Увидеть своими глазами: вселенная и Большой взрыв06.09.2020 16:47

Метаматериалы — композиты со структурными элементами, размерами много меньше длины волны излучения, обладают не только необычными свойствами, такими как отрицательный коэффициент преломления, но и способностью имитировать космологические уравнения. Они открывают новые возможности старым добрым аналоговым компьютерам. А чем хороши аналоговые вычисления? Результат виден практически сразу. Итак, на картинке ниже мы видим… Большой взрыв! Читаем, как это получилось.

Большой взрыв и путешествия во времени

В своём исследовании, Игорь Смолянинов и Юй-Юу Хунг из Университета Мэриленда построили метаматериал путем нанесения на золотую подложку полосок оргстекла. Математическое описание поведения электромагнитных волн в метаматериале имеет много общего с общей теорией относительности (далее ОТО), которая описывает пространство-время. Следовательно, путь распространения света в метаматериале аналогичен пути массивной частицы в (2+1)-размерном пространстве-времени.

В немагнитном анизотропном материале с диэлектрическими константами $\epsilon_x=\epsilon_y=\epsilon_1$ и $\epsilon_z=\epsilon_2$ волна с компонентой $E_z=\phi$ согласно уравнениям Максвелла:

$-\frac{\omega^2}{c^2}\phi = \frac{\partial^2\phi}{\epsilon_1\partial z^2}+\frac{1}{\epsilon_2}\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}\right)$

У метаматериала с $$\epsilon_1>0$» /> и <img src=$ это уравнение можно переписать в форме уравнения Клейна-Гордона:

$-\frac{\partial^2\phi}{\epsilon_1\partial z^2}+\frac{1}{|\epsilon_2|}\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}\right)=\frac{\omega^2}{c^2}\phi=\frac{m^2 c^2}{\hbar^2}\phi$

для массивного скалярного поля. Тогда координата $z$ в уравнении Максвелла подобна времени $t$ в уравнении Клейна-Гордона. При освещении метаматериала лазером, появляющийся световой узор представляет собой историю (2+1)-мерного пространства-времени, населённого частицами с массой $m$ . Этот узор составлен из мировых линий частиц, живущих в двумерном пространстве $x,y$ и временем $z$ .

Расположение полосок концентрическими окружностями, а не параллельными полосками, приводит к уравнению в цилиндрических координатах:

$-\frac{\partial^2\phi}{\epsilon_\theta\partial r^2}+\frac{1}{|\epsilon_r|}\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}+\frac{\partial^2 \phi}{r^2\partial \theta^2}\right)=\frac{\omega^2}{c^2}\phi==\frac{m^2 c^2}{\hbar^2}\phi$

Роль времени теперь играет координата $r$ , а условие $$\epsilon_\theta > 0$» /> и <img src=$ реализует аналоговую модель расширяющейся вселенной. Точка $r=0$ соответствует моменту Большого взрыва. Действительно, судя по полученной световой картинке, мировые линии частиц в самом деле расходятся в пространстве с течением времени (по мере удаления от $r=0$ ).

В статье Смолянинова и Хунг также разбирается вопрос о существовании замкнутых времениподобных кривых. Существование замкнутых времениподобных кривых позволяет путешествия во времени со всеми связанными с ними парадоксами. На метаматериале они бы проявились как световые петли — это достаточно очевидно. Однако, в силу разных причин их реализовать не удалось, и, как заключают авторы, скорее всего не удастся. Увы.

Общая теория относительности для инженеров-электриков

Аналогия между электромагнитными полями в метаматериалах и космологией работает в обе стороны. В самом деле, для дизайна метаматериала выполняющего функцию, например, «шапки-невидимки», нужно использовать аппарат общей теории относительности (ОТО). Суть уравнений Эйнштейна ОТО можно сформулировать таким образом: пространство-время указывает материи как ей двигаться, а материя указывает пространству-времени как ему искривляться. Решить уравнение Эйнштейна — значит найти вид метрического тензора пространства-времени, т.е. определить его кривизну исходя из распределения материи.

Шапка-невидимка, скрывающая помещенный внутрь объект, должна так искривлять/преломлять лучи света, чтобы они обходили объект. Искривление световых лучей эквивалентно искривлению пространства-времени, а распределение материи эквивалентно распределению диэлектрической проницаемости (и связанному с ней индексу преломления) в метаматериале. Подробнее с примерами взаимосвязь ОТО и разработки метаматериалов разобрана в статье Ульфа Леонхардта и Томаса Филбина General relativity in electrical engineering.

Также по этой теме:

Novello M., Visser M., Volovik G.E. Artificial black holes. — World Scientific, 2002. (особенно глава 3: Slow light)
Ralf Schutzhold. Recreating Fundamental Effects in the Laboratory?