Полиномиальные корневые методы синтеза САУ ч.3 (заключение)27.02.2024 00:45

Леонид Маркович Скворцов. Широко известный в узких кругах математик, профессионально занимающийся математическими проблемами автоматического управления. Например, его авторские методы использованы в SimInTech. Данный текст, еще готовится к публикации. Но с разрешения автора, читатели Хабр будут первыми кто сможет оценить. Первая часть здесь… Вторая часть здесь…

Две предыдущие части были заполнены многоэтажными формулами в третей части разберем на примерах применение этих формул. Математику в жизнь!

8. Примеры синтеза одномерных систем

Рассмотрим процедуры синтеза на конкретных примерах. Для несложного объекта получим значения параметров регулятора в аналитическом виде и исследуем зависимость результатов синтеза от параметров стандартного полинома и от схемы реализации регулятора. Приведем также фрагменты программ, реализующих решение рассмотренных примеров в ПО SimInTech. Для использования этих программ достаточно задать параметры стандартного полинома и коэффициенты ПФ объекта (неизменяемой части).

Во всех примерах принимаем ПФ объекта в виде:

$G(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{1}{a_1\cdot s+a_2\cdot s^2+a_3\cdot s^3}, \ a_1=a_2=1, \ a_3=0.1 \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.1)}$

Рассмотрим следующие способы формирования управляющего сигнала: 1) статический регулятор с использованием сигнала ошибки и дополнительного выходного сигнала; 2) динамический регулятор с использованием сигнала ошибки; 3) динамический регулятор с использованием сигнала ошибки и дополнительного выходного сигнала. В качестве дополнительного сигнала используем производную выходной переменной.

Рисунок 6. Схема САУ из примера 1

Пример 1. Сформируем управление, используя сигнал ошибки и производную выходной переменной. Структурная схема такой системы приведена на рис. 6, где

$G_0=s\cdot G(s)=\frac{1}{a_1+a_2\cdot s+a_3\cdot s^2}.$

Характеристический полином замкнутой системы получим в виде

$P(s)=A(s)+k_1+k_2\cdot s=k_1+(a_1+k_2)\cdot s+a_2\cdot s^2+a_3\cdot s^3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.2)}$

Зададим два из трех полюсов замкнутой системы в виде корней стандартного полинома $C(s)=1+\tau\cdot s+\tau^2\cdot\alpha\cdot s^2$ . Далее воспользуемся процедурой синтеза, изложенной в разделе 4. Остаток от деления полинома (8.2) на C(s) равен

$k_1-\frac{\tau\cdot \alpha\cdot a_2-a_3}{\tau^3\cdot\alpha^2}+\left [ (a_1+k_2)-\frac{\tau\cdot \alpha\cdot a_2-a_3+\alpha\cdot a_3}{\tau^2\cdot \alpha^2}\right ]\cdot s$

Приравняв этот остаток нулю, получим уравнение синтеза, решив которое найдем параметры регулятора:

$k_1=\frac{\tau\cdot \alpha\cdot a_2-a_3}{\tau^3\cdot \alpha^2}, \ \ k_2=\frac{\tau\cdot \alpha\cdot a_2-a_3}{\tau^3\cdot \alpha^2}-a_1. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.3)}$

При решении этого примера можно воспользоваться и алгоритмом 5 из раздела 5 (обратная связь по выходу), приняв $X(s)=1, \ \ Y(s)=k_1+k_2\cdot s$ . Тогда получим уравнение синтеза (5.5) в виде $A(s)+Y(s)=C(s)\cdot Z(s)$ . Это же замечание справедливо и для рассмотренного ниже примера 3.

Полученное решение зависит от параметров стандартного полинома t и a. При фиксированном a исследуем свойства синтезированной САУ в зависимости от показателя t стандартного полинома. Полюсы синтезированной системы:

$\lambda_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot\alpha}}{2\cdot \tau \cdot \alpha}, \ \ \lambda_2=\frac{1}{\tau\cdot\alpha}-\frac{a_2}{a_3},$

где $\lambda_{1,2}$ — заданные полюсы (корни стандартного полинома), а $\lambda_3$ — оставшийся не заданным полюс, который назовем свободным. Стремление повысить быстродействие путем уменьшения $\tau$ приводит к перемещению $\lambda_3$ вправо, а при достижении некоторого значения, т.е. при $\tau<\tau_0$ , синтезированная система становится неустойчивой. Граничное значение $\tau_0$ найдем из условия $\lambda_3=0$ , откуда $\tau_0=a_3/(\alpha\cdot a_2)$ .

Найдем оптимальное значение $\tau$ . В качестве критерия оптимальности примем показатель быстродействия синтезированного полинома (8.2), который обозначим через $\overline{\tau}$ . Зависимость $\overline{\tau}$ от $\tau$ имеет вид:

$\overline{\tau}=\frac{a_1+k_2}{k_1}=\tau\cdot \left ( 1+ \frac{\alpha\cdot a_3}{\tau\cdot \alpha\cdot a_2-a_3}\right ).$

Оптимальное значение $\tau=\tau_{opt}$ , при котором $\overline{\tau}$ принимает минимальное значение, получим в виде

$\tau_{opt}=\frac{a_3}{\alpha\cdot a_2}(1+\sqrt\alpha)=\tau_0(1+\sqrt{\alpha}), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.4)}$

при этом значение $\overline{\tau}$ равно

$\overline{\tau}_{opt}=\frac{a_3}{\alpha\cdot a_2}(1+\sqrt{\alpha})^2=\tau_{opt}(1+\sqrt{\alpha}). \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.5)}$

В результате синтеза при оптимальном значении $\tau$ (8.4) стандартного полинома получим характеристический полином замкнутой системы в виде

$P(s)=1+\overline{\tau}\cdot s+\overline{\tau}^2+\overline{\alpha}\cdot s^2+\overline{\tau}^3\cdot\overline{\alpha}^3\cdot s^2, \ \overline{\tau}=\overline{\tau}_{opt}, \overline{\alpha}=\frac{\sqrt{\alpha}}{1+\sqrt{\alpha}}. \ \ \ \mathbf{(8.6)}$

Таким образом, получен стандартный полином, который является нормальным и геометрическим и имеет указанные в (8.5), (8.6) значения показателей быстродействия и качества. Этот факт подтверждает преимущество использования оптимального значения $\tau$ при задании стандартного полинома.

Таблица 6. Результаты синтеза для примера 2 при a = ½

$\mathbf{\tau}$	$\overline{\tau}$		Полюсы	$\sigma,%$ %	$T_{пп}$	$\Delta\varphi,^\circ$
0.8	0.90	2.98, 1.67, 0.18	–1.25 ± 2.17j, –2.5, –10.5	24.7	2.18	44.8
0.6	0.67	4.90, 2.30, 0.097	–1.67 ± 2.89j, –3.33, –13.7	29.1	1.63	42.1
0.5	0.56	7.07, 2.87, 0.053	–2 ± 3.46j, –4, –21	31.2	1.34	41.0
0.45	0.48	9.05, 3.32, 0.028	–2.22 ± 3.85j, –4.44, –36.6	31.7	1.19	40.9
0.4	0.4	12.5, 4, 0	–2.5 ± 4.33j, –5	31.0	1.03	42.0

При $\tau=0.2$ в примере 1 и при $\tau=0.4$ в примере 2 получаем «оптимальные» системы, имеющие одинаковое расположение полюсов. Поскольку характеристические полиномы в этом случае одинаковы, то эти системы имеют также одинаковые значения показателя быстродействия $\overline{\tau}$ . Однако другие характеристики различаются вследствие различия числителей ПФ. В частности, добротность по скорости в примере 1 равна D_1=k_0/(1+k_1)=2.5 , а в примере 2 — D_1=y_0=12.5 . Таким образом, регулятор из примера 2 может обеспечить более точное управление, но характеристики устойчивости и качества переходного процесса лучше у регулятора из примера 1.

Решение примера 2 в ПО SimInTech:

include "polysyn.txt";
const
tau=0.6, alfa=0.5,        //Параметры стандартного полинома
A=[0,1,1,0.1], B=[1,0],   //Знаменатель и числитель ПФ объекта
nx=1, ny=nx, nc=nx+ny+1,  //Степени полиномов ПФ регулятора                        
X[nx+1],Y[ny+1],C[nc+1];  //Y(s)/X(s) - ПФ регулятора
C=norpol(tau,alfa,nc);    //Стандартный полином степени nc
polysyn(A,B,C,nx,ny,X,Y); //Решение уравнения синтеза

Пример 3. Чтобы обеспечить 2-й порядок астатизма, добавим в структуру регулятора интегратор. Используя для формирования управляющего сигнала ошибку слежения и производную выходного сигнала, получим структурную схему, изображенную на рис. 7. Характеристический полином замкнутой системы получаем в виде:

$P(s)=(1+a_1\cdot s+a_2\cdot s^2)\cdot s^2=k_0+k_1\cdot s+k_2\cdot s^2.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.11)}$ Рисунок 7. Схема САУ из примера 3

Рисунок 7. Схема САУ из примера 3

Как и в предыдущем примере, задаем стандартный полином в виде (8.9). Приравняв остаток от деления полинома (8.11) на (8.9) нулю и решив полученные в результате алгебраические уравнения, получим параметры регулятора:

$k_0=\frac{b}{\tau^4\cdot\alpha^5}, \ k_1=\frac{b+\alpha^2\cdot a_3}{\tau^3\alpha^5}, \ k_2=\frac{b+\alpha\cdot a_3-\tau^2\cdot \alpha^4\cdot a_1}{\tau^2\alpha^4}, \ b=\tau\cdot\alpha^2\cdot a_2-a_3.$

При таких параметрах полюсы замкнутой системы:

$\lambda_{1,2}=\frac{\alpha-1\pm\sqrt{(1+\alpha)(1-3\cdot \alpha)}}{2\cdot\tau\cdot\alpha^2}, \ \lambda_3=-\frac{1}{\tau\cdot \alpha}, \ \lambda_4=\frac{1}{\tau\cdot \alpha^2}-\frac{a_2}{a_3},$

где первые 3 полюса являются корнями стандартного полинома (8.9), а $\lambda_4$ — свободный полюс. Значение показателя быстродействия и добротности по ускорению синтезированной системы получаем в виде

$\overline{\tau}=\frac{k_1}{k_0}=\tau-\frac{1}{p_4}, \ D_2=\frac{k_0}{a_1+k_2}.$

Из условия устойчивости $\lambda_4<0$ получаем:

$\overline{\tau}>\tau>\tau_0=\frac{a_3}{\alpha^2\cdot a_2}.» src=«https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/8bf/505/403/8bf50540363a5d027c1106362a075ee3.svg» /></p> <p>Минимальное значение показателя <img alt=$ обеспечивается при $\tau=\tau_{opt}$ , тогда

Максимальное значение добротности по ускорению получаем при

$\tau_{Dmax}=\frac{a_3\cdot \left( 4+\sqrt{\alpha\cdot(\alpha+8)}-\alpha \right)}{4\cdot\alpha^2\cdot a_2}.$

Значения $\tau_{Max}$ и $\tau_{opt}$ совпадают при $\alpha=1/3$ и незначительно отличаются при $1/4\le\alpha\le1/2$ .

Таблица 7. Результаты синтеза для примера 3 при $\alpha=1/3.$

$\mathbf{\tau}$	$\overline{\tau}$			Полюсы	$\sigma,%$ %	$T_{пп}$	$\Delta\varphi,^\circ$
2	2.18	0.59	1.86, 4.05, 2.15	3#-1.5, –5.5	30.3	4.73	46.9
1.5	1.75	0.89	3.2, 5.6, 2.6	3#–2, –4	33.1	3.77	44.8
1.2	1.6	1.04	3.91, 6.25, 2.75	4#–2.5	34.8	3.44	43.5
1	2	0.75	2.7, 5.4, 2.6	3#-3, –1	29.4	4.11	47.4
0.9	-	0	0, 3.7, 2.33	3#–3.33, 0	0	1.89	71.2

Результата синтеза для объекта (8.1) при $\alpha=1/3$ приведены в табл. 7, где знаком n # отмечены полюсы кратности n. Минимальное значение и максимальное значение D_2 получаем при оптимальном значении $\tau=\tau_{opt}=\tau_{Dmax}=1.2.$ При $\tau=\tau_0=0.9$ получаем , тогда интеграл ошибки не используется в сигнале управления. В этом случае порядок системы уменьшается на 1 и фактически получаем схему управления из примера 1, изображенную на рис. 1.

Решение примера 3 в ПО SimInTech:

include "polysyn.txt";
const
tau=1.5, alfa=1/3,              //Параметры стандартного полинома
A0=[1,1,0.1], A=conv(A0,[0,1]), //Знаменатель ПФ объекта
B=[1,0],                        //Числитель ПФ объекта
A1=conv(A,[0,1]),               //Знаменатель неизменяемой части
nx=0, ny=2, nc=nx+ny+1,         //Степени полиномов ПФ регулятора
X[nx+1], Y[ny+1], C[nc+1];
C=norpol(tau,alfa,nc);          //Стандартный полином степени nc  
polysyn(A1,B,C,nx,ny,X,Y);      //Решение уравнения синтеза
k0=Y[1]; k1=Y[2]; k2=Y[3];      //Параметры регулятора

Пример 4. В этом примере используем последовательную коррекцию (рис. 1) с ПИД-регулятором, имеющим ПФ:

$K(s)=\frac{k_0+k_1\cdot s+k_2\cdot s^2}{s\cdot(1+T\cdot s)}.$

В отличие от примера 2, задаем знаменатель, приняв . Характеристический полином получаем в виде

$P(s)=(a_1+a_2\cdot s+a_3\cdot s^2)\cdot s^2\cdot(1+T\cdot s)+k_0+k_{1s}+k_2\cdot s^2.$

Для задания полюсов используем стандартный полином 3-го порядка (8.9) при $\alpha=1/3$ . Расчет коэффициентов регулятора выполняем аналогично предыдущим примерам (используем алгоритм 5). В результате при заданных в (8.1) параметрах объекта и T=1/15 получаем:

$k_0=\frac{9(160\cdot\tau^2-225\cdot\tau+54)}{50\cdot\tau^5}, \ k_1=\frac{9(32\cdot\tau^2-40\cdot\tau+9)}{10\cdot \tau^4}, \\ k_2=\frac{48\cdot\tau^2-45\cdot\tau+9}{5\cdot \tau^3}-1.$

Показатель быстродействия и добротность по ускорению получаем в виде $\overline{\tau}=k_1/k_0, \ D_2=k_0.$ Оптимальные значения этих показателей $(\overline{\tau}_{min} \ \ и \ \ D_{2max})$ получены при $\tau=1.5$ . Результаты синтеза при трех значениях $\tau$ приведены в табл. 8.

Таблица 8. Результаты синтеза для примера 4 при $\alpha=1/3$

$\mathbf{\tau}$	$\overline{\tau}$		Полюсы	$\sigma,%$ %	$T_{пп}$	$\Delta\varphi,^\circ$
2	2.34	1.37, 3.21, 1.78	3#-1.5, –3.61, -16.9	26.3	3.21	50.9
1.5	2.06	1.81, 3.73, 1.93	4#–2, –17	30.3	2.76	47.4
1.2	2.95	1.04, 3.07, 1.79	3#–2.5, -0.59,-16.9	21.9	3.48	53.8

Решение примера 4 в ПО SimInTech:

include "polysyn.txt";
const
tau=1.8, alfa=1/3,         //Параметры стандартного полинома
A=[0,1,1,0.1], B=[1,0],    //Знаменатель и числитель ПФ объекта
D=[0,1,1/15],              //Знаменатель ПФ регулятора
AD=conv(A,D),              //Знаменатель неизмеяемой части
nx=0, ny=2, nc=nx+ny+1,    //Степени полиномов
X[nx+1], Y[ny+1], C[nc+1]; 
C=norpol(tau,alfa,nc);     //Стандартный полином степени nc  
polysyn(AD,B,C,nx,ny,X,Y); //Y=[k0,k1,k2]

В рассмотренных примерах добротность системы однозначно определяется расположением полюсов. В следующих двух примерах используются процедуры синтеза, позволяющие варьировать добротность при заданном расположении полюсов.

Пример 5. Построим регулятор согласно схеме S2 (рис. 4), приняв при этом

$K_1(s)=k_1\cdot\frac{1+T_1\cdot s}{1+T_2\cdot s}, \ K_2(s)=k_2\cdot s.$

Структурная схема САУ приведена на рис. 8. Потребуем, чтобы три из четырех полюсов замкнутой системы были корнями стандартного полинома (8.9) при $\tau=1,\alpha=0.4 \ (\lambda_{1,2}=-1.875j, \lambda_3=-2.5)$ . Примем

$K_1(s)+K_2(s)=\frac{y_0+y_1\cdot s+y_2\cdot s^2}{1+x_1\cdot s},$

откуда

$k_1=y_0, \ T_2=x_1, \ k_2=\frac{y_2}{T_2}, \ T_1=\frac{y_1-k_2}{k_1}. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(8.12)}$ Рисунок 8. Схема САУ из примера 5

Рисунок 8. Схема САУ из примера 5

Характеристический полином замкнутой системы получаем в виде

$P(s)=(a_1\cdot s+a_2\cdot s^2+a_3\cdot s^3)(1+x_1\cdot s^3)+y_0+y_1\cdot s+y_2\cdot s^2.$

Приравнивая остаток от деления этого полинома на стандартный полином (8.9) нулю, получаем систему из 3-х линейных алгебраических уравнений с неизвестными Неизвестную y_0=k_1 примем в качестве свободного параметра, варьируя который, можно изменять добротность системы при заданном расположении доминирующих полюсов.

При заданных нами параметрах объекта и полюсах получаем

$k_1=y_0, \ \ k_2=\frac{3\cdot(248\cdot k_1-575)}{16\cdot(16\cdot k_1-25)}, \ T_1=\frac{34375-24200\cdot k_1+4864\cdot k_1^2}{240\cdot k_1\cdot(16\cdot k_1-25)}, \\ T_2=\frac{64}{375}\cdot k_1-\frac{4}{15}.$

Определим добротность системы по скорости. Если бы использовалась последовательная коррекция по схеме S0 (тогда и ), то добротность была бы равна $k_1\cdot b_0/a_1=k_1$ . Но при наличии дополнительной обратной связи по скорости ( $K_2(s)=k_2\cdot s$ ) следует разделить это значение на $1+(b_0/a_1) \cdot k_2=1+k_2$ , откуда получаем добротность по скорости в виде

$D_1=\frac{k_1}{1+k_2}=0.256\cdot k_1\frac{k_1-1.5625}{k_1-2.125}.$

Отметим, что при от почти линейная.

Рассмотрим два частных случая. При k_1=125/32=3.90625 имеем $T_1=T_2=0.4, \ k_2=1.96875$ , тогда K_1(s)=k_1 и мы получаем схему из примера 1 (рис. 6), при этом 4-й полюс равен –6.25. В пределе при $k_1\rightarrow\infty$ имеем $K_1(s)=5.859\cdot(1+T_1\cdot s)$ и мы получаем схему со 2-м порядком астатизма из примера 3 (рис. 7), в которой добротность по ускорению $D_2=1.5, \ \ T_1=1.267, \ k_2=2.906$ и 4‑й полюс $\lambda_4$ = –3.75.

Таблица 9. Результаты синтеза для примера 5 при $\tau-1, \alpha=0.4$

			$\sigma,%$ %	$T_{пп}$	$\Delta\varphi,^\circ$
4	1.33	0.41, 0.42, 2.00	2.7	1.43	65.5
10	2.74	0.86, 1.44, 2.65	19.5	2.52	50.2
20	5.28	1.06, 3.15, 2.79	30.0	2.63	44.1
60	15.51	1.2, 9.97, 2.87	37.9	2.68	40.5

Параметры регулятора и показатели качества синтезированной системы в зависимости от приведены в табл. 9. При значениях и $\omega_2=1/T_1$ . Благодаря этому удается повысить добротность при тех же задаваемых полюсах. Кривые ЛАЧХ и ФЧХ при двух значениях приведены на рис. 9.

Рисунок.9. ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой САУ из примера 5

В общем случае для построении регуляторов по схеме S2 c заданным значением добротности следует использовать алгоритм 6 из раздела 5, реализованный в процедуре polysyn2. При этом добротность задаем для схемы S0, а после расчета параметров  регулятора пересчитываем полученную добротность для схемы типа S2. Полученная зависимость добротности схемы S2 от добротности схемы S0 позволяет синтезировать регулятор с заданным расположением полюсов и заданной добротностью.

Решение примера 5 в ПО SimInTech:

include "polysyn.txt"; const DS0=60, //Добротность схемы S0 (=k1) tau=1, alfa=0.4, //Параметры стандартного полинома A0=[1,1,0.1], A=conv(A0,[0,1]), //Знаменатель ПФ объекта B=[1,0], //Числитель ПФ объекта nx=1, ny=2, nc=nx+ny, //Степени полиномов ПФ регулятора X[nx+1], Y[ny+1], C[nc+1]; C=norpol(tau,alfa,nc); //Стандартный полином polysyn2(A,B,C,nx,ny,X,Y,DS0,1); //Решение уравнения синтеза k1=Y[1]/X[1]; k2=Y[3]/X[2]; //Параметры регулятора T1=(Y[2]/X[1]-k2)/k1; T2=X[2]/X[1]; D1=DS0/(1+k2*B[1]/A[2]); //Добротность САУ по скорости

Пример 6. Управление формируем по сигналу ошибки и производной выходного сигнала, но в отличие от примера 1, используем динамический регулятор 1-го порядка. Структурная схема такой САУ показана на рис. 10. Эта схема соответствует схеме S3 на рис. 5, где

$X(s)=1+T\cdot s, \ Y_1(s)=k_0+\gamma\cdot k_1\cdot s, \ Y_2(s)=(1-\gamma)\cdot k_1\cdot s+k_2\cdot s^2,$

при этом векторную ПФ регулятора реализуем согласно уравнениям (6.7):

$u=\frac{(x+\gamma\cdot k_1\cdot e-k_2\cdot y')}{T}, \ \dot{x}=-u+k_0\cdot e-(1-\gamma)\cdot k_1\cdot y'.$

Рисунок 10. Схема САУ из примера 6

ПФ разомкнутой системы имеет вид

$W_p=\frac{k_0+\gamma\cdot k_1\cdot s}{s\cdot[a_1+(1-\gamma) k_1+(a_2+k_2+a_1\cdot T) s+(a_3+a_2\cdot T) s^3+a_3\cdot T \cdot s^3]}$

Добротность по скорости такой системы получаем в виде

$D_1=\frac{k_0}{a_1+(1+\gamma)\cdot k_1}.$

Характеристический полином зависит от четырех параметров регулятора, выбирая которые, можно обеспечить заданное расположение всех четырех полюсов замкнутой системы. У нас есть еще один параметр — $\gamma$ , от которого характеристический полином не зависит, но зависит добротность. Варьируя этот параметр, можно обеспечить требуемую добротность системы.

Сформируем стандартный полином, имеющий заданное расположение корней, в виде

$C(s)=1+\tau\cdot s+\tau^2\cdot c_2 \cdot s^2+\tau^3\cdot c_3\cdot s^3+\tau^4\cdot c_4\cdot s^4.$

Примем показатели стандартного полинома: $\tau=0.5, \ \alpha=1/\sqrt[3]{16}=0.397.$ В этом случае все корни геометрического полинома равны –8, а его коэффициенты: $c_2=3/8, \ c_3=1/16, \ c_4=1.256.$ c2 = 3/8. Коэффициенты нормального полинома: $c_2=\alpha=0.397, \ c_3=\alpha^3=1/16, \ c_4=\alpha^6=1/256$ (отличие от геометрического полинома только в коэффициенте , который у нормального полинома немного больше). Несмотря на незначительное отличие коэффициентов, корни нормального полинома, равные –3.96 ± 2.32j, –12.04 ± 7.05j, заметно отличаются от корней геометрического полинома.

Приравнивая остаток от деления P(s) на C(s) нулю, получаем коэффициенты регулятора:

$T=\frac{\tau\cdot c_4\cdot a_3}{c_3\cdot a_3-\tau\cdot c_4\cdot a_3}, \ k_0=\frac{a_3\cdot T}{\tau^4\cdot c_4}, \ k_1=\frac{a_3\cdot T}{\tau^3\cdot c_4} -a_1, \ \\ k_2=\frac{a_3\cdot c_2\cdot T}{\tau^2\cdot c_4}-a_2-a_1\cdot T.$

Таблица 10. Результаты синтеза для примера 6 при $\tau=0.5, \ \alpha =0.397$

$\gamma$

Нормальный полином
Геометрический полином
$\sigma,%$ %
$T_{пп}$
$\Delta\varphi,^\circ$
$\sigma,%$ %
$T_{пп}$
$\Delta\varphi,^\circ$
0
2
0.4
0.96
67.6
0
0.97
68.6
0.5
3.61
2.4
0.57
67.2
1.1
0.55
67.9
0.8
6.99
13.3
1.04
56.2
14.0
0.95
55.2
1
18.62
24.8
1.11
48.9
26.6
1.04
47.4

При заданных полюсах исследуем влияние параметра g на характеристики САУ. Результаты расчета основных показателей приведены в табл. 10. Увеличение g приводит к повышению добротности, но при этом ухудшаются другие показатели. Как и в предыдущем примере, повышение добротности объясняется участком с двойным наклоном в низкочастотной части ЛАЧХ. Отметим, что несмотря на значительную разницу в расположении полюсов, показатели систем с нормальным и с геометрическим полиномом отличаются очень мало.

Решение примера 6 в ПО SimInTech:

include "polysyn.txt"; const gama=0.8, tau=0.5, alfa=1/16^(1/3), //Параметры стандартного полинома A0=[1,1,0.1], A=conv(A0,[0,1]), //Знаменатель ПФ объекта B=[1,0], //Числитель ПФ объекта nx=1, ny=nx+1, nc=nx+ny+1, //Степени полиномов ПФ регулятора X[nx+1], Y[ny+1], C[nc+1]; C=norpol(tau,alfa,nc); //Стандартный полином //C=geopol(tau,alfa,nc); polysyn(A,B,C,nx,ny,X,Y); //Решение уравнения синтеза T=X[2]/X[1]; k0=Y[1]/X[1]; //Параметры регулятора k1=Y[2]/X[1]; k2=Y[3]/X[1]; D1=k0/(A[2]+(1-gama)*k1); //Добротность по скорости

Архив с примерами можно взять здесь…

Небольшое видео с пояснениями, а так же живой пример синтеза САУ для модели двухроторного ГТД, работающего на базовом режиме малого газа, вместе с исполнительным механизмом. Из этой статьи про нечеткий регулятор.

Литература

1.      Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.

2.      Андреев Ю. Н. Алгебраические методы пространства состояний в теории управления линейными объектами (обзор зарубежной литературы) //  Автоматика и телемеханика. 1977. № 3. С. 5–50.

3.      Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб.: Наука, 2000. 475 с.

4.      Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. 768 с.

5.      Воронов В. С. Показатели устойчивости и качества робастных систем управления // Изв. АН. Теория и системы управления. 1995. № 6. С. 49–54.

6.      Икрамов Х. Д. О размещении полюсов линейных стационарных систем // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1993. Вып. 9. C. 237–291.

7.      Карташов Б. А., Шабаев Е. А., Козлов О. С., Щекатуров А. М. Среда динамического моделирования технических систем SimInTech. М.: ДМК Пресс, 2017. 424 с.

8.      Каханер Д., Моулер К. Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. 575 с.

9.      Козлов О. С., Скворцов Л. М. Исследование и проектирование автоматических систем с помощью программного комплекса «МВТУ» // Информационные технологии. 2006. № 8. C. 9–15.

10.   Козлов О. С., Скворцов Л. М. Синтез робастных регуляторов минимального порядка // Наука и образование (электронный научно-технический журнал). 2013. № 2. URL: http://engineering-science.ru/doc/533324.html.

11.   Козлов О. С., Скворцов Л. М. Синтез простых робастных регуляторов // Автоматика и телемеханика. 2015. № 9. С. 102–114.

12.   Крутько П. Д. Полиномиальные уравнения и обратные задачи динамики управляемых систем // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. !986. № 1. С. 125–133.

13.   Крутько П. Д., Максимов А. И., Скворцов Л. М. Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем. М.: Радио и связь, 1988. 306 с.

14.   Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976. 184 с.

15.   Литвинов Н. Д. Метод расположения корней характеристического полинома, обеспечивающий заданные степень устойчивости и колебательность системы // Автоматика и телемеханика. 1995. № 4. С. 53–61.

16.   Медведев В. С., Потемкин В. Г. Control System Toolbox. MATLAB 5 для студентов. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. 287 с.

17.   Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 303 с.

18.   Скворцов Л. М. Синтез закона управления по заданным полюсам и нулям передаточной функции // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1987. № 6. С. 149–153.

19.   Скворцов Л. М. Синтез линейных систем методом полиномиальных уравнений // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1991. № 6. С. 54–59.

20.   Скворцов Л. М. Расположение полюсов при синтезе модального регулятора // Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1993. № 6. С. 226–229.

21.   Скворцов Л. М. Интерполяционный метод решения задачи назначения доминирующих полюсов при синтезе одномерных регуляторов // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1996. № 4. С. 10–13.

22.   Уилкинсон Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. 564 с.

23.   Chen C. T. Linear system theory and design. New York: Oxford University Press, 1999. 334 p.

24.   Kailath T. Linear Systems. New Jersey: Prentice-Hall, 1980. 682 p.

25.   Naslin P. Polynomes normaux et critere algebrique d’amortissement // Automatisme. 1963. V. 8. № 6. P. 215–233.

26.   Saad Y. Projection and Deflation Methods for Partial Pole Assignment in Linear State Feedback // IEEE Trans. Autom. Control. 1988. V. 33. № 3. P. 290–297.

© Habrahabr.ru

$\gamma$		Нормальный полином	Геометрический полином
$\sigma,%$ %	$T_{пп}$	$\Delta\varphi,^\circ$	$\sigma,%$ %	$T_{пп}$	$\Delta\varphi,^\circ$
0	2	0.4	0.96	67.6	0	0.97	68.6
0.5	3.61	2.4	0.57	67.2	1.1	0.55	67.9
0.8	6.99	13.3	1.04	56.2	14.0	0.95	55.2
1	18.62	24.8	1.11	48.9	26.6	1.04	47.4