7 красивейших интегралов с экзамена в Школу Анализа Данных от Яндекса05.01.2025 10:30

Давайте думать конструктивно. Этот интеграл вручную вычислить не получится. Давайте попробуем привлечь наш опыт решения математических задач. Как можно вообще что-то вычислить? Обычно либо мы вычисляем что-то напрямую, либо составляем уравнение с этим неизвестным (что хотим найти) и решаем его. Но как нам составить уравнение на этот интеграл? Давайте подумаем с чем у нас вообще может быть связан тангенс. Конечно же с котангенсом. Тогда появляется идея посмотреть на интеграл

$I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+ctg^{a}x} dx$

Оказывается этот интеграл равен исходному. Это можно доказать сделав в исходном интеграле замену $x = \frac{\pi}{2} - t$ :

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{dx}{1+ctg^{a}t} d(\frac{\pi}{2} -t) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{1+ctg^{a}t} d(t) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+ctg^{a}x} dx$

Пояснения:

Первый интеграл — просто сделали подстановку, посмотрите внимательно, как изменились пределы интегрирования. Просто, если x = 0 , то $t = \frac{\pi}{2}$ , а если $x = \frac{\pi}{2}$ , то t = 0 .

Второй интеграл равен первому: просто вынесли минус из дифференциала и поменяли пределы интегрирования, что тоже дало минус перед интегралом. Итого минус на минус равно плюс.

Третий интеграл равен второму, потому что в третьем интеграле мы просто заменили букву на букву . Поэтому какая разница, интеграл же просто есть площадь!

Давайте теперь просто сложим эти два равных интеграла:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+tg^{a}x} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dt}{1+ctg^{a}t} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{1}{1+tg^{a}t}+\frac{1}{1+ctg^{a}t})dt$

Поскольку $\frac{1}{1+tg^{a}t}+\frac{1}{1+ctg^{a}t}=\frac{2+tg^{a}t+ctg^{a}t}{1+1+tg^{a}t+ctg^{a}t}=1$ , то выходит уравнение

$2I = \frac{\pi}{2}$ . Итого $I = \frac{\pi}{4}$ .