Аксиомы: что это такое и с чем их готовить
Все знают что такое аксиомы, но мало кто понимает что они из себя представляют.
Исходную формулировку «аксиома это положение принимаемое как истинное без доказательств» трактуют как то, что аксиома это что-то что является настолько незыблемой и очевидной истиной, что не требует никаких доказательств.
Проблема такой трактовки состоит в слове «является», и вот почему.
Аксиомы: что это такое и с чем их готовить
Аксиомы в школе
Самый известный и самый лучший пример аксиомы это аксиома о параллельных прямых.
Тот самый, который мы учим в школе в виде «через точку лежащую на прямой линии, в плоскости задаваемой этой линией и точкой, можно провести одну и только одну прямую линию не пересекающуюся с данной прямой линией».
Мы живём в мире где это правило выполняется, где оно используется науке, технике и искусстве, и начинаем считать что так и должно быть — что есть объективная реальность и есть её непререкаемое отражение называемое «аксиомой».
Поэтому, когда мы узнаём про неевклидовы геометрии, это производит на нас очень большое впечатление и вызывает у нас удивление. Оказывается, что есть какая-то математическая теория в которой не признают очевиднейшую из истин.
И всё это удивление происходит из-за того что мы банально не помним того, что нам тогда рассказывали на уроках геометрии.
А рассказывали нам то, что «принимается без доказательств» означает не «принимается как истина дарованная свыше», а строго наоборот — «принимается волевым решением».
Да, Вы можете сказать «одна и только одна прямая», можете сказать «ни одной», можете сказать «больше одной» и волевым решением принять (то есть, назначить) это как истину в трёх разных теориях и логических.
Но то что мы можем волевым решением принять за аксиому любое положение, это не только суть аксиом, но одно из важнейших практических свойств аксиом.
И это тоже было в школьной программе.
«Доказательство от противного» — мы вводим аксиому о том что какое-то утверждение является ложным и пробуем выстроить целостную систему, которая непротиворечива как внутренне, так и с тем что мы считаем реальностью.
«Трением пренебречь» — мы вводим аксиому об отсутствии трения, что не просто является ложным в рамках теорий изучавшихся на других учебных предметах, а является тем что мы считаем противоречащим реальности. И благодаря тому, что мы это сделали, логика расчёта очень сильно упрощается.
Более того, такое обращение с аксиомами происходит не только в рамках школьных уроков, но и в серьёзных расчётах.
Например, основу часто используемого «Уравнения состояния идеального газа» положена аксиома о том что газ рассматривается как монолитная сущность и не состоит из молекул имеющих массу, объём и другие материальные свойства. Благодаря этому у нас есть простое и удобное уравнение.
А ещё, при расчёте вентиляции, в жилых домах и производственных помещениях, воздух рассматривается не как «газ», а как «несжимаемая жидкость». В аксиоматику расчёта вентиляции ввели положение противоречащее физической реальности и получили удобный и практичный математический аппарат.
То есть, аксиома это не «то как есть на самом деле», и даже не «то что выглядит как то что есть на самом деле». Аксиома это «в рамках данного расчёта/проекта/теории будем исходить из вот этого, и не важно как оно на самом деле».
Но кроме торжества волюнтаризма (а возможно и оппортунизма), из «принимается без доказательства» следует ещё одно важное свойство аксиом.
Пятый постулат Евклида
Пятый постулат Евклида это та самая аксиома о количестве прямых которые можно провести через точку (она же, «аксиома о параллельных прямых»).
Дело в том, что сформулированная в нём идея настолько очевидна, настолько на поверхности, что возникает ощущение её закономерности. А если что-то закономерно, то возникает соблазн эту закономерность разложить на более мелкие части и доказать.
И тут снова возникает проблема трактовки аксиом как того что есть на самом деле. Потому, что, в этом случае, идея «доказать пятый постулат Евклида» приобретает мистический налёт «доказать реальность» и «познать истину».
На самом деле, тема «доказательства аксиомы о параллельных прямых» она не о мистике или объективной реальности. А о чём же тогда?
Ну, во-первых, для математиков это вопрос спортивного азарта, профессиональной гордости и желания поместить себя в пантеон математиков всех времён и народов.
А во-вторых, она о том самом свойстве аксиом «принимается без доказательства».
Ну вот смотрите, у вас есть 5 аксиом, на которых вы построили всю геометрию. Вот эти вот теоремы, уравнения и деления угла с помощью циркуля, они построены на 5 аксиомах.
Делаете из 2 аксиом вывод, из 3 других аксиом другой вывод, потом делаете из этих выводов ещё один, потом добавляете ещё щепотку аксиом и ещё вывод. И так, шаг за шагом строите всю геометрию, используя аксиомы как кирпичики. Где-то кирпичики используются сами, а где-то в виде уже сложенной стены с окошком и дверью на лоджию.
И что же произойдёт в случае если получится доказать пятую аксиому?
Правильно — аксиом останется 4, потому что аксиома принимается без доказательств, и если её, в рамках данной теории, доказали, то это не аксиома, а ещё один вывод.
Само собой, это никак не повлияет на объективную реальность и не изменит основу мироздания. У нас просто изменится набор аксиом, и произойдёт это лишь в рамках геометрии. Потому что аксиома является аксиомой лишь в рамках собственной теории, а за её пределами она может быть и аксиомой, и выводом, и даже, как говорилось выше, заведомо ложной идеей.
И вот это вот свойство аксиом, которое требует чтобы они не были доказуемы в рамках собственной теории, является очень полезным практически.
Разложить на аксиомы
Итак, представим что у нас есть аксиомы:
кирпич
строительный раствор
плиты перекрытий
балки для дверных и оконных проёмов
Вы можете строить этот дом с нуля на месте, а можете построить две половинки, а потом передвинуть их друг к другу.
Но независимо от того, как был построен этот дом, он может быть разложен на аксиомы единственным образом.
Потому, что если вы разложили дом на два разных набора, где в одном меньше кирпичей, но больше балок, то значит они взаимозаменяемы и одно можно собрать из другого.
Что противоречит сути аксиом как единиц, которые нельзя доказать.
Это как разложение чисел на простые сомножители, если удалось разложить более чем одним способом, то в результатах разложения указаны не только простые числа.
Хотя, это не самый удачный пример, потому что в случае разложения на сомножители, эта единственность двухсторонняя. А вот когда у нас есть более сложная теория, то в обратную сторону единственности нет.
Мы можем взять текст, отбросить все пробельные символы, привести к нижнему регистру и разложить его на печатные символы, записав результат в формате «а#2; б#1; в#54; г#92; з#23;». И для каждого текста это разложение будет единственно возможным.
Для строчки «мама мыла раму» это будет: «а#4; л#1; м#4; р#1; у#1; ы#1;»
Для статьи «Реальность существует и это надо учитывать»: »!#1;»#80;%#32;(#10;)#10;*#1;,#275;-#64;.#182;/#63;:#34;=#2;?#9;@#2;[#11;]#11;_#7; a#43; b#21; c#37; d#35; e#39; f#11; g#12; h#33; i#67; k#15; l#19; m#27; n#37; o#36; p#41; q#1; r#41; s#42; t#72; u#25; v#8; w#11; x#1; y#7; z#1;»#1; а#1105; б#209; в#565; г#179; д#365; е#1119; ж#117; з#267; и#1350; й#172; к#497; л#466; м#538; н#1043; о#1602; п#376; р#733; с#802; т#1070; у#269; ф#83; х#166; ц#76; ч#336; ш#62; щ#63; ъ#5; ы#352; ь#281; э#73; ю#83;0#52; я#271; ё#70; №#4;1#41;2#57;3#19;4#15;5#9;6#7;7#16;8#15;9#9;»
Для статьи «Парадигму UNITS в массы»: »!#3;»#36;##3;%#5;(#11;)#11;*#7;,#155;-#15;.#118;/#34;:#8;?#8;@#3;#4;^#2;_#4; a#14; b#7; c#15; d#13; e#13; g#2; h#11; i#10; j#2; l#3; m#16; n#19; o#15; p#4; r#11; s#16; t#21; u#9; v#1; x#1; y#2;»#8;»#8; а#732; б#125; в#403; г#151; д#249; е#766; ж#86; з#191; и#806; й#111; к#273; л#337; м#418; н#645; о#1102; п#257; р#455; с#562; т#796; у#241; ф#42; х#85; ц#25; ч#215; ш#35; щ#58; ъ#4; ы#194; ь#231; э#47; ю#47; я#153; ё#42;0#31; ‑#4; —#2;»#3;»#3;1#10;2#21;3#8;4#7;5#9;6#12;7#10;8#2;9#5;»
И кроме проверки скобок на парность, это даёт нам ещё вывод. Если разложение на аксиомы даёт единственный результат, то несовпадение разложения указывает на то, что раскладывались разные тексты.
Да, по сути, в результате разложения на аксиомы получается контрольная сумма:
если она различается, то мы сравниваем разные тексты
если она совпадает, то это могут быть как одинаковые, так разные тексты
мы не знаем каким был исходный текст
Да, мы можем попытаться побороть обессмысливание результата тем, что будем раскладывать текст не на аксиомы в виде букв, а остановимся на промежуточном варианте — разобрав текст на осмысленные словосочетания. Однако, за этом нам придётся заплатить вариативностью разложения на словосочетания, а значит, мы не сможем использовать это как механизм контроля. Потому, что разложение на словосочетания может быть разным не только разным у разных людей, но и разным у одного и того же человека в разное время.
А раз есть вариативность разложения, то нет возможности использовать контрольную сумму для проверки неизменности текста.
И получается, что у нас есть два варианта:
Полностью утратить смысл текста, но достаточно надёжно (но не 100%) определять его неизменность.
Либо сохранить указание на смысл текста, но полностью утратить механизм контроля его неизменности.
И те, кто читал предыдущие статьи серии (https://habr.com/ru/articles/776550/ и https://habr.com/ru/articles/777992/) и комментарии к ним, уже догадались о чём речь.
7 аксиом Международной системы единиц (СИ)
Да, речь о п.2 в Парадигме UNITS — «У величин должна быть размерность, соответствующая их физическому смыслу» и примере размерности вязкости жидкости.
У нас есть три варианта размерности вязкости:
исходная «трёхэтажная» размерность, полностью соответствующая формуле и физическому смыслу вязкости жидкости.
вариант «Па*с», имеющий смысл в рамках конкретного математического аппарата, использующего тензорное исчисление.
вариант в СИ — «m-1kg1s-1»
п.1 позволяет напомнить оператору о том, с чем он имеет дело и как правильно использовать формулу.
п.2 полезен в отдельных ситуациях, но изначальный смысл уже утрачен, а однозначной «контрольной суммы» ещё нет.
п.3 позволяет подстраховаться на предмет некорректного сложения. Смысл полностью утрачен, но единственно возможный вариант сокращения размерности в виде разложения до 7 аксиоматических базовых величин СИ даёт нам «контрольную сумму».
Да, п.3 не даёт 100% защиты от того, что будет произведено сложение величин с разным физическим смыслом. Потому что разные по смыслу величины могут дать одинаковый вариант сокращения.
Например, «поверхностное натяжение» и «энергетической экспозиции» сокращается до варианта «kg1s−2». А чисто механический «Н/с» и спектральная плотность потока излучения »(Вт/м^2)/м» сокращаются до одного и того же варианта «m1kg1s−3».
И тем не менее, не смотря на все коллизии и местами удивительные варианты возникающих контрольных сумм, сокращение размерности до 7 основных величин СИ является надёжным инструментом контроля совпадения размерностей в процессе компьютерного расчёта.
И именно потому, что основные величины СИ являются аксиомами — назначенными единицами, которые невозможно сконвертировать друг в друга, а значит имеющими единственный вариант сокращения.
И всё это становится возможным после того, как мы откажемся от странной идеи о том что аксиомы это прям настоящая истина, и вернёмся к тому чему нас учили в школе: «аксиома это положение принимаемое без доказательств, то есть волевым усилием.»
Седьмая единица измерения СИ
Но есть и ложка дёгтя у этой бочки мёда, которую я вылил на аксиомы, чтобы они стали для вас привлекательней, понятней и полезней (а это реально полезно, понимать что такое аксиоматика твоей собственной модели, теории или построения, и как с этой самой аксиоматикой работать).
Дело в том, что физики, в отличии от математиков, сумели вывести одну аксиому из других. Единица измерения температуры «Кельвин» уже дано пересчитывается через константу в «Джоуль».
А это значит, что по научному, температуру надо измерять не в «Кельвинах» или «градусах Цельсия», а в «kg1m2s−2». Живите теперь с этим.
И не пытайтесь найти в варианте «kg1m2s−2» физический смысл, потому что это просто единственный вариант разложения до аксиом — он удобен, но бессмысленен.
А ещё, это значит, что, при сокращении размерности в процессе компьютерного расчёта, «Кельвин» надо бы тоже пересчитать в «Дж», но исключительно как размерность, без затрагивания численного значения результатов вычисления.
Вобщем, вопросов много и давайте отложим эту тему на после Нового Года.
