[Перевод] Для проверки уравнений Эйнштейна необходимо проткнуть чёрную дыру
Две команды исследователей значительно продвинулись к доказательству гипотезы стабильности чёрных дыр, важнейшей математической проверке Общей теории относительности Эйнштейна.
В ноябре 1915 года на лекции в Прусской академии наук, Альберт Эйнштейн описал идею, перевернувшую представление человечества о Вселенной. Вместо того, чтобы принимать геометрию пространства и времени фиксированной, Эйнштейн объяснил, что мы живём в четырёхмерной реальности под названием пространство-время, чья форма колеблется, реагируя на материю и энергию.
Эйнштейн подробно расписал эту важную идею в нескольких уравнениях, называемых «уравнениями Эйнштейна» (или уравнениями гравитационного поля), формирующих ядро его ОТО. Эту теорию подтвердили все экспериментальные проверки, которым она подвергалась в следующее столетие.
И хотя теория Эйнштейна, вроде бы, описывает наблюдаемый мир, лежащая в её основе математика остаётся по большей части загадочной. Математики смогли привести очень мало доказательств, касающихся самих уравнений. Мы знаем, что они работают, но не можем точно сказать, почему. Даже Эйнштейну пришлось вернуться к приближениям, а не к точным решениям, чтобы увидеть Вселенную через созданные им линзы.
Но за последний год математики привели математику ОТО в более чёткий фокус. Две группы вывели решения, связанные с важной проблемой в ОТО, известной, как гипотеза стабильности чёрных дыр. Их работа доказывает, что уравнения Эйнштейна соответствуют физической интуиции для поведения пространства-времени: если применить к нему резкое возмущение, оно вздрогнет, будто желе, а потом успокоится в стабильном состоянии, с которого всё и началось.
«Если бы решения были нестабильными, это говорило бы о том, что они не физические. Это был бы математический призрак, существующий в математике, но не имеющий значения с точки зрения физики», — сказал Серджиу Кляйнерман, математик из Принстонского университета, и автор, совместно с Джереми Сцефтелем, одного из двух результатов.
Чтобы завершить доказательства, математикам необходимо было разрешить основную сложность уравнений Эйнштейна. Чтобы описать эволюцию формы пространства-времени, необходима координатная система — что-то вроде линий широты и долготы — сообщающая вам о том, где какие точки находятся. А в пространстве-времени очень сложно найти систему координат, работающую повсеместно.
Потрясти чёрную дыру
Как известно, ОТО описывает пространство-время как нечто вроде резинового листа. В отсутствие материи лист плоский. Начни ронять на него шары — звёзды и планеты — и лист деформируется. Шары катятся по направлению друг к другу. При движении объектов форма резинового листа также меняется в ответ.
Уравнения Эйнштейна описывают эволюцию формы пространства-времени. Даёте им информацию о кривизне и энергии в каждой точке, и они выдают форму пространства-времени в будущем. В этом смысле, уравнения Эйнштейна схожи с любыми уравнениями, моделирующими какое-либо физическое явление: вот тут шар находится в момент времени ноль, вот здесь — через пять секунд.
«Это математически точный количественный вариант утверждения о том, что пространство-время искривляется в присутствии материи», — сказал Питер Хинц, научный сотрудник математического института Клэя из Калифорнийского университета в Беркли, совместно с Андрашом Васи отвечающей за второй результат.
В 1916-м, почти сразу после выхода ОТО, немецкий физик Карл Шварцшильд нашёл точное решение уравнений, описывавших то, что сегодня известно нам под именем чёрной дыры (этот термин появился только пять десятилетий спустя). Позднее физики нашли точные решения, описывающие вращающуюся чёрную дыру и ЧД с электрическим зарядом.
И это все точные решения, описывающие ЧД. Если добавить хотя бы вторую ЧД, взаимодействие сил становится настолько сложным для современной математики, что она справляется с ним только в очень особых случаях.
Однако мы всё равно можем задавать важные вопросы по поводу этой ограниченной группы решений. Один из таких вопросов появился в 1952 году в результате работы французского математика Ивон Чоке-Брюхат [Yvonne Choquet-Bruhat]. По сути, он звучит так: что будет, если потрясти чёрную дыру?
Если потрясти ЧД, она создаст гравитационные волны. Доказать гипотезу стабильности — всё равно, что доказать, что эти волны рассеются в пустоту, как волны на поверхности пруда после падения камня
Пространство-время со временем меняется, а с ним меняется и сетка, используемая для измерения затухающих волн. Шаблон определяет изменения сетки, и его надо выбрать правильно. Допустим, у нас есть пространство-время с сеткой в 1 см, сопоставленной с неким шаблоном. Возмутим пространство-время, чтобы появились гравитационные волны. Неправильно выбранный шаблон может привести к тому, что расстояния сетки изменятся, и это будет выглядеть так, будто волны не затухают. Правильный шаблон крайне важен для измерения факта возвращения к стабильности.
Эта проблема известна, как гипотеза стабильности ЧД. Она предсказывает, что решения уравнений Эйнштейна будут «стабильными при возмущениях». Неформально говоря, если вы потрясёте ЧД, то пространство тоже сначала подрожит, а потом в тоге успокоится в такой форме, которая будет выглядеть очень похожей на то, с чего мы начали. «Грубо говоря, стабильность означает, что если мы возьмём особые решения и немного их возмутим, поменяем данные, то итоговая динамика будет очень близкой к изначальному решению», — сказал Кляйнерман.
Так называемая «стабильность» — важная проверка любой физической теории. Чтобы понять это, полезно будет представить пример, более знакомый, чем ЧД.
Представьте себе пруд. Теперь представьте, что вы возмутили его поверхность, бросив туда камень. Пруд немного поволнуется, а потом успокоится. Математически решения уравнений, используемых для описания пруда (в данном случае, уравнения Навье-Стокса), должны описывать эту базовую физическую картинку. Если изначальное решение не совпадает с решением в далёком будущем, можно задаться вопросом о правильности ваших уравнений.
«У уравнения могут быть любые свойства, оно может быть в порядке математически, но если оно противоречит физическим ожиданиям, оно не может быть правильным», — сказал Васи.
Питер Хинц, математик из Калифорнийского университета
Математикам, работающим над уравнениями Эйнштейна, доказательства стабильности было найти ещё тяжелее, чем решения самих уравнений. Рассмотрим случай плоского пространства Минковского — простейшую из всех конфигураций пространства-времени. Это решение уравнений Эйнштейна было обнаружено в 1908, в контексте более ранней специальной теории относительности Эйнштейна. Но только в 1993 математики смогли доказать, что если вы потрясёте плоское, пустое пространство-время, то в результате опять получите плоское и пустое пространство-время. Этот результат, полученный Кляйнерманом и Деметриосом Христодулу, является почитаемой работой в этой области.
Одна из основных сложностей с доказательствами стабильности связана с отслеживанием происходящего в четырёхмерном пространстве-времени во время эволюции решения. Вам необходима система координат, позволяющая измерять расстояния и определять точки в пространстве-времени, такие, как линии широты и долготы, используемые для определения местоположения на Земле. Но непросто найти систему координат, работающую в каждой точке пространства времени, и продолжающую работать, когда форма пространства-времени меняется.
«Мы не знаем способа сделать это, подходящего для всех случаев, — сказал Хинц в электронном письме. — Вселенная не даёт нам предпочтительную систему координат».
Проблема измерения
Первое, что нужно понять касательно систем координат — их изобрели люди. Второе — не каждая система координат позволяет определить все точки пространства.
Возьмём широту и долготу: их можно назначить произвольно. Картографы могли выбрать любую воображаемую линию в качестве нулевого меридиана. И хотя широта и долгота помогают определить практически любое место на Земле, они перестают иметь смысл на северном и южном полюсах. Если бы вы ничего не знали о Земле, а имели бы на руках только показания широты и долготы, вы могли бы неверно заключить, что в этих точках происходит что-то топологически неверное.
Эта возможность — делать неверные выводы о свойствах физического пространства из-за неадекватности описывающей его системы координат — и есть суть того, почему так сложно доказать стабильность пространства-времени.
«Может быть так, что стабильность существует, но мы используем нестабильные координаты, и таким образом пропускаем факт истинности стабильности», — сказал Михалис Дафермос, математик из Кембриджского университета, ведущий специалист в изучении уравнений Эйнштейна.
В контексте теории стабильности чёрной дыры, любая используемая система координат должна развиваться так же, как форма пространства-времени — как удобная перчатка подстраивается под изменение формы руки. Соответствие между системой координат и пространством-временем должно быть хорошим вначале и оставаться хорошим всю дорогу. Если это не так, то может случиться две вещи, мешающие попыткам доказать наличие стабильности.
Серджиу Кляйнерман, математик из Принстонского университета
Во-первых, ваша координатная система может таким образом изменить форму, что сломается в определённых точках, точно так же, как широта и долгота перестают работать на полюсах. Такие точки называют «координатными сингулярностями» (чтобы отличить их от физических сингулярностей, например, чёрных дыр). Это неопределённые точки в координатной системе, не позволяющие полностью описать развитие решения до самого конца.
Во-вторых, плохо подобранная система координат может скрыть то самое физическое явление, которое она должна измерять. Чтобы доказать, что решения уравнений Эйнштейна приходят к спокойному состоянию после возмущений, математикам необходимо тщательно отслеживать рябь пространства-времени, вызванную возмущениями. Чтобы понять, зачем это нужно, стоит снова вернуться к аналогии с прудом. Брошенный в пруд камень порождает волны. Долгосрочная стабильность пруда вытекает из того, что волны со временем ослабляются — они становятся всё меньше и меньше, до тех пор, пока не остаётся и следа их присутствия.
Ситуация схожа с пространством-временем. Возмущение вызовет каскад гравитационных волн, а для доказательства стабильности нужно доказать, что эти волны ослабляются. А для этого необходима система координат, или «сетка», позволяющая измерять размер волн. Правильная сетка позволяет математикам видеть, как волны уплощаются и в итоге навсегда исчезают.
«Ослабление необходимо измерять относительно чего-то, и именно здесь проявляется проблема с сеткой, — сказал Кляйнерман. — Если мы возьмём неправильную сетку, то, даже если стабильность присутствует, доказать этого нельзя, поскольку сетка не покажет мне ослабление. А если не вычислить скорость ослабления волн, невозможно доказать стабильность».
Проблема в том, что хотя система координат и чрезвычайно важна, неочевидно, какую систему выбрать. «Есть слишком много свободы в вопросе выбора условий для этой сетки, — сказал Хинц. — И большая часть вариантов окажутся неправильными».
На пути к цели
Полное доказательство стабильности чёрных дыр требует доказательства того, что все известные решения уравнений Эйнштейна для ЧД (со спином чёрной дыры, находящимся в определённых рамках), стабильны после возмущения. Среди известных решений — решение Шварцшильда, описывающее пространство-время невращающейся ЧД, и семейство решений Керра, описывающих конфигурацию пространства-времени, в которой нет ничего, кроме одной вращающейся ЧД (а свойства этой ЧД — масса и угловой момент — разнятся внутри семейства решений).
Оба новых результата частично продвинулись в сторону доказательства полной гипотезы.
Хинц и Васи, в работе, опубликованной на сайте arxiv.org в 2016, доказали, что медленно вращающиеся ЧД стабильны. Но их работа не охватывает ЧД, вращающиеся со скоростью, больше определённого порога.
Также у их доказательства есть несколько предположений по поводу природы пространства-времени. Изначальная гипотеза имела место в пространстве Минковского, которое не только плоское и пустое, но ещё и имеет определённый размер. Доказательство от Хинца и Васи происходит в пространстве де Ситтера, где пространство-время с ускорением растёт наружу, как и в реальной Вселенной. Изменение места действия упрощает проблему с технической точки зрения, и это можно понять по аналогии: если бросить камень в расширяющийся пруд, расширение будет растягивать волны и они будут ослабляться быстрее, чем если бы пруд не расширялся.
«Мы рассматриваем вселенную с ускоренным расширением, — сказал Хинц. — Это делает задачу немного проще, поскольку этот процесс разбавляет гравитационные волны».
У работы Кляйнермана и Шефтеля немного другая особенность. Их доказательство, первая часть которого была опубликована в прошлом ноябре, происходит в пространстве-времени Шварцшильда — что ближе к оригинальному, более сложному условию задачи. Они доказывают стабильность невращающейся ЧД, но не касаются решений, в которых она вращается. Более того, они доказывают стабильность ЧД только для узкого класса возмущений — таких, в которых порождаемые гравитационные волны определённым образом симметричны.
В обоих результатах представлены новые техники подбора подходящей координатной системы. Хинц и Васи начинают с приближённого решения уравнений на основе приближённой системы координат, и постепенно увеличивают точность ответа, до тех пор, пока не приходят к точным решениям и хорошо ведущим себя координатам. Кляйнерман и Шефтель используют более геометрический подход.
Теперь две команды пытаются построить доказательство полной гипотезы на основе своих методов. Некоторые эксперты-наблюдатели считают, что день, когда это получится, уже недалёк.
«Я и правда считаю, что сейчас всё находится на этапе технических трудностей, — сказал Дафермос. — Получается, что для решения этой задачи новых идей уже не требуется». Он подчеркнул, что итоговое доказательство может предложить любой из математиков, работающих над задачей в данный момент.
Сто лет уравнения Эйнштейна служили надёжной экспериментальной инструкцией ко Вселенной. Теперь математики, возможно, ближе подбираются к демонстрации того, почему именно они так хорошо работают.
