Теория множеств и математическая логика применительно к задаче с параметром (ЕГЭ, RUS)
Каждому ученику 10–11 класса, желающему связать свою жизнь с профессиональной деятельности в IT-сфере необходимо запомнить две вещи:
Беречь зрение;
Научиться разрабатывать наилучшее алгоритмы для поиска решения заданной задачи.
Задача с параметром — это первая полноценная исследовательская задача, при решении которой, требуется применить как сообразительность, так и любовь к труду, потому как в процессе поиска решения придётся обработать бесконечное множество числовых элементов. Да и к тому же в распоряжении будущего абитуриента имеется всего около 4 часов на экзамен по математике (ЕГЭ), а значит нужно придумать для поиска решения такой рабочий алгоритм, который занимал бы минимум времени. Этим мы сейчас и займемся.
Надеюсь, среди читателей не найдется тех, кто всерьез решиться прогнать, с помощью выдуманной им программы (алгоритма на реальном коде), все числовые значения параметра «a», принадлежащее множеству действительных чисел в нижеприведенной задаче.
Однако, автор статьи будучи выпускником школы сам пытался «извратиться» и даже иногда применял для поиска решения в задаче с параметром табличный редактор «Excel». Но очевидные проблемы: дискретность значений параметра «a» и невозможность использования ноутбука даже на пробном экзамене поставили на таком методе — жирный крест »+».
Поиск решения (числовых значений параметра «a», удовлетворяющих условию задачи) с помощью табличного редактора — Excel
Но как тогда научиться быстро и главное правильно решать задачи с параметром? Для начала стоит поискать ответ на этот вопрос у своей интуиции, а лучше — логике.
Давайте подумаем о том: «А какая основная идея заложена для быстрого поиска правильного решения в данной задаче?».
Как ни странно, но ответ на этот вопрос очень простой: «Основной идеей для быстрого и правильного поиска решения — является способность видеть все возможные слои с необходимой информацией, а затем отбирать только полезные данные внутри каждого слоя» или короче «Овладеть навыком грамотной работы со слоистым мышлением».
Но кто такой этот »Слой»?
«Не помню такого студента, не учился он у меня…»
А если серьезно, то »Слой» — введенный мною термин вовсе не философская абстракция. И на протяжении данной статьи, я постараюсь это показать. Так например, каждый из Вас, читая данную статью, уже мыслит о ней по своему. То есть находится на своём »Слое».»Слой» — это (подумайте сами)…
Может »Слой» — это рандомно заполненные ячейки данными различных типов двухмерной таблицы или разряженная матрица, а может это оставшиеся живые нейроны после очередного стресса или вычислительные кластеры, применяемые инженерами в задачах CFD/FEM?
А ладно, хватит нам тут быть в роли «Нео» («Нео» — это главный герой‑исследователь в фильме «Матрица»)…
Сейчас мы рассмотрим графическую пародию на известнейший мем и обсудим важную тему:»Причинно‑следственная связь».
Инсталляция: «Причинно-следственная связь»
Наверняка Вы заметили, что «Синий пол» трехмерной сцены, сделанной в программе «КОМПАС-3D» подписан как »Причина», а должен был быть подписан так — «Фиолетовый цилиндр». И это не ошибка автора, это побуждения Вас и вашего мозга выстроить вполне логичную реакцию от уведенного нейронами мозга. А благодарить за такую «подлянку» стоит, как говорят психологи, ассоциативное мышление.
Чем больше времени за жизнь вы мыслите ассоциативно, тем тяжелее Вам будет решать задачи с параметрами. Поменяйте некое природное мышление на »Слоистое», т. е. такое — внутри которого есть какой‑то набор элементов (например, терминов из математики: параметры, числа, функции и т. д.), и проведите анализ относительно данных элементов по каким‑либо их главным признакам.
Поиграем сейчас в простую игру: «Вопрос‑ответ», а что бы Вам было проще в дальнейшем читать данную статью, ответьте на ряд следующих важных вопросов:
Какие существую способы задания функции?
Какие бывают функции?
Какие бывают числа?
Что такое числовая ось?
Что такое множество?
Какие я знаю методы решений задач с параметрами?
Когда параметр является числом, а когда функцией?
Задача автора данной статьи заключается в том, чтобы ты дорогой читатель поменял ассоциативное мышление на аналитическое, т.е. на такой тип мышления, который позволяет всесторонне анализировать имеющиеся данные (исходные и получаемые в результате решения задачи с параметром).
После того, как мы немного потренировали мозг, можно смело переходить к дальнейшему повествованию и постепенному раскрытию термина — »Слой» (применительно к задачам с параметром).
Слоистое мышление (Различные знания о параметрах, числах, функциях, расположенные на отдельных слоях)
В задаче с параметром иногда приходиться рассуждать от очевидного из задачи следствия. Так к примеру, в задаче просят найти число корней (следствие) от параметра (причина), а Вы находите при конкретном числовом значении корня (следствие) — множество числовых значений параметра (причина). Что бы вытворять такие манипуляции и остаться в здравом уме, нужно оставлять своё сознание только в рамках используемого Вами »Слоя» и рассуждений над ним.
Так вот получается »Слой» — это частично обработанное и хранящее нашим мозгом множество знаний, т. е. состояние накопления полезных знаний до получения верного ответа на заданный вопрос.
А ответов, как и людей может быть очень много, причём, сколько людей, столько и ответов (в оригинале — мнений). В общем каждому экзаменатору студент не угодит) Ах да, вспомнил как раз анекдот на эту тему:
Анекдот про математика и менеджера
«Воздушный шар сбился с курса, и воздухоплаватель срочно опустился с ним вниз. Увидев внизу человека, он спросил:
— Извините, где я нахожусь?
— Вы находитесь на воздушном шаре, в 15 метрах над землей. Ваши координаты: 5°28'17» N и 100°40'19» E.
— Похоже, вы математик, — вздохнул воздухоплаватель.
— Да, я математик, — согласился прохожий.
— Как вы догадались?
— Ваш ответ, по-видимому, точный и полный, но для меня совершенно бесполезный. Я по-прежнему не знаю, где я нахожусь, и что мне делать. Вы мне нисколько не помогли, только напрасно отняли время.
— А вы, похоже, из управленцев, — заметил математик.
— Я действительно топ-менеджер серьезной компании, — воспрял воздухоплаватель. — Но как вы догадались? Вы видели меня по телевизору?
— Зачем? — удивился математик. — Судите сами: вы не понимаете ни где вы находитесь, ни что вам следует делать, в этом вы полагаетесь на нижестоящих. Спрашивая совета у эксперта, вы ни на секунду не задумываетесь, способны ли вы понять его ответ, и когда оказывается, что это — не так, вы возмущаетесь вместо того, чтобы переспросить. Вы находитесь ровно в том же положении, что и до моего ответа, но теперь почему-то обвиняете в этом меня. Наконец, вы находитесь выше других только благодаря дутому пузырю, и если с ним что-то случится — падение станет для вас фатальным.
В идеале на нужном »N‑ом подслое» какого‑то »Слоя» должно находится некоторое множество знаний, содержащих строгий в математическом плане ответ на не менее грамотно сформулируемый вопрос.
Но что такое »Слой» в случае с задачей с параметром?
И можно ли уже наконец‑таки дать ответ на выше записанный вопрос однозначно и определенно?
Как показывает практика можно! В данном случае »Слой» — »Числовое множество». И при этом задача экзаменуемого найти такие числа, входящие во все »Числовые множества», которые обязательно подчиняются условию задачи. Получается, что ответом к задаче с параметром всегда является дискретная, кусочно‑заданная или непрерывная функция от параметра.
В математике задают функции не только аналитически, но и таблично, графически, и в том числе — описанием (хотя погодите, Вы же уже отвечали на этот вопрос и при этом — верно?). Поэтому наша задача при решении задач с параметром научиться находить »Множество значений параметра» удовлетворяющих условию, где условие — причина, а все отдельные числовые множества принадлежащие параметру — следствие.
Напоследок автор предлагает рассмотреть практический пример решения задачи с параметром с использованием теории множеств и применением формальной математической логики, дабы развеять туман над прочитанным Вами занудным текстом.
Лист 1
Лист 2
Лист 3
Всем спасибо за внимание!
Прокачивайте своё »Слоистое мышление» или как ещё его можно назвать — »Послойное мышление», и не забывайте прокачивать память, потому что без нее, вы не разберетесь в своих собственных записях, на одну задачу может уйти от 1 до 3 листков (см. пример автора статьи). А если не сможете прокачать память, записывайте важную промежуточную информацию (в идеале в блокнот, компьютер и e.t.c., ну, а на экзамене обводите рамкой и называйте »Множеством»). А как подготовили материал — начинайте анализ.
Легче всего проводить анализ, если предварительно хорошо «отмасштабироваться»! «Масштабирование» — есть ни что иное, как сведение воедино всей полезной информации (О.О. Ф., все возможные зависимости от корней параметра и наоборот и т. д.).
Проще говоря, если Вы хотите доехать на такси в роли пассажира куда‑то заблаговременно, то предварительно нужно выбрать оптимальный по времени маршрут, а это нереализуемо без знаний у водителя о всех возможным маршрутах. Также лично Вам (пассажиру) желательно учесть и другие параметры, например, такие как: мотивация для водителя (чаевые), мощность двигателя, стаж вождения транспортного средства, оставшийся запас горючего, знания дорог и их состояние на местности и т. п.
P. S. Давайте вместе поможем будущем абитуриентам сдать ЕГЭ по математике на наивысший балл (100 вторичных баллов), для этого каждый, при желании, может посоветовать хорошую литературу по теме: «Решение задач с параметрами (Самоучитель)». Ну, а я, пожалуй, начну:
1) Натяганов В.Л., Лужина Л.М. Методы решения задач с параметрами: Учеб. пособие. — М.: Изд-во МГУ, 2003. — 368 с.
