YAR — Yet another relativity
Еще один вариант теории гравитации. Плюс — минус 125-й. Неправильный. Мой.
Большое спасибо Игорю Тихоненкову @poo_factor за замечания и уточнения.
Эта идея пришла мне в голову в 1989 году, когда я был студентом кафедры теоретической физики Харьковского Государственного Университета и всерьез думал о будущей научной карьере. С той поры было много всякого (один распад СССР чего стоил!), но задумка не оставляла, и лет 5 тому получилось-таки досчитать до конца все заложенные в нее идеи. Потрясания основ не случилось. Но, может, вам будет интересен ход мыслей, а может, я и проглядел что-то важное.
Начнем с бесконечностей.
О бесконечности ряда натуральных чисел знали еще древние греки. Не существует максимального натурального числа — к нему всегда можно прибавить еще 1. И так — до бесконечности.
Исследования природы бесконечности, проведенной великим математиком Георгом Кантором в конце XIX века, очень сильно взбудоражили умы математического сообщества того времени, привели к появлению 2-х противоположных лагерей и, пожалуй, первому серьезному кризису этой науки. Кантор открыл, что бесконечности бывают разными.
Чтобы понять, как вообще можно сравнивать бесконечности, давайте сначала рассмотрим способ, которым мы сравниваем конечные множества.
Пусть у нас есть 3 сапога и 3 пирога. Справа 3 предмета, слева 3 предмета, 3=3, все ок. Числа, в конце концов, были придуманы как абстракции от количеств реальных предметов, тот самый случай.
Однако сравнивать множества друг с другом можно и без соотнесения каждого члена множества с элементами натурального ряда. Исключим последние.
Способ состоит в построении взаимно-однозначного соответствия 2-х множеств (его называют биекцией): установим соответствие в виде пар «сапог-пирог», и, если не останется свободных предметов, то множества равны. В противном случае
Больше сапогов:
Больше пирогов:
Чем хорош второй способ? Его можно распространить и на бесконечные множества! Давайте рассмотрим для примера множества всех натуральных и всех натуральных четных чисел. Их можно простейшим способом поставить в соответствие друг другу
1 ~ 2
2 ~ 4
3 ~ 6
……
32 768 ~ 65 536
……
Следуя новому определению, они равны! Мы можем сравнивать бесконечные множества таким способом. Определяемая так величина (через эквивалентность множеству натуральных чисел или любому другому — об этом далее) называется «мощностью множества», для конечных множеств оно просто совпадает с количеством его членов. Натуральный ряд называют счетным* (бесконечным) множеством, его мощность обозначают первой буквой еврейского алфавита алеф с индексом 0:
Подобное расширение понятия количества приводит, однако, к некоторым новым явлениям. В частности, для бесконечных множеств уже неверно, что «часть всегда меньше целого» — на примере того же соответствия натурального ряда множеству, состоящему только из четных его членов. Другие необычные свойства бесконечностей, эквивалентных бесконечности натурального ряда, замечательно иллюстрируются предложенным великим математиком Давидом Гильбертом «парадоксом Гранд-отеля»
Представьте, что у нас есть отель с бесконечным количеством комнат, пронумерованных от 1 и так далее. Все номера отеля заполнены, но тут в отель приезжает еще один гость. Можно ли его разметить? Без проблем! Нужно попросить каждого жителя номера перейти в следующий, из номера n в номер n+1, и номер 1 освободится. Поскольку натуральный ряд бесконечен, всегда есть следующий номер, в который можно переместиться.
Ту же процедуру можно проделать для любого конечного количества m вновь прибывших гостей, только каждому постояльцу придется перейти из номера n в номер n+m.
Имеем некие условные формулы
1 + ∞ = ∞
m + ∞ = ∞ для любого m € N (множеству натуральных чисел)
А теперь в отель прибывает делегация из бесконечного числа гостей! Как разместить их? Кажется, мы уже догадались из начального примера с четными числами, как это сделать — пусть каждый жилец перейдет из номера n в номер n*2, и таким образом, освободятся все нечетные номера.
2 * ∞ = ∞
А если приедет m делегаций из бесконечного количества гостей каждая? Давайте возьмем m+1 первых простых чисел, обозначив из как p0, p1, … pm, и разместим текущего жителя номера n в номере p0n (p0 в степени n), а k-го члена прибывшей делегации с номером m в номере pmk
Номера комнат у всех жителей будут разные, так как одно и то же число не может разлагаться на простые множители 2-мя разными способами (основная теорема арифметики).
Последний пример, кстати, показывает, что можно заселить и бесконечное число делегаций с бесконечным числом членов в каждой! Для этого надо воспользоваться известным еще древним математикам фактом бесконечности ряда простых чисел. В этом случае число m может быть любым от 1 до бесконечности, и n-й член m-той делегации отправится в номер pmn
Заметим, что даже в последнем случае в отеле останутся свободные комнаты (бесконечное их количество!). Номера этих комнат будут представлять собой составные числа, в разложении которых на простые множители присутствует хотя бы 2 разных. Теперь наши условные формулы будут
n * ∞ <= ∞
∞ * ∞ <= ∞
Хотя, конечно же, будет знак именно равенства, так как ∞ — первое бесконечное множество.
Материал в Википедии дает более подробное описание «парадокса Гранд-Отеля», там же приводятся примеры, как размещать бесконечные количества гостей, не оставляя пустых комнат между занятыми номерами, и как изначально размещать гостей, чтобы не было нужды гонять их из номера в номер.
Размышляя подобным образом, можно также доказать счётность (то есть эквивалентность мощности натурального ряда) множества всех целых чисел (положительных и отрицательных), рациональных чисел (как отношения двух целых) и даже алгебраических, типа корень из 2, которые определяются как корни многочленов с целыми коэффициентами.
Для полного построения теории вещественных чисел не хватает еще одного их вида. Уже древние знали, что число π, к примеру, не является рациональным, да и к алгебраическим его тоже нельзя отнести (отсюда, если я не ошибаюсь, следует невозможность квадратуры круга). Оно относится к числам трансцендентным, буквально — «непостижимым». Объединение всех классов чисел приводит к понятию вещественного числа и континуума, полного множества чисел.
Про полноту можно сказать и несколько иначе — одно из ее определений такое: «всякая сходящаяся последовательность членов некоторого множества имеет предел в этом же множестве». К примеру: если взять сходящуюся последовательность десятичных приближений числа π, каждое из которых — рационально, то последовательность будет сходиться к трансцендентному π, и невключение его в множество вещественных чисел, или в континуум, приведет к неполноте.
Но являются ли все вещественные числа счетным множеством, можно ли установить взаимно-однозначное соответствие их с натуральным рядом — иначе говоря, перенумеровать?
Ответ дает знаменитая диагональная процедура Кантора, и этот ответ — отрицательный.
Представим, что мы каким-то образом смогли перенумеровать все вещественные числа в диапазоне от 0 до 1. Давайте докажем, что не все, для чего сконструируем новое число, пройдя по диагонали получившейся таблицы. Каждый разряд конструируемого таким образом числа возьмем любым, отличающимся от разряда числа на диагонали (n-го знака после запятой n-го числа). И вот мы получили новое число, которое с любым числом из нашей таблицы будет не совпадать минимум в одном разряде! Найденное противоречие приводит к выводу — множество всех вещественных чисел (его мощность обозначают С –готическое «С») не является счетным, его мощность больше (для полной математической строгости нужно учесть еще тот факт, что некоторые вещественные числа могут иметь 2 эквивалентных вида записи, к примеру, число 0.9999…(9) c 9-кой в периоде — то же самое, что 1, но принцип понятен).
Итак, мы имеем уже 2 бесконечных множества с разными мощностями, неэквивалентные другу другу — натуральные числа и числа вещественные, второе содержит первое. Может ли их быть больше? Да, существует бесконечная иерархия мощностей множеств, для иллюстрации опять-таки начнем с множеств конечных.
Пусть у нас есть 3 яблока, или, раз уж мы занялись теорией множеств, множество, состоящее из 3-х яблок.
Сконструируем множество всех возможных подмножеств, включая пустое множество, а также изначальное множество целиком, и получим множество из 8 сущностей:
Количество сущностей (подмножеств первоначального множества) подсчитать очень просто, тем более — программистам. Если мы напишем 3 двоичных разряда, то включение или не-включение яблока из первоначального множества в очередное подмножество можно как раз обозначить как 1 или 0, и мы получим 23=8 вариантов:
Теперь, как и раньше, нам остается только перенести этот принцип на бесконечные множества. Оказывается, что
«мощность множества всех подмножеств данного множества имеет мощность большую, чем мощность данного множества».
Это утверждение доказывается той же самой диагональной процедурой Кантора — попытка создать биекцию изначального множества и множества всех его подмножеств приводит к противоречию, наличию неучтенного множества, и мы получаем бесконечную иерархию бесконечных множеств, где каждое следующее содержит предыдущее, но не биективно ему.
Кантор доказал, что множество всех подмножеств натурального ряда совпадает с континуумом, таким образом:
(нам уже понятно, откуда взялось обозначение »2 в степени алеф-нуль»).
Однако, строго говоря, множества более высоких мощностей строятся в теории Кантора иначе, через так называемые ординалы, и обозначаются как алеф с соответствующим индексом:
и так далее. Приведенная выше теорема показывает, что действительно существуют разные мощности множеств, но способ их получения через «множество всех подмножеств» не обязательно дает ровно следующий, n + 1 элемент в этой иерархии. Это видно уже на примере с яблоками выше — как говорилось, у конечных множеств понятие мощности совпадает с числом элементов, однако следующей мощностью после 3 естественно будет 4, тогда как 23 = 8.
Здесь имеет место совершенно не укладывающийся в голове парадокс, но с приходом в математику бесконечностей был открыт ящик Пандоры, который привел к теореме Геделя о неполноте и прочим неприятностям (теорема доказывается опять-таки вариантом диагональной процедуры Кантора, примененной к формализованной в виде цепочек знаков записи математических суждений).
Парадокс состоит в том, что не существует ответа на вопрос, совпадает ли первая несчетная мощность алеф-1 с С — мощностью множества всех вещественных чисел, то есть континуума. Можно лишь утверждать, что
Познакомившись с бесконечностями, нам нужно перейти к определению длины.
Задачка для 5-го класса — как посчитать длину отрезка [a, b]?
(спойлер: b-a)))
Вопрос позамысловатее — как распространить понятие длины на более сложные подмножества вещественной оси? В случае, когда подмножества представляют собой такие же отрезки и их конечное количество, нет проблемы все это сложить для получения результата. А как быть с бесконечным количеством? Как мы знаем из математического анализа, сумма бесконечного количества величин вполне может быть конечна (если каждая из них достаточно быстро стремится к нулю).
Ответ на этот вопрос дает теория меры, развитая Анри Лебегом (и независимо открытая Александром Гротендиком, членом коллектива французских математиков Николя Бурбаки. Это к вопросу о существовании математических истин вне сознания человека, в некотором идеальном платоновском мире).
Мерой называется вещественнозначная** функция на подмножествах вещественной оси, и она является обобщением (расширением) понятия длины на различные подмножества числовой прямой (а также расширением понятий площади, объема и т.д. для пространств большего числа измерений):
— совпадает с обычной длиной для привычных нам отрезков [a, b] ,
— равна нулю для любого счетного подмножества числовой прямой,
— для несчетного подмножества тоже может быть равна нулю, примеры — Канторово множество, коврик Серпинского (его двумерный аналог) и прочее,
Ковер Серпинского
— существуют неизмеримые множества (с такой ситуацией приходится мириться, как только мы начинаем работать с бесконечностями).
Важно, что она, в том числе, позволяет расширить понятие интеграла на более широкие классы функций (интеграл Лебега против интеграла Римана). Вспомним, что классический определенный интеграл для площади функции одной переменной под кривой определялся как предел суммы произведений некоторого значения функции на интервале на длину этого интервала (при стремлении длины интервала к нулю). Теперь же, расширив понятие длины, мы сможем интегрировать заметно более сложные функции.
Шикарный пример на эту тему — из шоу «Вечерний Ургант» от 08 сентября 2021 года, куда были приглашены российские победители главной международной студенческой олимпиады по математике IMC-2021:
Источник — сайт 1tv.ru
Вопрос — кто изображен на картинке?
Сверху приведена Функция Дирихле:
Она равна 1 в рациональных точках прямой и нулю во всех остальных. Это, кстати, яркий пример одного очень важного явления. Когда мы определяем функцию как бесконечное множество пар соответствий точек одной прямой точкам другой, с тем лишь ограничением, что одному x соответствует только один y, мы всяко держим в уме какие-то красивые графики, непрерывные кривые и все такое. Но оказывается, что под такое определение попадает гораздо более широкий класс объектов, порой очень экзотических — таких, как функция Дирихле, которая разрывна в каждой своей точке.
Интеграл (по Лебегу) равен нулю, поскольку функция Дирихле принимает ненулевое значение только в счетном количестве точек. Интеграл Римана для такой функции не существует.
Теперь мы подошли к основной идее YAR
Предположим, что гравитация нарушает полноту пространственно-временного континуума.
Это приведет к изменению траекторий движущихся тел, к отклонению от прямолинейного движения. Это не будет геометрией в полном смысле этого слова, у нас не получится поставить в соответствие плоское, но неполное, пространство полноценному искривленному пространству с некоторым тензором кривизны.
Изложение теории — во второй части статьи.
Приложение. Задача со звездочкой.
Сжатие файлов (без потерь) — ZIP, RAR, GZ и так далее. Любой файл можно представить себе как просто очень длинное целое число. Таким образом, любая программа сжатия является, по сути, функцией, которая любому числу (несжатому файлу) ставит в соответствие другое число — его зазипованный (зараренный и т.д.) вариант. Функцией взаимно-однозначной (биекция!), так как обратная операция (распаковка) должна приводить в точности к исходному файлу, мы же не картинки жмем. При этом запакованный файл — меньше исходного (представляет собой меньшее число, причем на несколько порядков!), иначе в чем смысл всей этой процедуры.
Получается парадокс — мы каким-то образом смогли взаимно отобразить бОльшее множество на меньшее! Рассадить 30 пассажиров по 20 местам, при этом каждому досталось свободное место…
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
* Натуральный ряд иногда называют потенциальной бесконечностью, так как каждый его член — конечен и может быть явно выписан, в отличие от актуальной бесконечности, скажем, любого отрезка прямой, например, от 0 до 1. Для записи трансцендентных чисел требуется, как правило, бесконечное число знаков, хотя из этого есть исключения — смотрите так называемую «сложность по Колмогорову».
**возможно обобщение на область комплексных чисел
