт и 0.57 м:
V = 75.39 м/с.

Площадь сечения трубы: pi/4×0.57^2 = 0.255 кв.м.
Объем воздуха для отрезка струи длиной 1 метр: 0.255 куб.м.
Масса воздуха для отрезка струи длиной 1 метр: 0.255×1.2 = 0.306 кг.

Массовый расход воздуха при скорости потока V:
W = 23.085 кг/с.
Тяга:
F = 1740.4 Н (177.6 кг).
Удельная тяга:
Q = 0.0265 Н/Вт (или 2.71 кг/кВт).

И так, теоретическое максимальное значение удельной тяги: 2.71 кг/кВт.
Мы получили цифру теоретического предела. Больше 2.71 кг/кВт при диаметре трубы 570 мм и закачиваемой мощности 65.6 кВт в разгон воздуха — не будет ни при каких условиях, ни при каком самом совершенном винте!

А данные автора показывают на этой мощности 2.22 кг/кВт.
Это составляет 82% от теоретического предела. Эта цифра позволяет нам осторожно предположить, что автор проекта VasyFan представил нам честные данные в ходе эксперимента.

Теперь рассчитаем теоретический предел удельной тяги для парамотора Moster-185:

Q = 6.98 кг/кВт — теоретический предел для механической мощности 18.3 кВт и диаметре винта 125 см.
Реально имеем 18.35 кВт и 75 кг тяги:
Q = 75/18.35 = 4.09 кг/кВт.

58.5% от теоретического предела!

А также рассчитаем ВМУ для тяжелых БПЛА HobbyWing Xrotor X11max:

Q = 6.98 кг/кВт — теоретический предел для механической мощности 8.31 кВт и диаметре винта 120.5 см (48 дюймов).
Реально имеем:
Q = 44.7/8.31 = 5.38 кг/кВт.

77.1% от теоретического предела!

Видим, что импеллер VasyFan-570 превосходит обычный двухлопастный винт по своей способности приблизиться к теоретическому пределу удельной тяги в 74/58.5 = 1.40 раза. Т.е. на 40%.

Чем можно объяснить такой факт?
Известно, что при работе воздушного винта имеют место потери и не вся вращательная энергия на валу винта преобразуется в кинетическую энергию движущегося поступательно воздуха, создающего тягу.

Перечислим виды потерь мощности при работе винта:

потери на индуктивное сопротивление — перетекание потока с нижней части лопасти на верхнюю с образованием концевых вихрей;
сужение воздушной струи после выхода из ВМУ к центру, что приводит к ее разгону до большей скорости
вращение воздушных масс;
преодоление профильного сопротивления лопастей;
потери на создание шума, преобразование механической энергии в акустическую;

Размещение винта (вентилятора) в трубе позволяет уменьшить влияние 1-го и 2-го факторов, а установка спрямляющего аппарата в виде неподвижных лопаток с обратным расположением угла атаки по отношению к лопастям вентилятора позволяет нивелировать 3-ий фактор. Это помогает поднять КПД установки и приблизить ее к теоретическому пределу.

Требует объяснения превосходства пропеллера, идущего в комплекте с установкой HobbyWing Xrotor X11max над ВМУ Moster-185.

77.1% и 58.5%

Предположительно, играет роль то, что у Moster-185 в силу необходимости работать на высоких мощностях стеклопластиковый винт имеет значительный угол атаки, что создает более высокое профильное и индуктивное сопротивление, чем тонкий углепластиковый винт HobbyWing Xrotor X11max с малым углом атаки, рассчитанный на меньшую мощность.
Также, необходимы уточнения значения сквозного КПД аккумулятор-мотор-винт для случаев электрических ВМУ.

5. Заключение

Теоретический анализ движения воздушных масс через заданную площадь поперечного сечения, описываемую лопастями винтомоторной установки, позволяет нам выявить теоретически максимальный достижимый лимит тяги, который может быть получен для самой совершенной конструкции винта или любого другого устройства для разгона воздушной струи. Данный лимит позволяет сравнивать ВМУ между собой и может служить ориентиром, относительно которого может происходить процесс сравнения ВМУ с различными видами винтов в различных режимах работы.

Также, мы видим, что существующие модели ВМУ на рынке уже довольно близко подобрались к своим максимальным возможностям по части КПД и эффективности.

Ожидать прорывных технологий, которые позволят в будущем увеличить снимаемую тягу с единицы ометаемой площади больше чем на пару десятков процентов — не стоит, так как проблема лежит в фундаментальных законах физики: законе сохранения энергии и импульса.