[Из песочницы] Математическое обоснование нецелесообразности бежать вниз по эскалатору в метро
Вопреки правилам пользования метрополитеном, желая сэкономить время, каждый из нас хотя бы раз в жизни бежал вниз по эскалатору. На первый взгляд кажется, что это абсолютно логично и правильно: хочешь быстрее уехать — постарайся оказаться на платформе как можно раньше. Однако, практически сразу в голову приходит следующий сценарий: вы сломя голову летите по эскалатору вниз, спускаетесь на платформу, а двери вагона закрываются прямо перед вашим носом. Пока вы ждёте следующий поезд — люди, которые вставали на эскалатор одновременно с вами, успевают стоя на месте спокойно спуститься и сесть в следующий поезд. В таком случае — выигрыша никакого. Так насколько же рационально бежать по эскалатору вниз и стоит ли заниматься этим вообще? Спешу вас обрадовать — ответ найден! Ниже представлено математическое обоснование нецелесообразности (да, именно НЕ) бежать вниз по эскалатору в метро.
Формулировка задачи
Перед тем, как перейти к математическим рассуждениям стоит упомянуть о том, что, естественно, я далеко не первый, кто вообще задумывается над этим вопросом. В Интернете можно найти достаточное количество статей и даже новостных сюжетов федеральных каналов на эту тему. Однако, каждый раз суть подобного рода экспериментов заключается в обычной пробежке вниз по эскалатору с последующим сравнением выигранного времени со временем стоявшего на эскалаторе человека. Чуть лучше, если авторы пытаются оценить эффективность скоростного спуска. Ещё лучше, если они ещё представляют статистику. За статистику, кстати, отдельное спасибо я скажу чуть ниже. В связи с недостаточной наглядностью этих экспериментов и отсутствием практических выводов мной и был задуман, а в последствии и проведён, анализ происходящего процесса.
И так, сформулируем условия задачи и обозначим ограничения:
- В эксперименте (мысленном) участвуют два человека, которые подходят к эскалатору одновременно в случайный момент времени и не имеют понятия о том, где находится поезд.
- Один из этих людей стоит на эскалаторе и тратит на спуск время $inline$T$inline$, равное времени движения эскалатора.
- Второй ускоряется вниз по эскалатору, увеличивая свою скорость в $inline$K$inline$ раз, тем самым уменьшая время спуска в такое же количество раз: $inline$Tуск = T/K $inline$.
- Эффективным считается такой ускоренный спуск, который привёл к тому, что стоявший на эскалаторе человек не успевает сесть в поезд, в который успевает сесть бежавший по эскалатору человек.
- Обозначим за $inline$P$inline$ — вероятность наступления эффективного спуска. Тогда, согласно равновесию Нэша, человек готов рискнуть и побежать вниз по эскалатору только в том случае, если вероятность эффективного спуска, больше или равна вероятности неэффективного спуска или остановки на месте, то есть 0,5. Если вероятность эффективного спуска больше или равна 0,5 — решение бежать по эскалатору вниз будем называть целесообразным. Если меньше 0,5 — нецелесообразным.
- Пренебрежём тем, что в реальной жизни, как правило, необходимо пройти еще какое-то расстояние до вагона после схода с эскалатора или подождать, пока люди выйдут из вагона, поезда ходят с переменными интервалами и некоторое время стоят неподвижно перед открытием и после закрытия дверей, то есть будем считать, что если в момент схода с эскалатора поезд стоит на станции, то его двери открыты и участник эксперимента моментально оказывается в вагоне, сам же поезд открывает (закрывает) двери и приезжает (уезжает) на станцию (со станции) мгновенно и одномоментно.
Ход решения
Изобразим временную ось (Рис. 1). Вся ось будет представлять собой идущие друг за другом интервалы между поездами. Здесь и далее будет рассматриваться только один интервал. Разделим изображённый интервал на 4 равных отрезка. Точка 0 на этой оси соответствует моменту отправления поезда со станции. Точка 3 соответствует прибытию поезда и открытию дверей. Точка 4 — закрытию дверей и отправлению поезда. Таким образом, для удобства графического изображения и расчётов интервал между поездами отсчитываем между моментами отправления поездов со станции. Первые 3 отрезка — время, которое пассажиры вынуждены ждать прибывающий поезд. Четвёртый отрезок — время стоянки поезда, когда пассажиры могут сесть в него. Положим так же, что время $inline$T$inline$ (время спуска на эскалаторе) равно двум отрезкам. Коэффициент $inline$K$inline$ равен 2, то есть время спуска бегом в 2 раза меньше и равно одному отрезку.
Теперь, для определения вероятности $inline$P$inline$, выясним, в какой отрезок времени принятие решения спускаться бегом приведёт к тому, что спуск будет эффективным. Например, если наши участники подходят к эскалатору в момент времени 0, то первый окажется на платформе в момент времени $inline$T_1$inline$ (Рис. 2), а второй раньше, в момент $inline$T_2$inline$. Но, как видно из рисунка, ни в один из этих моментов времени поезда нет на станции, значит, бежать вниз было неэффективно.
Рассмотрим другой случай (Рис. 3): участники эксперимента подходят к эскалатору в момент времени 2. Как и в предыдущем случае, первый окажется на платформе в момент времени $inline$T_1$inline$, а второй раньше, в момент $inline$T_2$inline$. Но очевидно, что и в тот и в другой момент времени поезд есть на станции. Значит, оба успеют сесть в один и тот же поезд, следовательно, бежать вниз было так же неэффективно.
Далее легко понять, что в любой момент времени на отрезке от 2 до 3 бежать вниз эффективно, так как бежавший человек всегда успевает сесть в поезд, а не бежавший — нет. Если же выбирать моменты времени в промежутке между 3 и 4, то оба участника опаздывают на поезд и вынуждены вместе ждать следующий, то есть бежать снова неэффективно.
Получается, что из 4 условных отрезков времени эффективно бежать вниз только, если участники подходят к эскалатору в промежуток между 2 и 3 моментами времени (Рис. 4). Вероятность попасть в него равна ¼. Следовательно, при данных условиях задачи принятие решения бежать вниз нецелесообразно, так как второй участник скорее (с вероятностью ¾) пробежит зря и будет вынужден ждать поезд вместе с первым, приехавшим вниз позже.
Совершенно справедливыми окажутся следующие замечания:
- Интервалы между поездами могут как уменьшаться, так и увеличиваться. Может увеличиваться время стоянки, а время ожидания уменьшаться (при том же интервале) и наоборот.
- Скорость движения эскалатора вниз постоянна, но время спуска может варьироваться, так как станции могут быть более или менее глубокими.
- Второй участник вполне может бежать не в 2, а в 3 или даже в 4 раза быстрее эскалатора.
Для оценки влияния изменения перечисленных выше факторов необходимо вывести зависимость между этими величинами и вероятностью попадания на эскалатор в момент времени, когда побежать вниз эффективно.
Чтобы это сделать изобразим ещё один случай (Рис. 5). Оставим все исходные данные без изменений за исключением одного: коэффициент $inline$K$inline$ увеличим до 4. То есть второй участник будет оказываться внизу в 4 раза быстрее первого. Для удобства изображения разобьём наш интервал на 8 равных частей. Таким образом, время спуска на эскалаторе теперь равно 4 отрезкам, стоянка поезда двум, время ожидания 6, и время спуска бегом одному. Не трудно выяснить, что теперь длина «эффективного» промежутка времени (от 4 до 7 моментов времени) равна 3. То есть вероятность $inline$P$inline$ равна 3/8. Это уже больше, чем в первом случае, но данные изменения мы проводили вовсе не для оценки вероятности.
Исходя из рисунка 4 и рисунка 5 очевидно, что длина «эффективного» отрезка равна $inline$(Tинт-T/K)-(Tинт-T)$inline$. Разделим её на длину интервала и получим вероятность $inline$P=((Tинт-T/K)-(Tинт-T))/Tинт$inline$, где $inline$Tинт=Tожидания+Tстоянки$inline$.
Выполним ряд преобразований: $inline$P=((Tинт-T/K)-(Tинт-T))/Tинт=(Tинт-T/K-Tинт+T)/Tинт=$inline$$inline$(T-T/K)/Tинт=(T/Tинт)*((K-1)/K)$inline$.
Итоговая формула: $inline$P=(T/Tинт)*((K-1)/K)$inline$.
Исходя из этой формулы можно сделать сразу несколько фундаментальных выводов:
- На величину вероятности не влияют изменения времени стоянки и ожидания поезда, если не изменяется общий интервал (Рис. 6).
- Чем больше интервал между поездами, тем меньше вероятность P (Рис. 7).
- Вероятность увеличивается, если увеличивается отношение времени спуска на эскалаторе к интервалу и (или) коэффициент K.
Проверка верности
А теперь давайте посмотрим, насколько верна выведенная формула?
Для проверки верности формулы обратимся к статистике, которую очень кстати ещё в 2014 году собрал корреспондент The Village. Выражаю признание и, естественно, в конце статьи оставлю ссылку на оригинальную статью. Хорошо так же, что статистика представлена в виде наглядной инфографики.
Эксперимент 1. Станция метро «Чеховская»
Высчитаем вероятность $inline$P$inline$.
Здесь $inline$T=131 с$inline$; $inline$Tинт=180 с$inline$; $inline$Tуск=61 с$inline$;$inline$K=T/Tуск=131/61=2,15$inline$;$inline$P=(T/Tинт)*((K-1)/K)=(131/180) *((2,15–1)/2,15)≈0,4$inline$.
Полученный результат, как видно, расходится с экспериментальными данными. Формула ошибочна? Нет! Из инфографики видно, что спуск на станцию предусматривает поездку на двух эскалаторах, однако, время перехода между ними не учитывается. Если, для достоверности, предположить, что переход занимает хотя бы 30 секунд, то, подставив новое значение $inline$T=161 с$inline$ получим: $inline$K=T/Tуск=161/61=2,64$inline$;$inline$P=(T/Tинт)*((K-1)/K)=(161/180) *((2,64–1)/2,64)≈0,55$inline$, что гораздо ближе к экспериментальному результату. Стоит так же отметить, что эксперимент предусматривал всего лишь 10 повторений. Увеличивая число повторений можно добиться практически полного совпадения расчётных данных с полученными в ходе эксперимента.
Эксперимент 2. Станция метро «Парк Победы»
Высчитаем вероятность $inline$P$inline$.
Здесь $inline$T=180 с$inline$; $inline$Tинт=50 с$inline$; $inline$Tуск=80 с$inline$;$inline$K=T/Tуск=180/80=2,25$inline$;$inline$P=(T/Tинт)*((K-1)/K)=(180/50) *((2,25–1)/2,25)≈1,98$inline$.
Видно, что мы получили вероятность, больше единицы. Но никакого противоречия тут нет. Если посмотреть на общий вид формулы, то становиться очевидным, что в случае, когда время спуска на эскалаторе равно интервалу между поездами, то увеличение скорости хотя бы в 2 раза уже сделает вероятность, того, что ускоренный спуск эффективен равной 0,5. Если время движения эскалатора будет больше интервала, то при том же коэффициенте $inline$K$inline$ вероятность сесть на поезд раньше будет только расти. На конец, если время спуска на эскалаторе в 2 и более раза превышает интервал, бегущий человек в 100% случаев будет успевать на тот поезд, на который не успеет оставшийся на эскалаторе. Именно этот эффект мы и наблюдаем в данном эксперименте: корреспондент пришёл к выводу, что смыл бежать был в 10 случаях из 10.
Эксперимент 3. Станция метро «Парк Культуры»
Высчитаем вероятность $inline$P$inline$.
Здесь $inline$T=115 с$inline$; $inline$Tинт=50 с$inline$; $inline$Tуск=60 с$inline$;$inline$K=T/Tуск=115/60=1,92$inline$;$inline$P=(T/Tинт)*((K-1)/K)=(115/50) *((1,92–1)/1,92)≈1,1$inline$.
Опять ошибка? Вовсе нет. Видно, что, как утверждалось выше, время спуска на эскалаторе в 2 раза превышает интервал между поездами. Время спуска бегом в 2 раза меньше. Выходит, эффективным должен быть каждый спуск. Но не стоит забывать, что перед началом рассуждений мы приняли допущение, касающееся мгновенного закрытия дверей и не менее мгновенного убытия поезда со станции. Если представить себе такой вариант, как на рисунке 8, становится ясно, что в реальной жизни бежавший человек может чуть-чуть не успеть сесть в точке 1 (например, поезд отправится чуть-чуть пораньше), а в точке 2 поезд наоборот, немного задержится, и тогда не бежавший человек сядет в него вместе с опоздавшим на предыдущий поезд бежавшим человеком.
Предполагаю, что в оба «неэффективных» раза так и произошло. Есть все основания утверждать, что при увеличении числа повторений эксперимента, процент «эффективных» пробежек будет стремиться к 100%.
Выводы
Теперь, когда на основе имеющихся экспериментальных данных удалось подтвердить правильность формулы, проведём её анализ и сделаем выводы. Так как в самом начале мы договорились, что будем считать решение бежать вниз целесообразным, если вероятность эффективного спуска больше или равна 0,5. То есть, буквально, если мы можем быть уверены, что как минимум в половине случаев побежим не зря, то тогда действительно стоит рискнуть и побежать, ведь если мы опоздаем, то практически ничего не потеряем. Исходя из вышесказанного, перепишем формулу вероятности следующим образом: $inline$½≤(T/Tинт) * ((K-1)/K)$inline$.
Интересно, что, как мы уже выяснили, есть смысл бежать всегда, когда $inline$T/Tинт ≥2$inline$. Одновременно с этим справедливо так же и то, что если $inline$T/Tинт ≤0,5$inline$, то как бы вы быстро не бежали, вероятность попасть в поезд раньше меньше 0,5, так как очевидно, что $inline$(K-1)/K$inline$ никогда не будет больше или равно 1.
А теперь давайте взглянем на скорость корреспондента. В среднем она примерно в 2 раза больше скорости эскалатора (время спуска в 2 раза меньше). В целом, эти данные совпадают с результатами моих собственных экспериментов (их я приводить не вижу смысла). Как правило, развить скорость, коэффициент К для которой был бы равен хотя бы 3 уже сложно: на реальном эскалаторе много желающих побежать вниз и, тем более, вам могут помешать стоящие слева люди или их вещи (сумки, чемоданы). Значит, $inline$K=2$inline$, а $inline$(K-1)/K=1/22$inline$. То есть, решение ускориться будет целесообразным только в случае, если отношение $inline$T/Tинт$inline$ не меньше 1. А это возможно только тогда, когда время спуска на эскалаторе вниз не меньше, чем интервал между поездами. В реальном метро, где средний интервал между поездами равен 2 минутам, далеко не все станции могут похвастаться долгим спуском. Как правило, даже в метро Санкт-Петербурга время движения эскалатора около 1 минуты 30 секунд, то есть в 0,75 раза меньше интервала. Из этого следует вполне очевидный и самый главный фундаментальный вывод: если вы точно знаете, что эскалатор на данной станции движется меньше, чем интервал между поездами, то бежать по нему нецелесообразно.
P.S. Прошу принять во внимание тот факт, что в данной задаче не учитывается необходимость попасть в конкретный вагон. Речь идёт исключительно о попадании на платформу и последующей посадке в поезд.
Источник экспериментальных данных: The Village. Ещё раз выражаю благодарность!
