Уравнение Пуассона и распределение Больцмана (часть 1)12.09.2017 20:37

В продолжение предыдущей статьи «Есть ли плазма в космосе?» я хотел бы в познавательных целях рассказать об уравнениях, которые применялись при выводе уравнения Дебая-Хюккеля. Это уравнение Пуассона и распределение Больцмана.

Уравнение Пуассона

Мы выяснили, что плазма квазинейтральна в равновесном состоянии и что под действием электрического поля от движущихся зарядов, заряженные частицы смещаются на дебаевскую длину и поле в пределах этой длины затухает. В электростатике взаимодействие заряженных частиц описывается кулоновским уравнением:

$F = k \frac{q_1 q_2}{r^{2}_{12}}$

где $q_1, q_2$ — величины взаимодействующих точечных зарядов, $r^{2}_{12}$ — квадрат расстояния между зарядами. Коэффициент k является константой. Если мы используем систему в электростатических единицах СГС, обозначаемых СГСЭq, то k = 1. Если используется система СИ, то $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon \epsilon_{0}}$ , где $\epsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды, в которой расположены заряды, $\epsilon_0$ — электрическая постоянная, равная 8,86 ∙ $10^{-12} м^{-3} кг^{-1} c^4 F^2$ .
В физике непосредственно силой не пользуются, а вводят понятие электростатического поля распределённых зарядов и измеряют поле величиной напряженности электрического поля. Для этого в каждую точку поля мысленно помещают единичный пробный заряд и измеряют силу, с которой поле зарядов действует на пробный заряд:

$E = \frac{F}{q_0}$

Отсюда, если подставить в это уравнение силу Кулона, то получим:

$E = \sum_{j=1}^N{\frac{q_j}{r^2_{0j}}}$

Но и этим физики не ограничиваются, для того чтобы описать полноценно электрическое поле. Рассмотрим единичный заряд, помещённый в электростатическое поле. Поле выполняет работу по перемещению этого заряда на элементарное расстояние ds из точки P1 в точку P2:

$\phi_{21} = - \int_{p1}^{p2} Eds (*)$

Величину $\phi_{21}$ называют разностью потенциалов или напряжением. Напряжение измеряется в Вольтах. Знак минус говорит нам о том, что само поле выполняет работу для переноса единицы положительного заряда. Силы, перемещающие заряды являются консервативными, так как работа по замкнутому пути равна всегда нулю, независимо от того, по какому пути перемещается заряд.

Отсюда следует глубокий смысл разности потенциалов. Если зафиксировать точку Р1 и перемещать заряд в переменную точку Р2, то работа зависит только от положения второй точки Р2. Таким образом мы можем ввести понятие потенциала. Потенциал — это силовая функция, показывающая какую необходимо выполнить работу полю, чтобы переместить заряд из бесконечности в данную точку P2, где условно принимают потенциал в бесконечности равным нулю.

Чтобы понять уравнение Пуассона, необходимо разбираться в «особой» векторной математике. Я вкратце расскажу про такие понятия как градиент поля и дивергенции (подразумевается, что читатель знаком с математическим анализом)
Пусть f (x, y, z) является некоторой непрерывной дифференцируемой функцией координат. Зная её частные производные $\partial f/ \partial x, \partial f /\partial y, \partial f / \partial z$ в каждой точке пространства можно построить вектор, компоненты которого x, y, z равны соответствующим частным производным:

$\nabla f = \vec{x} \frac{\partial f}{\partial x} + \vec{y} \frac{\partial f}{\partial y} + \vec{z} \frac{\partial f}{\partial z}$

где $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ — единичные векторы соответствующих осей x, y, z. Значок $\nabla$ читается «набла» и является дифференциальным оператором

$\nabla = \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial z}$

Этот оператор ввёл в математику Гамильтон. С набла можно выполнять обычные математические операции, такие как обычное произведение, скалярное произведение, векторное произведение и так далее.

Теперь вернёмся к электростатическому полю E. С одной стороны изменение потенциала при переходе из одной точки в другую имеет следующий вид:

$d \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} dx + \frac{\partial \phi}{\partial y} dy + \frac{\partial \phi}{\partial z} dz$

С другой стороны, согласно формуле (*)

$d \phi = - E ds$

Применяя только что введённое понятие градиент, эта формула преобразуется в:

$E = - \nabla \phi (**)$

Теперь разберёмся с таким понятием, как дивергенция поля. Рассмотрим конечный замкнутый объем V произвольной формы (см. рис. ниже). Обозначим площадь этой поверхности S. Полный поток вектора F, выходящего из этого объема по определению равно

$Ф = \int_S Fda$

, где da является бесконечно малым вектором, величина которого равна площади малого элемента поверхности S, а направление совпадает с наружной нормалью к этому элементу.
Возьмём этот поток вектора F поделим на объём $V_i$ и найдём предел при $V_i$ стремящейся к нулю, т.е. будем стягивать объём в бесконечно малую точку.

$div F = \lim_{V_i \to 0} \frac{1}{V_i} \int_S Fda$

Мы подошли к понятию дивергенции. Обозначается дивергенция символом div и является отношением потока вектора F к объёму V, при V стремящейся к нулю.

Прежде чем показать, как получается уравнение Пуассона, важно знать закон Гаусса и теорему Гаусса. Представим себе сферу, внутри которой находится заряд q. Заряд создаёт вокруг себя электрическое поле напряжённости E. Возьмём поток вектора E

$Ф = (E, S) $

где S площадь нашей сферы равная $4\pi r^2$ . Следовательно

$Ф = \frac{q}{r^2} 4\pi r^2 = 4\pi q$

Это и есть закон Гаусса, утверждающий, что поток электрического поля E через любую замкнутую поверхность равен произведению $4\pi$ на полный заряд, охватываемый поверхностью:

$\int_S E da = 4\pi \sum_i q_i = 4\pi \int \rho dv$

где $\rho$ — плотность объёмного заряда, т.е. величина электрического заряда в единице объёма, и $dv$ — элементарный объём, выделенный внутри нашего замкнутого объёма.

Теорема Гаусса (полное название теорема Гаусса-Остроградского) чисто математическая теорема о дивергенции. Перепишем полный поток вектора F следующим образом:

$\int_S F da = \sum_{i=1}^N \int_{S_i} F da_i = \sum_{i=1}^N V_i \frac{\int_{S_i} F da_i}{V_i}$

В пределе, когда N → ∞, $V_i$ →0 величина в скобках становится дивергенцией и сумма переходит в объёмный интеграл:

$\int_S Fda = \int_V div F dv$

Это и есть теорема Гаусса, и является поистине самой важной формулой полевой теории. Применим эту теорему к электростатическому полю. С одной стороны, согласно закону Гаусса

$\int_S Eda = 4\pi \int \rho dv$

А с другой стороны, согласно теореме Гаусса (только не путайте теорему с законом Гаусса):

$\int_S Eda = \int_V div E dv$

Комбинируя два последних уравнения, получим:

$div E = 4\pi \rho$

Вспомним формулу (**) и подставим сюда вместо E потенциал поля

$div \nabla \phi = - 4\pi \rho$

Дивергенция градиента это новый оператор, который в математике называют оператор Лапласа, или сокращённо лапласиан. Лапласиан обозначается значком набла следующим образом $\nabla ^2$ и равен

$\nabla ^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$

Перепишем предыдущую формулу в форме лапласиана:

$\nabla^2 \phi = - 4\pi \rho$

Наконец мы получили уравнение Пуассона. В первой статье это уравнение было немного в другой форме, с учётом диэлектрической проницаемости среды. Вспомните силу Кулона в системе СИ, там константа $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon \epsilon_0}$ . Соответственно в законе Гаусса будет не $4 \pi$ , а коэффициент $\frac{1}{\epsilon \epsilon_0}$ . Таким образом получаем уравнение Пуассона в форме представленной в предыдущей статье

$\nabla^2 \phi = - \frac{1}{\epsilon \epsilon_0} \rho = - \frac{1}{\epsilon \epsilon_0} \sum_i q_i n_i$

Таким образом по сути уравнение Пуассона — это закон Кулона (а точнее закон Гаусса) переписанный в другой форме, в обозначениях векторного дифференциального анализа.

В следующей статье мы разберём важное распределение из математической статистики — распределение Больцмана.