Закрученные электроны как портал в квантовый мир
Физики уже смирились с тем, что выбрать между волной или частицей не получится. Но быстрый прогресс экспериментальной техники позволяет взглянуть поближе на квантовых кентавров. В этой статье я расскажу про закрученные электроны — особые квантовые состояния — и о том, как с их помощью можно попробовать экспериментально исследовать такие квантовые явления как расплывание и редукция волнового пакета.
От плоских волн к вихрям
Электроны — это элементарные квантовые частицы кентавры, которым присущ корпускулярно-волновой дуализм. Они пластичны, как хорошие актеры. Если надо, могут сыграть жестких, брутальных парней и ударить в атом или экран как следует. Если надо, могут сыграть сложные духовные метания и богатый внутренний мир, интерферируя сами с собой.
Так что же такое электроны? Точечные заряженные частицы, подверженные влиянию электромагнитного поля (сила Кулона с электрической стороны силы и сила Лоренца с темной магнитной стороны)? Волны вероятности, подчиняющиеся уравнению Шрёдингера? И если заряд электрона точечный, то где он прячется в электронном облаке?
И хотя с вычислительной точки зрения всем ясно что делать, но споры об интерпретациях и философском смысле волновой функции не утихают. Поэтому всегда хорошо, когда до философских вопросов добираются экспериментаторы и начинают измерять корреляции, мощность излучения, силу тока и т.д.
Навскидку можно упомянуть копенгагенскую интерпретацию, ансамблевую, квантовую механику Бома, и многомировую интерпретацию Эверетта. Но споры не утихают, и утихнуть не могут, потому что как-то так получается, что разные интерпретации в экспериментах никак не отличаются.
Волновые свойства квантовой материи — это надежный экспериментальный факт. Поэтому начнем с самых простых волновых объектов — плоских волн. Фронт плоской волны распространяется вдоль прямой. Скорость его распространения для квантовой частицы равна ее скорости, а по соотношению неопределенностей Гейзенберга положение такой квантовой частицы абсолютно случайно. Любое волновое поле в свободном пространстве складывается из нескольких, а может быть из бесконечного числа, плоских волн. Важно, что большинство физических характеристик — интенсивность, ток, импульс и так далее — описываются квадратичными формами волновой функции, так что принцип суперпозиции применим к волновым полям, но не к их физическим свойствам.
Даже для волн в свободном пространстве интерференция может привести к нетривиальным свойствам результирующего волнового поля. Например, сложив две волны бегущие в противоположные стороны, можно получить стоячую волну — стационарное состояние. У такого стационарного состояния будут наблюдаться «топологические» особенности — узлы. Точки, в которых волновая функция равна нулю. Поэтому уже интерференцию двух плоских волн можно рассматривать как структурированное волновое поле.
Однако наиболее интересные и общие формы появляются, начиная с трехволновой интерференции. А именно, волновые поля, состоящие из трех или более интерферирующих плоских волн, обычно содержат фазовые сингулярности, т.е. дислокации фазовых фронтов или вихрей. Такие особенности возникают в точках деструктивной интерференции, где амплитуда волновой функции обращается в нуль, а фаза является неопределенной.
Фазовые сингулярности для волн на плоскости. Bliokh, K. Y., Ivanov, I. P., Guzzinati, G., Clark, L., Van Boxem, R., Béché, A., & Verbeeck, J. (2017). Theory and applications of free-electron vortex states. Physics Reports, 690, 1–70.
В трехмерье получается нить, вокруг которой закручивается вихрь тока плотности вероятности. И по условию периодичности волновой функции, при замкнутом обходе вокруг такой нити-сингулярности, такому вихрю будет соответствовать кратный целому числу постоянных Планка орбитальный момент. Очень похоже на круговую поляризацию волновой функции. И экспериментально получить такие волновые пакеты можно используя оптические методы — фазовую пластинку или У-голограмму. Электронные волновые пакеты с орбитальным угловым моментом назвали «закрученные» электроны. Сейчас электроны закрутили до орбитального момента L=1000.
Способы закручивания электронов. Bliokh, K. Y., Ivanov, I. P., Guzzinati, G., Clark, L., Van Boxem, R., Béché, A., & Verbeeck, J. (2017). Theory and applications of free-electron vortex states. Physics Reports, 690, 1–70.
Излучение Смита-Парселла
25 сентября 1953 года Стивен Смитт, студент недавно получившего нобелевку за открытие ядерного магнитного резонанса Эдварда Парселла, вместе со своим шефом направили для публикации короткое письмо о наблюдении видимого излучения при взаимодействии пучка электронов с дифракционной решеткой. Физический механизм этого излучения связан с поляризацией материала дифракционной решетки и возникновением наведенных токов, когда рядом пролетает заряженная частица. Эти наведенные токи и есть источник излучения. Поскольку эти источники излучения располагаются периодично вдоль решетки, некоторые волны в точке наблюдения будут складываться и усиливать друг друга. Нужно только чтобы у них фаза была одинакова. Простую формулу для длины волны излучения Смита-Парселла мог бы вывести еще Гюйгенс
Научные статьи могут быть весьма короткими и понятными
Энергию на излучение электромагнитных волн решетка отбирает у пролетающих электронов, но они, как правило, не успевают замедлиться заметным образом. Поэтому излучение Смита-Парселла используют для контроля состояния электронных пучков в ускорителях — чем скорость больше, тем длина волны излучения будет меньше. Если же сильно увеличить ток в пучке, возникнут нелинейных эффекты, усиливающие излучение по аналогии с лазерами на свободных электронах. Пучок будет самофокусироваться, а излучение будет усиливаться как квадрат частиц в сгустке. Мы же поступим наоборот, и уменьшим ток до такой степени, что фактически, в каждый момент времени над решеткой будет пролетать один единственный электрон.
Квантовая задача и квазиклассический предел
И этот самый электрон описывается волновой функцией. Если электрон очень быстрый — ультра-релятивистский — то с волновой функцией можно не заморачиваться. Излучение будет как от точечной классической частицы (а эффектами отдачи можно пренебречь, потому что энергия излучаемых фотонов будет намного меньше энергии электрона). Поэтому самое интересное может происходить на промежуточных скоростях — пол скорости света в самый раз. И излучение будет близко к оптическому и волновые свойства могут проявиться. Пакет летит над решеткой и пока вероятность удара об решетку мала, вполне себе осуществляет свободный полет. То есть для описания его движения можно использовать уравнение Шредингера. Как же описать взаимодействие с решеткой? По идее это много-электронная задача, где полное уравнение Шредингера должно включать в себя атомы решетки и электроны проводимости. Нам нужно найти индуцированные токи, то есть искать среднее значение оператора тока в проводнике. Электроны проводника при этом находятся в поле движущегося электрона. Конечно, сами они тоже воздействуют на электрон, но в условиях излучения Смита-Парселла, электрон практически не меняет своего состояния за время пролета над решеткой. Это значит, что внешний потенциал, который появится в квантовом уравнении для электронов проводника будет кулоновским полем волнового пакета. Ну, а дальше, можно и токи в проводнике рассматривать как классические. То есть в четко определенных экспериментальных условиях, излучение будет вызвано кулоновским полем волнового пакета. Если пакет сферически симметричный, такое поле будет совпадать с полем точечной частицы. Но если есть отклонения от сферической симметрии, то появится электрический квадрупольный момент. Вообще, чтобы появился заметный квадрупольный момент, нужно сильно деформировать пакет.
Расплывание и редукция волновых пакетов
Еще один важный момент заключается в том, что свободно летящий волновой пакет должен расплываться.
По мере расплывания информация о положении электрона становится размытой
Причем, чем сильнее начальный пакет сконцентрирован, тем быстрее будет расплываться. Это связано с принципом неопределенности Гейзенберга. Если пакет был четко ограничен, значит разброс импульсов был велик. Поэтому очень быстро вероятность найти электрон будет размазана по всему пространству. Как правило, работают в параксиальном приближении, когда на интересующем нас интервале времени волновой пакет почти не расплывается. Но для закрученного электрон время расплывания будет обратно пропорционально угловому моменту. Грубо говоря, пакет будет быстрее расплываться в плоскости вихря, как если бы его разбрасывало центробежной силой. Ускорение расплывания для сильно закрученных электронов означает, что его можно «увидеть», например, за время пролета над решеткой, во время формирования излучения Смита-Парселла.
Кстати, из-за того, что вдоль оси вихра расплывание будет идти в нормальном темпе, квадрупольный момент волнового пакета будет со временем возрастать. Еще, у такого пакета будет дипольный магнитный момент. Для любителей аналитических вычислений это идеальный объект приложения своих умений. Возьмем закрученный электрон в виде волнового пакета Гаусса-Лагерра, с заданной средней скоростью и начальными размерами, пролетающий над решеткой. Выглядеть это будет как расширяющееся колечко дыма. Можно получить точную формулу для мультипольных моментов, найти воздействующее на решетку поле, найти токи и вычислить интенсивность излучения в заданном направлении на большом расстоянии.
Закрученный электрон пролетает над дифракционной решеткой.
Вся наша теория будет разбита в пух и прах, когда колечко расплывется и коснется решетки. При этом возникает вероятность удара электрона об решетку, что вызовет коллапс волновой функции и другой тип излучения — переходное. К счастью, переходное излучение направлено в основном вдоль решетки, так что если смотреть на решетку под большими углами, будет видно только излучение Смита-Парселла, возникающее до момента возможного удара. Поэтому мы ограничимся рассмотрением решетки конечной длины, обеспечивающий безударный пролет пакета. Видно, что пакет не должен слишком уж расплываться и его поперечный размер не может стать больше чем расстояние от центра пакета до решетки — импакт-параметр. А для излучения Смита-Парселла известно, что если импакт-параметр больше длины волны, то излучение экспоненциально подавлено.
Захлопавшая при этих словах морская свинка была немедленно подавлена судейскими властями. «Подавлена» — слово трудное, и я сейчас вам объясню, что они сделали: у них был большой холщовый мешок с завязками, они засунули туда морскую свинку вниз головой и уселись сверху.
Получается, что в нашей задаче размер пакета строго меньше длины излучения. Это важно и интересно. Поскольку наблюдая излученный фотон в микроскоп, можно было бы сказать где же над решеткой находится электрон. И тогда, все эти волновые тонкости исчезли бы. Но в данном случае этого скорее всего не произойдет, так как волновая функция итак сконцентрирована в области меньшей чем длина волны. Я пишу скорее всего, потому что, а вдруг?
Схема неразрушающего измерения расплывания закрученного электрона
Закрученный электрон, летящий вдоль решетки будет вызывать излучение наведенное зарядом, магнитным моментом и электрическим квадрупольным моментом. Квадрупольный момент растет как квадрат пройденного расстояния. Поскольку излучение от каждой полоски решетки складывается, мы интегрируем квадрат и получаем куб. Получается, что решетка резонансно усиливает излучение от квадрупольного момента. В целом это приведет к тому, что линия излучения Смита-Парселла от закрученного пакета будет чуть ярче, чем от обычного пакета. И эффект даже не маленький. Но, конечно, трудно его выделить на фоне других эффектов (изменение импакт-параметра меняет яркость еще сильнее).
Черная кривая — спектр излучения закрученного электрона, зеленая кривая — спектр излучения обычного пакета. При полном совпадении начальных условий.
Хотя, не все так безнадежно. Полная интенсивность излучения от обычных пакетов должна линейно расти с длиной решетки, а вот для закрученных возникнет нелинейный (кубический рост). Может такой эффект и получится поймать? Конечно, речь здесь идет о том, что над решеткой пролетит много пакетов, вылетевших из одного источника, и будет собрана большая статистика излученных фотонов. Но если для закрученных электронов будет наблюдаться кубический рост интенсивности с длиной решетки, то это можно интерпретировать, как «размазанность» заряда по всему кольцу закрученного пакета и экспериментальное детектирование расплывания. Важно, что статистика излучения собранная от точечных электронов, в среднем за много пролетов над решеткой заполняющих такой же бублик будет отличаться.
Сравнение зависимости яркости излучения от длины решетки для обычных и закрученных пакетов.
Или угол на котором наблюдается максимум излучения тоже зависит от структуры пакета.
Зависимость яркости излучения от полярного угла.
По моим скромным соображениям, узнать есть ли у электронов пролетающих над решеткой квадрупольный момент, можно, если рассматривать не только параллельный пролет, но и изменять угол пролета. Это почти эквивалентно изменению длины решетки. Тогда можно не менять источник электронов и решетку, а это сделает задачу экспериментатора проще. Я уже посчитал, что будет происходить в этом случае, но наверное это уже материал для следующей заметки.
Эпилог
Допустим, эти нелинейные эффекты [3,4] можно обнаружить и они будут обнаружены. Значит ли это, что заряд электрона все таки размазывается по области, где сконцентрирована волновая функция? И что произойдет, если рассматривать другие пакеты и другие экспериментальные условия? Например, размазать электрон как блин, летящий вдоль решетки, причем, очень широкий блин — так что использованные выше приближения не применимы. Для очень широкого пакета такой эксперимент провели несколько лет назад [5]. Предполагалось, что для очень широкого пакета излучение должно концентрироваться в вертикальной плоскости, проходящей через траекторию центра пакета. Но такой концентрации не обнаружили, откуда сделали вывод о точечности источника излучения. Хотя все не так просто и есть другие возможности интерпретации. Для очень широкого пакета излучение фотона решеткой могло бы вызвать коллапс волновой функции в область размерами длины волны. Да еще и излучение формируется не самим электроном, а зарядами в решетке.
Однако и более ранний эксперимент [6] где изучалось непосредственное взаимодействие фотонов с пакетами увидел только точечные заряды. Значит, хотя электрон и волна-частица, но заряд электрона только частица?
Насколько я разобрался, опять все не однозначно. Начинать нужно с квантовой электродинамики. Там нет никаких вопросов — взаимодействие между электроном и фотоном задается произведением соответствующих полей в точке. Это и означает точечность электрона. В большинстве случаев, форма пакета в процессах рассеяния оказывается не важна. Однако существуют условия, при которых волновой пакет, являясь «точечным» по отношению к экспериментальным условиям, обладает внутренней структурой. И эта структура проявится при вычислении амплитуд квантовой электродинамики [3], которые приближенно будут соответствовать классическому излучению размазанного заряда. Пока такие условия в эксперименте со свободными частицами реализованы не были. Похоже, закрученные электроны являются хорошими кандидатами, чтобы окончательно всех запутать. Так что у всех, у кого есть электронный микроскоп под рукой и возможность совместить его с Y-голограммой для закручивания электронов есть шанс на открытие.
Литература
Bliokh, K. Y., Ivanov, I. P., Guzzinati, G., Clark, L., Van Boxem, R., Béché, A., & Verbeeck, J. (2017). Theory and applications of free-electron vortex states. Physics Reports, 690, 1–70.
https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0370157317301515
S.J. Smith and E. Purcell, Physical Review 92, 1069 (1953).
https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev. 92.1069
Karlovets, D. V., and A.M. Pupasov-Maksimov. «Nonlinear quantum effects in electromagnetic radiation of a vortex electron.» Physical Review A 103.1 (2021): 012214.
https://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.103.012214
Pupasov-Maksimov, Andrey, and Dmitry Karlovets. «Smith–Purcell radiation of a vortex electron.» New Journal of Physics 23.4 (2021): 043011.
https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1367–2630/abef97/meta
Remez, Roei, et al. «Observing the quantum wave nature of free electrons through spontaneous emission.» Physical review letters 123.6 (2019): 060401.
https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.123.060401
M. Ware, E. Cunningham, C. Coburn, and J. Peatross, Measured photoemission from electron wave packets in a strong laser field, Opt. Lett. 41, 689 (2016).
https://www.osapublishing.org/ol/abstract.cfm? uri=ol-41–4–689
