Теория категорий для самых маленьких. Введение
Когда-то мне надо было разобраться в этой довольно-таки абстрактной теме, причем с не самой прозрачной математикой. И спустя несколько вечеров с пособиями и интернетом, я наконец то придумала достаточно иллюстративные примеры и ассоциации, которые помогли мне закрепить основные моменты в этой теории. В этой статье будет представлено короткое введение в теорию категорий и в основные понятия, связанные с ней. Она будет интересна людям, которые только начинают свое погружение в теорию категорий. Когда мне самой было тяжело разобраться в этой теме, то придуманные примеры помогли лучше понять, что это за зверь вообще такой. Надеюсь, они также помогут и всем заинтересованным в этой теме)
Что такое категория?
Для начала определим понятие категории на математическом языке (прости господи):
Определение 1.
Категория С состоит из следующего набора данных:
класса (или множества) Ob©, элементы которого называются объектами категории С,
набора множеств Homc (X, Y), по одному для каждой упорядоченной пары объектов X, Y ∈ Ob©, элементы которых называются морфизмами из X в Y и обозначаются f: X → Y,
набора отображений
по одному для каждой упорядоченной тройки объектов X, Y, Z. Паре морфизмов f: X → Y и g: Y → Z такое отображение ставит в соответствие морфизм из X в Z, обозначаемый g○f и называемый композицией морфизмов f и g.
Теперь попробуем закрепить эти понятия. Можно представлять простейшую категорию как пара (объект, морфизм). Объект — это класс/множество с набором аксиом: ассоциативность для элементов, существование нейтрального элемента и существование обратного элемента. Морфизм — некая связь между элементами объектов.
Пример 1.
Определим объекты A, B, C. Внутри каждого объекта есть набор элементов: (a1,…, an), (b1,…, bm) и (c1,…, ck) соответственно, причем n!= m!= k. Для этих объектов определены морфизмы f: A → B и g: B → C. Тогда существует категория K = {(A, B, C), (f, g)}. Внутри категории K определена композиция g○f: A → C, и эта композиция тоже является морфизмом.
Точно ли наш набор данных — категория?
Чтобы называться категорией данные из определения 1 должны удовлетворять следующим аксиомам:
по каждому морфизму f однозначно определяются такие X, Y ∈ Ob©, что множества Homc (X, Y) не пересекаются. То есть между элементами X и Y существует единственная связь f,
для каждого объекта X ∈ Ob© существует тождественный морфизм idx ∈ Homc (X, X), удовлетворяющий условию: для любых Y, Z ∈ Ob© и f ∈ Homc (Y, X), g ∈ Homc (X, Z) имеют место равенства idx ○ f = f, g ○ idx = g. Также стоит отметить, что этот морфизм определен однозначно. То есть существует нейтральный морфизм e: X → X, иначе говоря отображение объекта в самого себя,
композиция морфизмов ассоциативна, то есть для любых четырёх объектов W, X, Y, Z ∈ Ob© и морфизмов f: W → X, g: X → Y, h: Y → Z, композиции (h ○ g) ○ f и h ○ (g ○ f) суть один и тот же морфизм из W в Z.
Замечание.
Минимальной (тривиальной) категорией является пара (X, idx). Причем, объектом может быть и пустое множество.
Для этой категории выполняется:
Существует объект X и морфизм idx: X → X,
Выполнена композиция idx ○ idx = idx,
Существует тождественный морфизм.
Затем идет категория интервала, которая определена так: {(X, Y), (f, idx, idy)}. Обычно тождественный морфизм не указывается явно, но подразумевается, если речь идет о категориях.
На практике чаще всего рассматривают такую категорию: {(X, Y), (f, g, idx, idy)}.
Пример 2.
Является ли этот набор — категорией?
Пусть у нас есть два объекта A, B и три морфизма f: A → B и g, h: B → A.
Вопрос: является ли этот набор данных категорий?
На ответ дается 5 секунд (рекомендую перечитать пункты из раздела «Точно ли наш набор данных — категория?»).
Ответ
Этот набор данных не является категорией, так как морфизм между элементами A и B должен быть однозначный, но в этом примере существуют морфизмы g и h, а также тождественный морфизм можно определить как: idA = g ○ f = h ○ f — то есть присутствует неоднозначность, а такого быть не может.
Немного про изоморфизм
Определение 2.
Морфизм f: X → Y в категории C называется изоморфизмом, если существует такой морфизм g: Y → X, что f ○ g = idY и g ○ f = idX.
Объекты X, Y ∈ Ob©, между которыми существует хотя бы один изоморфизм, называются изоморфными.
В упрощенном виде можно сказать, что под изоморфизмом понимают идею, когда через композицию морфизмов можно вернуться в тождественный морфизм одного из элементов и это выполняется для обоих объектов.
Пример изоморфизма
Замечание.
Каждый изоморфизм однозначно определяет обратный к нему изоморфизм.
Сумма в категории
В первую очередь стоит определить понятие несвязное объединение X⋃Y. Или, иначе говоря, сумма множеств X и Y: X+Y.
Несвязное множество
То есть, несвязное объединение по мощности (количеству элементов) совпадает с суммой мощности обоих множеств. Если в одном множестве 2 элемента, в другом 2 элемента, то в их сумме будет 4 элемента. Даже если среди этого набора будут одинаковые элементы, в сумме они будут учитываться отдельно. А в обычном объединении одинаковый элемент встречался бы только один раз.
Для суммы X+Y определим морфизм — канонические вложения iX: X → X+Y и iY: Y → X+Y.
Теперь рассмотрим другой объект Z, в которой задана пара отображений u: X → Z, v: Y → Z. Тогда существует и единственно такое отображение h: X+Y → Z, что диаграмма коммутативна (то есть h ○ iX = u, h ○ iY = v).
Коммутативность диаграммы суммы множеств
Определение 3.
Суммой объектов X, Y ∈ Ob© называется объект в C, обозначаемый X+Y, заданный вместе с парой морфизмов iX: X → X+Y, iY: Y → X+Y, для которого выполнено условие: для любой тройки, состоящей из объекта Z ∈ Ob© и пары морфизмов u: X → Z, v: Y → Z существует и притом единственный морфизм h: X+Y → Z, делающий диаграмму коммутативной.
Пример 3.
Применение канонических вложений
Благодаря каноническим вложениям мы по сути запоминаем из какого класса наш элемент пришел в объединение. Можно понимать это по-разному — например, для красной звезды из X можем представлять это как (красная звезда, желтое множество) или как префикс X_star.
То есть канонические морфизмы iX, iY сохраняют знания откуда взят элемент.
Морфизм u переводит в новый элемент без знания исходного места.
Применение морфизмов u и v
Морфизмы u и v не сохраняют исходное место; разные объекты из разных классов могут отображаться в один и тот же элемент (красная звезда из X и зеленое сердце из Y отображаются в один и тот же черный треугольник); разные объекты из одного класса тоже могут отображаться в один и тот же элемент (например, все элементы из X могли бы отразиться в черный треугольник).
Тогда коммутативная диаграмма выглядит следующим образом:
Коммутативная диаграмма для суммы
И морфизм h определяется следующим образом:
Единственный морфизм h
Произведение в категории
Над множествами есть операция прямого произведения, сопоставляющая паре множеств X, Y множество X ✕ Y, состоящее из пар (x, y), x ∈ X, y ∈ Y.
Для прямого произведения X ✕ Y определены канонические проекции πX: X ✕ Y → X, (x, y) → x, πY: X ✕ Y → Y, (x, y) → y. Прямое произведение множеств обладает следующим свойством: для любого Z и отображений u: Z → X, v: Z → Y существует и притом только одно отображений h: Z → X ✕ Y, делающее диаграмму коммутативной (то есть πX ○ h = u, πY ○ h = v).
Коммутативность диаграммы произведений множеств
Определение 4.
Произведением объектов X, Y ∈ Ob© называется объект в C, обозначаемый X ✕ Y, заданный вместе с парой морфизмов πX: X ✕ Y → X, πY: X ✕ Y → Y для которого выполнено условие: для любой тройки, состоящей из объекта Z ∈ Ob© и пары морфизмов u: Z → X, v: Z → Y существует и притом единственный морфизм h: Z → X ✕ Y, делающий диаграмму коммутативной.
Пример 4.
Множество X ✕ Y содержит всевозможные упорядоченные пары X, Y.
Применение канонических проекций
То есть морфизм πX извлекает из пары (x, y) 1-ый элемент, который относится к X, а морфизм πY извлекает 2-ой элемент, относящийся к Y. При этом не происходит дублирования в X/Y, то есть если с помощью πX мы уже вытащили красную звезду из 1-ой пары, то красная звезда из 2-ой пары отображается в ту же самую красную звезду из 1-ой пары.
Коммутативность диаграммы для произведений
Причем с помощью морфизма h не обязательно отображать другие две пары, так как с помощью канонических проекций можем получить все элементы X и Y. То есть не возможность получить с помощью h пар (красная звезда, зеленое сердце) и (фиолетовое сердце, красная звезда) ни на что не влияет.
Выводы
В этом введение мы ознакомились с такими понятиями как: категория, какими свойствами должна обладать категория, изоморфизм, сумма и произведение категорий. Надеюсь, примеры и упрощенные замечания помогли лучше закрепить основные идеи этой теории.
Источники
Ершов А.В. Категории и функторы, Учебное пособие //Ершов АВ–Саратов: ООО Издательский центр «Наука. — 2012. — вся «строгая» математика была взята отсюда.
