Непостоянные потери в Uniswap V2 + V307.09.2024 18:15

В этой статье я расскажу что такое Uniswap Impermanent Loss, и почему это такая острая тема для провайдеров ликвидности.

Более конкретно, что вас ждёт в статье:

Небольшое погружение в то как работает Uniswap V2
Impermanent Loss для Uniswap V2
Погружение в то как работает Uniswap V3
Impermanent Loss для Uniswap V3
Проблемы провайдеров ликвидности или почему эта тема очень важна для них

Небольшое погружение в то как работает Uniswap V2

Uniswap — децентрализованная биржа, на которой можно обменять одни токены на другие. Там нету заявок на покупку или на продажу, а цена определяется формульно:

$x \cdot y = k$

— количество токенов первого типа в пуле

— количество токенов второго типа в пуле

— константа, задающаяся начальными условиями: произведение кол-в токенов в момент времени перед обменом

Пусть в какой-то момент времени в пуле было монет и , и пусть какой-то человек хочет купить токены второго типа ( $\Delta y$ ), за токены первого типа в размере $\Delta x$ . Тогда происходит следующее.

В пуле теперь $(x+\Delta x)$ токенов, константа гиперболы та же, поэтому выполняется

$(x + \Delta x)\cdot (y - \Delta y) = k = x \cdot y$

Отсюда находим $\Delta y$ — сколько токенов он получит за отданные $\Delta x$

Токены второго типа стали дороже. Цена, по которой произошел обмен: $P = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ (либо перевернуть дробь, если хотим измерить в другой монете)

Откуда берется ликвидность в этих пулах?

Есть другая часть пользователей, которая предоставляет ликвидность в такие пулы — провайдеры ликвидности. Они кладут свои токены в эти пулы, и получают комиссии за каждый обмен токенов в этом пуле. Например, при свопе, описанном выше, сначала берется комиссия, и только потом происходит обмен токенов.

Комиссия за обмен распределяется между провайдерами ликвидности в соответствии с вкладом токенов в этот пул.

После обмена общее количество токенов первого типа выросло, а второго — уменьшилось, соответственно у провайдеров ликвидности соотношение кол-ва токенов, которое у них лежит в пуле, тоже поменялось.

Impermanent Loss (для Uniswap V2)

Когда другой пользователь произвел обмен токенов, цена одного токена к другому поменялась. Также поменялось и общее соотношение количества токенов в пуле и соотношение у каждого провайдера ликвидности.
Количество токенов, которые стали стоить дороже, уменьшилось, а тех что стали стоить дешевле — увеличилось.

В итоге суммарная стоимость активов у каждого провайдера ликвидности поменялась.

$x \cdot y = L^2$ $x = \frac{L^2}{y}$ $y = \frac{L^2}{x}$ $d(x \cdot y) = xdy + ydx= d(L^2) = 0 => xdy = — ydx => \frac{dy}{dx} = — \frac{y}{x}» src=«https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/1a3/879/aa0/1a3879aa0b1e4c578239d7fb180e071b.svg» /> Один дифференциал обычно считаем положительным, второй — отрицательным, получим <img alt=$

— цена одного токена, выраженная во втором токене

$y = L \cdot \sqrt{P}$ $x = \frac{L}{\sqrt{P}}$

Выведем формулу для Impermanent Loss Uniswap V2:

Суммарная стоимость активов в зависимости от цены:

$V = y \cdot 1 + x \cdot P = 2 \cdot L \cdot \sqrt{P}$

Пусть в начальный момент времени юзер планирует положить в Uniswap V2 токены в количествах x_0 , y_0 . В начальный момент времени суммарная стоимость этих токенов равна:

$V_0 = y_0 \cdot 1 + x_0 \cdot P_0 = 2 \cdot L \cdot \sqrt{P_0}$

Если бы человек не клал токены в юнисвоп, а просто «холдил» бы их, его суммарное портфолио в зависимости от цены:

$V_{held} = y_0 \cdot 1 + x_0 \cdot P = L \cdot \sqrt{P_0} + \frac{L}{\sqrt{P_0}} \cdot P$

Для упрощения формул, положим $P = P_0 \cdot k$ , k > 0» src=«https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/9/99/99f/99fb54c066b724ea0b7bf0cf745f8232.svg» />

<img alt= $IL = \frac{V - V_{held}}{V_{held}} = \frac{L \sqrt{P_0} \cdot (2\sqrt{k} - (1+k))}{L\sqrt{P_0} \cdot (1+k)} = \frac{2\sqrt{k}}{1+k} - 1$

То есть таким образом можно смотреть, насколько юзер в минусе / плюсе по сравнению с тем, как если бы он не клал токены в uniswap, а просто пассивно бы их держал на кошельке.

Иногда Impermanent Loss называют просто зависимостью суммарной стоимости позиции от цены, потому что не всегда интересно сравнивать только с позицией холда токенов в изначальной пропорции.

Небольшое погружение в то как работает Uniswap V3

Важно:

Я здесь специально опускаю некоторые детали, связанные с устройством Uniswap V3 (например активация лишь некоторых price ticks, разное кол-во decimals у разных токенов, etc) так как в данном случае они не сильно влияют на результат, но усложняют статью.

В случае Uniswap V3 провайдеры ликвидности могут выбирать, в каком ценовом диапазоне будут использоваться их токены. Таким образом, предоставляемая ликвидность распределяется равномерно не на весь диапазон $[0, +\inf)$ , а равномерно в отрезке [p_a, p_b] ,

p_a — нижняя, p_b — верхняя выставленная цена.

Это выгодно тем, что теперь, выставляя более узкий ценовой диапазон, доля юзера в ликвидности на конкретной цене (на конкретном 'price tick') становится больше, поэтому комиссий он заработает больше. Однако увеличивается и Impermanent Loss, который испытывает его позиция.

Идея аналогична с Uniswap V2. При обмене первого токена на второй так же прибавляется $\Delta x$ , и убавляется $\Delta y$ .

В случае Uniswap V3 уже гипербола немного другая: приспустившись, она уже пересекает оси Ox и Oy.

$(x + \frac{L}{\sqrt{P_b}}) \cdot (y + L \cdot \sqrt{P_a}) = L^2$

Если сделаем замену переменных, можем привести эту гиперболу к привычному виду:

$\begin{cases} x_{virtual} \cdot y_{virtual} = L^2, \newline \newline x + \frac{L}{\sqrt{P_b}} \geq 0, \newline \newline y + L \cdot \sqrt{P_a} \geq 0 \end{cases}$

В случае когда выполняются неравенства, юнисвоп позиция находится в активном состоянии и генерирует комиссии.

Соответственно будут работать выведенные выше формулы, связывающие кол-во токенов, ликвидность и текущую цену (формулы из Uni V2):

$y_{virtual} = L \cdot \sqrt{P}$ $x_{virtual} = \frac{L}{\sqrt{P}}$

Теперь выразим , :

$y = y_{virtual} - L \cdot \sqrt{P_a} = L(\sqrt{P} - \sqrt{P_a})$ $x = x_{virtual} - \frac{L}{\sqrt{P_b}} = L(\frac{1}{\sqrt{P}} - \frac{1}{\sqrt{P_b}})$

Когда цена становится равной P_b , ликвидность юзера уже не участвует с обменах и не получает комиссии. Также теперь у него 0% токенов первого (цена которых поднялась) типа и 100% токенов второго типа.
Аналогично с тем, когда цена упала до P_a . Тогда у юзера теперь становится 100% первого (обесценившегося) токена и 0% второго токена и ликвидность снова не участвует обменах.

Зануляя либо либо , можем найти точное количество токенов оставшегося типа.

$(x + \frac{L}{\sqrt{P_b}})\cdot(y + L \sqrt{P_a}) = L^2$

Количество токенов, когда цена поднялась выше верхней цены:

$P = P_b => x = \frac{L}{\sqrt{P}} — \frac{L}{\sqrt{P_b}} = 0» src=«https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/8/84/84b/84b8146ee8f215c5f6a9250d45a6cc0e.svg» /> <img alt=$ y^* = L\sqrt{P} — L\sqrt{P_a} = L\sqrt{P_b} — L\sqrt{P_a}» src=«https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/c/cf/cf6/cf6c95f608fcec231001ead90af25ae2.svg» />

$y^* = L\sqrt{P_b} - L\sqrt{P_a}$

Количество токенов, когда цена опустилась ниже нижней цены:

P = P_a => y = 0» src=«https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/6/6d/6d8/6d8e20b6abe691df05ffd16ee480ae55.svg» />

<img alt= x^* = \frac{L}{\sqrt{P}} — \frac{L}{\sqrt{P_b}}» src=«https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/6/64/64d/64d20d493f0a6cd43f1b9239284e6a37.svg» />

$x^* = \frac{L}{\sqrt{P_a}} - \frac{L}{\sqrt{P_b}}$

Impermanent Loss (для Uniswap V3)

Аналогично выводу IL для Uniswap V2, запишем полную стоимость позиции в зависимости от цены:

$V = y\cdot 1 + x \cdot P = L(\sqrt{P} - \sqrt{P_a}) + L(\sqrt{P} - \frac{P}{\sqrt{P_b}})$

Пусть как прежде $P = P_0 \cdot k$

$V(P) = 2L\sqrt{P} - L(\sqrt{P_a} + \frac{P}{\sqrt{P_b}})$ $V(k) = 2L\sqrt{P_0 \cdot k} - L(\sqrt{P_a} + \frac{P_0 \cdot k}{\sqrt{P_b}})$

Если бы юзер не открывал юнисвоп позицию, а просто холдил в том же соотношении как в начальный момент времени:

$V_{held} = y_0 + x_0 \cdot P = L(\sqrt{P_0} - \sqrt{P_a}) + L P_0 k (\frac{1}{\sqrt{P_0}} - \frac{1}{\sqrt{P_b}})$ $V_{held} = L\sqrt{P_0}(1+k) - L(\sqrt{P_a} + \frac{P_0 \cdot k}{\sqrt{P_b}})$

Impermanent loss:

$IL = \frac{V(P) - V_{held}}{V_{held}}$ $IL = \frac{2L\sqrt{P_0 \cdot k} - L\sqrt{P_0}(1+k)}{L\sqrt{P_0}(1+k) - L(\sqrt{P_a} + \frac{P_0 \cdot k}{\sqrt{P_b}})}$

Немного упростим

$IL(k) = \frac{2\sqrt{k} - 1 - k}{1 + k - \sqrt{\frac{P_a}{P_0}} - k\sqrt{\frac{P_0}{P_b}}}$

Эта формула справедлива при выполнении неравенств, которые я писал чуть выше. На всякий случай продублирую ещё раз.

$\begin{cases} x + \frac{L}{\sqrt{P_b}} \geq 0, \newline \newline y + L \cdot \sqrt{P_a} \geq 0 \end{cases}$

Проблемы провайдеров ликвидности

Теперь рассмотрим риск-профиль юзера, положившего ликвидность в Uniswap V3.
Риск-профиль — в данном случае зависимость суммарной стоимости позиции от цены.
При сильных падениях цены, во-первых, у юзера будет всё больше и больше дешевеющих токенов, соответственно он будет терять денег всё больше и больше — то есть можно сказать что у него незащищенный риск, связанный с ценой базового актива.

Юзеру вероятно хотелось бы быть менее зависимым от цены на базовый актив (e.g. цены на эфир, если это пара «eth-usdc»), и при этом всё ещё зарабатывать комиссии как провайдер ликвидности.

Что он может сделать?

Он может захеджировать (=защититься от риска) свою позицию.

А как это можно сделать — расскажу в следующих статьях.

Больше интересных статей из мира DeFi — в моём телеграм-канале:

https://t.me/kirrya_achieves