Задача о свободно висящей цепочке
Пусть у нас есть цепочка длины l и массой M, подвешенная за один конец, как показано на рисунке. Здесь мы будем предполагать, что цепочка однородна и силами трения можно пренебречь. Построим систему координат таким образом, чтобы начало координат совпадало с точкой подвеса, ось X направлена вниз, а ось Y, перпендикулярная оси X, будет отвечать за отклонение цепочки от вертикали. Фактически, необходимо определить функцию Y (x, t).
Чтобы найти Y (x, t) распишем силы, действующие на небольшой участок цепочки как показано на следующем рисунке.
Из рисунка видно, что сила натяжения T является касательной к цепочке. Следовательно, тангенс угла наклона T к оси X будет равен производной dY (X)/dX. Известно, что если колебания небольшие, то тангенс примерно равен самому углу в радианах. Силу натяжения T можно рассчитать по формуле
где l — длина цепочки, g — ускорение свободного падения, и
масса на единицу длины цепочки.
Запишем уравнение исходя из второго закона Ньютона
В правой части уравнения подставим значение натяжения T пока без соответствующего коэффициента
Заменим значение производной в точке x+dx через вторую производную
Раскроем скобки
и сократим соответствующие слагаемые, убирая также слагаемое второго порядка малости.
Подставим полученную формулу в уравнение движения
Сокращаем на dx и удельную массу.
Заметим, что это уравнение не зависит от удельной массы, стало быть, все веревки и цепочки равной длины будут колебаться одинаково, независимо от массы. Для того, чтобы решить это уравнение, будем искать решение в виде
Подставив его в уравнение движения, получим
Разделив его на g и саму функцию, получим, что одна часть зависит только от времени, а другая только от X. Стало быть, их можно приравнять некоторой константе.
Рассмотрим сначала ту часть, которая зависит только от X
Чтобы решить это уравнение сделаем замену переменной
Тогда первая производная примет следующий вид
а вторая производная такой
а уравнение перепишется в виде
Нетрудно заметить, что это уравнение можно переписать в виде
Поскольку пока непонятно, что это за уравнение, попробуем привести его к какому-нибудь известному дифференциальному уравнению.
Для этого сделаем замену
При этом первая производная примет следующий вид
а само уравнение такой
Выносим n в квадрате из под производной
и сокращаем
Производим дифференцирование и получаем следующее уравнение
Подберем n таким образом, чтобы при старшей производной не было свободной переменной
Получим следующее уравнение
Домножаем на 4 и z в квадрате и получаем
Это уже похоже на известное уравнение Бесселя, необходимо только избавиться от множителя у самой функции. Для этого делаем еще одно преобразование переменной
При этом первая производная станет равной
а вторая производная
Подставляя в уравнение, получаем
Если мы возьмем
то получим уравнение Бесселя нулевого порядка
Решение такого уравнения имеет вид
где A и B — константы, а J и Y — функции Бесселя нулевого порядка. Подставляя обратно переменную z, получим
После подстановки переменной u, имеем следующе решение
и, наконец, возвращаясь к переменной x, имеем
Используем тот факт, что наша функция должна быть конечной в точке x=l. Поскольку функция Y (x) бесконечна в нуле, B должно равняться нулю и наше решение будет иметь следующий вид
Теперь воспользуемся тем условием, что в точке подвеса значение нашей функции должно равняться нулю, то есть y (0)=0.
Из этого следует, что
где j — нули функции Бесселя нулевого порядка. Отсюда можно определить значение лямбда
Подставляя лябда, получим
Что после сокращения дает собственные функции
Дадим графики для первых пяти
Вернемся теперь к той части начального уравнения, которая отвечает за зависимость от времени. Зная значения лямбда, можно вычислить собственные частоты
Извлекая корень, получим
Соответствующие периоды будут равны
Сравните это выражение с периодом колебаний математического маятника.
На этом наше исследование колебаний свободно висящей цепочки окончено. Спасибо за внимание.
