Опционы и формула Блэка-Шоулза (часть 1)
Часть 1
В этой серии статей я выведу уравнение Блека-Шоулза для оценки европейского call-опциона классическим способом.
DISCLAIMER: в этих статьях я пытаюсь дать интуицию что вообще происходит, поэтому во многих местах я специально опускаю математические формальности, чтобы не усложнять понимание.
В предыдущей статье обсуждалось, что такое опционы и как они работают. Теперь давайте выведем формулу для оценки стоимости европейского call-опциона.
Не пугайтесь всех терминов по ходу статьи, я буду стараться понятно пояснять каждый термин.
Небольшое отступление
В своём телеграм канале делюсь ещё больше полезным контентом по сфере деривативым и децентрализованных финансов: https://t.me/kirrya_achieves
Содержание статей (обе части)
Наивное представление движения цены на рынке
Добавляем случайности — движение цены как случайный процесс
Нормальное и лог-нормальное распределение
Уравнение движения цены, когда она распределена лог-нормально
Проблемы полученного уравнения
Теорема Гирсанова и риск-нейтральная мера
Избавились от неизвестного дрифта. Что дальше?
Наивное представление движения цены на рынке
Представим что у нас есть какой-нибудь рисковый актив, который торгуется на бирже. Например, стоимость эфира от времени.
Будем считать что мы ищем функцию, которая считает относительную стоимость (фактически наше S (t) это S (t)S0)
Мы хотим научиться делать какие-то предсказания по поводу будущей цены. В идеале хотелось бы иметь некоторую функцию S (t), которая в любой момент времени говорила бы сколько будет стоить базовый актив. Это можно записать в дифференциальной форме:
Интегрируя ее, мы получаем
То есть такая функция, которая нам бы сказала будущую цену.
У такой модели есть проблема.
Мы видим только историю, и никто не знает куда пойдёт цена эфира в будущем. Она может пойти на сколько-то процентов вверх, может вниз, в общем — может быть всё что угодно. А мы бы хотели найти функцию, которая детерминированно говорит стоимость в будущем. Из-за кучи разных причин просто построить такую детерминированную функцию невозможно.
Добавляем случайности
Раз нельзя говорить однозначно о том, какая цена будет в будущем, рассмотрим процесс, в котором есть две части: детерминированная и стохастическая часть.
Нормальное и лог-нормальное распределение
Если рассматривать процесс, описанный выше, в любой момент времени величина X (t) будет распределена нормально (из-за добавки σdW, которая распределена нормально).
Но эмпирически замечено, что в реальности распределение цены на базовый актив не нормальное, а ближе к лог-нормальному. Это такое распределение, логарифм которого распределен нормально.
Это можно объяснить тем, что на рынках периодически случаются резкие обвалы, какие-то маловероятные события, которые обычно никто не принимает во внимание (у лог-нормального распределения «длинный хвост»).
Лог-нормальноe распределениe в реальном мире (шутка)
Уравнение для движения цены, когда она распределена лог-нормально:
Мы изначально записали процесс, который распределен нормально:
Возьмем логарифм от процесса X (t) и получим уравнение движения цены, распределение которой лог-нормальное:
S_t — цена эфира на момент t
Помня, что
получаем
Наконец, мы получаем
Это уравнение называется уравнением геометрического броуновского движения.
Мы хотим решить это уравнение, то есть получить функцию S (T)=… (она будет недетерминированной из-за стохастической части)
Проблемы текущего уравнения
Сейчас есть две проблемы:
Мы не знаем ничего о дрифте μ (t). Интуитивно это параметр «риска» для конкретной акции, монеты, токена (но формально параметр риска определяется иначе, в дальнейшем будет формула). И как бы этот параметр может быть в общем случае зависящем от времени.
Полученное уравнение решать довольно сложно. Нельзя просто взять и проинтегрировать, потому что в правой части стоят не константы, а функции μ (t)S и σS. Разделить переменные, перенеся S в левую часть и просто проинтегрировать тоже нельзя (немного позже увидим почему)
В следующих статьях мы преодолеем эти две проблемы.
В своём телеграм канале делюсь ещё больше полезным контентом по сфере деривативым и децентрализованных финансов: https://t.me/kirrya_achieves
Спасибо за ваше время.
Следите за обновлениями.
