Неполнота науки: как жил и что доказал Курт Гёдель?31.05.2021 15:31

«Достижения Курта Гёделя в современной логике уникальны и монументальны. Определенно, это — нечто большее, нежели памятник ученому, это — путеводная звезда, свет которой продолжит распространяться в пространстве и времени вечно».
Джон фон Нейман

Накануне гибели Австро-Венгерская империя подарила человечеству немало великих умов. Такие громкие имена, как Эрвин Шрёдингер, Зигмунд Фрейд и Стефан Цвейг известны, пожалуй, каждому, включая даже тех, кто бесконечно далек от мира физики, психоанализа или классической литературы. С работами же Курта Гёделя знакомы не многие, хотя масштаб его вклада в математическую науку сопоставим с достижениями Эйнштейна в области физики. Ведь если теория относительности и квантовая теория помогли человечеству взглянуть под совершенно иным углом на законы мироздания, то теоремы Гёделя заставили ученых пересмотреть свои представления о научной методологии и принципах работы человеческого разума.

Логика, как образ жизни

Курт Фридрих Гёдель родился 28 апреля 1906 года в австро-венгерском городе Брюнн (ныне — статутный город Чешской Республики Брно), в семье австрийского коммерсанта Рудольфа Августа Гёделя, управляющего крупной текстильной фабрикой. Хотя Курт с детства демонстрировал недюжинные способности к языкам (еще в ранней юности он освоил английский и французский, научившись изъяснятся на них не хуже, чем на родном немецком), однако карьера лингвиста его не прельщала. Окончив в 1923 году школу, молодой человек поступил в Венский университет, первые два курса которого посвятил изучению физики, однако затем переключился на математику, чему во многом способствовало прочтение книги Бертрана Рассела «Введение в философию математики».

Молодой Курт Гёдель, 1925 год
Не меньшее влияние на формирование Курта Гёделя как ученого оказал Венский философский кружок неопозитивистов, созданный под руководством профессора кафедры индуктивных наук Морица Шлика. В разное время в работе Венского кружка принимали участие философ и логик Рудольф Карнап, социолог и экономист Отто Нейрат, философ Герберт Фейгл, математик и механик Рихард фон Мизес, и множество других выдающихся научных деятелей начала XX века.

Немецко-австрийский философ, основатель Венского кружка Мориц Шлик

Начиная с 1926 года Курт Гёдель не пропустил практически ни одного «четвергового» семинара Венского кружка и участвовал во всех международных конференциях, организованных его создателями. Особый интерес молодой человек проявлял к таким направлениям, как математическая логика и теория доказательств. Однако ключевую роль в его дальнейшей научной карьере сыграло посещение Восьмого Международного конгресса математиков, прошедшего в Болонье в 1928 году, где Гёделю посчастливилось прослушать лекцию самого Давида Гильберта, посвященную полноте и непротиворечивости аксиоматических систем. Исследование данной проблематики легло в основу будущей научной работы Курта: в 1930 году Гёдель блестяще защитил диссертацию «О полноте логического исчисления», заодно совершив одно из величайших открытий в истории математики.

Может показаться, что человек подобного склада ума должен был быть закоренелым материалистом, однако это вовсе не так. В отличие от многих своих коллег, Гёдель до конца жизни оставался теистом, хотя и не причислял себя к какой-либо из существующих конфессий. Однажды ученый сформулировал 14 базовых принципов и убеждений, лежащих в основе его собственного мировоззрения:

Мир устроен разумно.
В принципе, следуя определенным техникам, человек способен развить свои умственные способности до более высокого уровня.
Существуют систематические методы для решения любых проблем.
Существуют иные миры и иные разумные существа, в том числе высшего порядка.
Мир, в котором мы живем не является единственным миром, в котором мы будем жить или жили ранее.
Количество того, что можно познать априори неизмеримо превосходит то, что известно в настоящий момент.
Со времен Эпохи Возрождения развитие человеческой мысли было сугубо одномерным.
Разум человечества будет развиваться по всем направлениям.
Основу подлинной науки составляют формальные правила.
Материализм ложен.
Высшие сущности связаны со всеми прочими по аналогии, но не по своей структуре.
Концепции имеют объективное существование.
Существуют научные (точные) философия и теософия, занимающиеся изучением высших абстракций; они также весьма полезны для науки.
По большей части религии плохи, однако религия — нет.

Кому-то своеобразная «научная вера» Гёделя может показаться противоречивой или даже сумбурной. Но все становится на свои места, если понять главный принцип, следуя которому великий математик по кирпичику выстраивал фундамент окружающей реальности. Во главу угла он всегда ставил возможность логического обоснования той или иной теории, безропотно отметая любые противоречивые концепции независимо от их статуса.

В этом плане очень показательным является отношение Гёделя к общепризнанному в научных кругах эволюционному учению Чарльза Дарвина — математик находил его абсолютно несостоятельным.

«Сложность живых организмов должна определяться либо сложностью «материала», из которого они состоят, либо сложностью законов, по которым они развиваются».

Гёдель отвергал саму возможность спонтанного появления столь комплексных систем, коими являются живые организмы, из элементарных компонентов, или развитие более совершенных форм жизни из примитивных. Ведь с точки зрения логики сама идея превращения простого в сложное противоречит здравому смыслу. Хотя пара исключений из этого правила все же существует: подобные метаморфозы становятся возможными в том случае, если мир структурирован и организован настолько сложно, что сами его законы способствуют последовательному упорядочиванию и усложнению живой матери, либо кто-то намеренно направляет и контролирует эволюционные процессы, что как раз и является косвенным доказательством существования некоей высшей силы.

Стоит отметить, что врожденное стремление к логическому постижению мира отнюдь не всегда шло ученому на пользу. Поклонники творчества Марка Захарова наверняка помнят сцену из кинофильма «Тот самый Мюнхгаузен», в которой барон сорвал собственный бракоразводный процесс, проставив в документах несуществующую дату — 32 мая. В похожей ситуации едва не оказался и сам великий математик: если Мюнхгаузен пострадал из-за своей любви к правде (по сюжету фильма, дополнительный день был его астрономическим открытием), то Курта Гёделя едва не подвела его безупречная логика.

Подобно барону Мюнхгаузену, Курт Гёдель едва не пострадал за свои убеждения

Произошло это в 1940 году, когда после аншлюса Гёдель, как и многие его коллеги, был вынужден эмигрировать в США, где впоследствии занял должность профессора в принстонском Институте перспективных исследований. В соответствии с регламентом получения американского гражданства, каждый соискатель должен был сдать нечто вроде устного экзамена, продемонстрировав свои знания основных положений Конституции США. Гёдель подошел к изучению высшего нормативно-правового акта Соединенных Штатов Америки со всей присущей ему скрупулезностью, однако проанализировав прочитанное, ученый пришел к неожиданному выводу: как оказалось, в «самой демократической стране мира» можно абсолютно законно установить диктатуру путем… всенародного голосования.

Столь резонансное открытие едва не стоило Курту Гёделю гражданства, однако Альберт Эйнштейн, близкий друг и один из поручителей ученого, смог уговорить математика повременить с политическими дискуссиями по крайней мере до момента принесения присяги. Тот внял увещеваниям и успешно сдал экзамен, а в дальнейшем более не возвращался к данной теме. Занятно, что спустя четверть века к аналогичным выводам пришел американский экономист, нобелевский лауреат Кеннет Джозеф Эрроу, сформулировав теорему о невозможности демократии как коллективного выбора, также известную под названием «теорема неизбежности диктатора».

Альберт Эйнштейн вручает Курту Гёделю и Джулиану Швингеру медали премии Эйнштейна, 1951 год

Наверное, только такой человек, как Курт Гёдель, ставивший логику и рационализм даже выше собственных интересов, и мог совершить открытие, заставившее ученых кардинально пересмотреть взгляды на устройство мироздания, в одночасье обратив в прах надежды множества своих коллег-математиков на тотальную формализацию науки о числах, да и науки в целом. И теперь, когда вы лучше представляете, каков был образ мыслей Курта Гёделя и что для него значила логика, можно переходить к рассказу о главном интеллектуальном детище ученого — теоремах о неполноте и противоречивости, раскрывающих суть принципиальных ограничений любой из существующих формальных систем.

Формализация мироздания

Несмотря на солидный возраст, «Начала» древнегреческого ученого Евклида, написанные около 300 года до нашей эры, и по сей день являются образцом логического представления математической теории, да и любой научной теории в целом. Структуру «Начал» брали за основу для своих работ многие величайшие умы человечества, среди которых Рене Декарт, Исаак Ньютон и Бенедикт Спиноза, а сегодня дедуктивный подход к изложению знаний применяется при составлении практически каждого школьного или университетского учебника.

Древнегреческий математик Евклид, «отец» классической геометрии

Несмотря на это, монументальный труд Евклида был отнюдь не идеален, что отмечали даже его современники. По мере дальнейшего развития математической науки число выявленных недостатков «Начал» лишь росло, что, впрочем, было вполне закономерно: со временем подходы к аксиоматике и методологии обоснования теорем как в геометрии, так и в арифметике лишь совершенствовались, а оригинальный текст Евклида, ко всему прочему, не был лишен множества недостатков, корни которых лежали в античной традиции. Так, например, древнегреческие математики с завидным упорством избегали понятия актуальной бесконечности, в силу чего все геометрические закономерности в «Началах» описывались применительно к ограниченному участку плоскости. Это, с одной стороны, делало их формулировки излишне громоздкими и, в то же время, существенно ограничивало простор для дальнейших рассуждений, как, например, в случае с аксиомой о параллельных прямых.

В конце XIX века все проблемы и противоречия евклидовых «Начал» удалось разрешить Давиду Гильберту, представившему в 1899 году монументальный труд «Основания геометрии». Успех немецкого математика воодушевил многих его современников, сподвигнув с удвоенной силой работать в направлении тотальной формализации математической науки.

Сама идея этого витала в воздухе в течение последних нескольких десятилетий. Еще в 1889 году итальянский математик Джузеппе Пеано использовал подход Евклида, но уже применительно не к геометрии, а к арифметике, сформулировав 5 базовых аксиом натурального ряда чисел:

Во множестве натуральных чисел N существует натуральное число 1, называемое единицей.
За каждым натуральным числом n непосредственно следует однозначно определённое натуральное число n', называемое следующее за n.
Единица, то есть натуральное число 1, непосредственно не следует ни за каким натуральным числом.
Каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом.
Любое подмножество М из множества N, содержащее единицу, и вместе с каждым числом из М, содержащее следующее за ним число, совпадает с множеством N.

Итальянский математик Джузеппе Пеано, автор системы аксиом натурального ряда чисел

Аксиомы Пеано оказались сколь просты, столь и исчерпывающи, ведь путем последовательных логических умозаключений они позволяют вывести и доказать все основные арифметические теоремы. Работа Пеано заставила ученых задуматься о выработке единого подхода к аксиоматизации других разделов математической науки. Однако немецкий логик, математик и философ Готлоб Фреге решил пойти еще дальше, предложив не просто аксиоматически утвердить основные свойства математических объектов, но и формализовать сами методы рассуждений. Результаты своей работы в данном направлении Фреге изложил в двухтомнике «Основные законы арифметики», первая книга которого вышла в 1893 году, тогда как вторая увидела свет лишь спустя 10 лет. Но даже несмотря на огромную работу, проделанную Фреге, его итоговый труд имел весьма существенный изъян.

Немецкий логик, математик и философ Готлоб Фреге

Незадолго до публикации второго тома «Основных законов арифметики» ученый получил письмо от своего британского коллеги, Бертрана Рассела, в котором тот указал на одно обстоятельство, упущенное математиком из виду. Формальная система, предложенная Фреге, содержала парадокс в части, затрагивающей наивную теорию множеств Георга Кантора. На неформальном языке его суть можно выразить следующим образом.

Условимся называть множество, которое не является своим собственным элементом, «обычным». К таковому, например, можно отнести аудиторию Хабра: данное множество представляет собой совокупность всех читателей портала, однако само оно читателем не является. «Необычным» же множеством будет такое множество, которое является своим собственным элементом. К таковым относится множество всех множеств, так как раз оно включает в себя вообще все существующие множества, то должно и само являться элементом себя.

Теперь представим себе множество, состоящее из всех обычных множеств (оно будет называться расселовским) и попробуем разобраться, относится ли оно к обычным или к необычным. Обычным оно не может быть, так как по определению состоит из всех обычных множеств, а значит в этом случае должно включать и само себя. Выходит, что перед нами необычное множество. Однако в этом случае оно не может включать себя в качестве элемента, так как по определению должно состоять только из обычных множеств. Но если множество не является собственным элементом, оно становится обычным. Получаем противоречие.

Британский логик и математик Бертран Рассел

В оставшиеся до выхода книги дни Готлоб Фреге всеми силами пытался разрешить парадокс Рассела, доработав свою формальную систему, однако все его попытки так и не увенчались успехом. В итоге математику не оставалось ничего иного, как добавить ко второму тому послесловие, в котором он, фактически, признавал свое полное интеллектуальное поражение:

«Что может быть более страшным для ученого, чем обнаружить, что сама основа его многолетнего, едва завершенного труда, в одночасье рухнула? Полученное мной от Бертрана Рассела письмо поставило меня именно в такое незавидное положение…»

Впоследствии математик потратил массу сил и времени, пытаясь разрешить парадокс в рамках собственной теории, но все было тщетно. Для Фреге это оказалось таким мощным ударом, что до конца своих дней он более так и не написал ни одной книги.

Парадокс удалось разрешить самому Расселу с помощью теории типов. Вскоре ученый представил свой собственный вариант формальной системы, охватывающей все разделы математики и свободной от известных на тот момент противоречий. Воплощением его трудов стал написанный в соавторстве с Альфредом Нортом Уайтхедом трехтомник «Principia Mathematica» («Основания математики»), опубликованный в период с 1910 по 1913 годы. Впоследствии Давид Гильберт охарактеризовал данный труд не иначе, как «венец всех многочисленных усилий по аксиоматизации математики».

Впрочем, самому Гильберту результатов исследований Рассела было недостаточно. К 1922 году в его голове созрел куда более масштабный план обоснования математической науки и ее всеобъемлющей формализации. Идеи Гильберта оформились в так называемую «Геттингенскую программу», представляющую собой перечень основных постулатов и исследований, необходимых для их доказательства. Вкратце ее суть можно изложить следующим образом.

Математика представляет собой набор следствий, выводимых из системы первичных аксиом и является:

Полной — любое математическое утверждение можно однозначно доказать или опровергнуть, используя правила самой математики;
Непротиворечивой — ни одно математическое утверждение нельзя одновременно доказать и опровергнуть, не нарушая при этом правил математики;
Разрешимой — относительно любого математического утверждения можно однозначно установить, опровержимо оно или же доказуемо.

Сам Гильберт был абсолютно уверен в справедливости перечисленных постулатов: по мнению ученого, математика априори была полна, непротиворечива и разрешима, это надо лишь доказать.

Немецкий математик Давид Гильберт

Но амбиции ученого простирались далеко за пределы одной лишь науки о числах. В статье «Познание природы и логика» Гильберт писал следующее:

«Основная идея заключается в том, чтобы сформулировать в обширных областях науки немногочисленные утверждения, называемые аксиомами, чтобы затем чисто логическим путем возвести на их фундаменте все здание теории».

Математик всерьез полагал, что аксиоматизации и формализации подвластны все мыслимые дисциплины, включая и естественнонаучные. И выработка единой, алгоритмизированной методологии познания потенциально могла бы дать невиданный толчок для развития науки. Только представьте, какие высоты могло покорить человечество, появись в арсенале ученых «универсальная отмычка от мироздания», некая высшая методология, позволяющая просчитывать научные открытия! В наше время это могло бы привести к созданию чего-то вроде «Великого Думателя» из «Автостопом по галактике», причем способного не просто отвечать на задаваемые вопросы, но и просчитывать еще не познанные законы Вселенной наперед. В этом мире для разума не осталось бы преград, а человечество обрело бы подлинное всемогущество.

Крушение надежд

Однако амбициозным планам Гильберта по формализации мироздания так и не суждено было осуществиться. 7 сентября 1930 года на очередном математическом конгрессе, организованном «Венским кружком» в Кенигсберге (ныне — Калининград) 24-летний Курт Гёдель выступил с докладом «О полноте логического исчисления», в рамках которого обнародовал две фундаментальные теоремы, опровергающие идеи Гильберта.

В своей первичной форме теоремы Гёделя затрагивали принципиальные ограничения формальной арифметики. Однако, поскольку практически каждая формальная система в той или иной степени использует базовые арифметические понятия, теоремы Гёделя оказались справедливы и для множества других отраслей науки. По этой причине ниже приведены по две формулировки каждой из теорем.

Первая теорема Гёделя (теорема о неполноте)

Для арифметики: если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула.

Обобщенно: всякая непротиворечивая аксиоматическая теория содержит утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть средствами самой этой теории.

Вторая теорема Гёделя (теорема о противоречивости)

Для арифметики: если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима некоторая формула, содержательно утверждающая непротиворечивость арифметики.

Обобщенно: непротиворечивость всякой аксиоматической теории не может быть доказана средствами самой этой теории.

Это выступление не было запланировано заранее и произвело в научных кругах эффект разорвавшейся бомбы, в одночасье сделав Гёделя мировой знаменитостью. Что и неудивительно, ведь фактически математик доказал, что все изыскания в рамках «Геттингенской программы» были тщетны, а дальнейшая работа над ней — бессмысленна, так как три лежащих в ее основе ключевых постулата оказались изначально ложны.

Спустя год статья под названием «О принципиально неразрешимых положениях в системе Principia Mathematica и родственных системах», содержащая доказательства обеих теорем, была опубликована в австрийском научном журнале «Monatshefte für Mathematik und Physik» («Ежемесячник математики и физики»). И хотя доказательство второй теоремы приводилось лишь в виде общей идеи, оно было настолько логичным и очевидным, что ни у кого не возникло ни малейших сомнений в его достоверности.

К чести Давида Гильберта необходимо сказать, что ученый первым признал ценность научных трудов Гёделя, согласившись с тем, что вся его программа по формализации основ математики требует кардинального пересмотра. Более того, именно во втором томе «Оснований математики», увидевшем свет в 1938 году, были впервые приведены полные доказательства обеих теорем. В предисловии же к книге ее авторы отметили, что для достижения поставленных ими целей одних лишь финитных методов, увы, недостаточно, добавив в число необходимых логических средств и трансфинитную индукцию.

Хотя с момента появления теорем Гёделя прошло вот уже 90 лет, ученые так и не пришли к однозначному мнению в вопросах оценки их влияния как на саму математику, так и на дальнейшее развитие фундаментальных наук. Многие и по сей день разделяют позицию Бертрана Рассела, говорившего о том, что по гамбургскому счету кардинально ничего не изменилось. Пускай работы Гёделя оказали огромное влияние на формирование современной математической логики, тем не менее, за пределами данной дисциплины математики продолжают выводить и доказывать теоремы точно также, как и ранее.

Интересно, что и сам Гёдель в целом разделял мнение Рассела. Парируя обвинения в вероломном разрушении фундамента математической науки, он отвечал, что его теоремы привели лишь к переоценке роли личности и человеческой интуиции в тех сферах, где ранее безраздельно правили законы логики, тогда как основы основ как были, так и остались незыблемы

Что же касается утопической идеи четкой формализации и алгоритмизации научного познания, на которой труды Гёделя, по сути, поставили жирный крест, то многие ученые находят подобную концепцию в принципе бессмысленной. Как бы заманчиво ни выглядел мейнфрейм, бесконечно генерирующий и доказывающий все новые и новые теоремы, для продуктов вычислений подобного суперкомпьютера лучше всего подходит эпитет «математический спам», придуманный российским и французским математиком Александром Шенем.

Старший научный сотрудник LIRMM CNRS, ассоциированный научный сотрудник ВШЭ, Александр Шэнь

Ведь как для математики, так и для науки в целом важны отнюдь не только сама формулировка той или иной теоремы и ее доказательство, но, и это главное, ее смысл, позволяющий установить взаимосвязь между различными сущностями и понять, в каком направлении следует двигаться дальше и какое практическое применение можно найти полученному знанию. При отсутствии же такого понимания ценность разрозненных теорем и открытий, генерируемых на основе формализованных правил, стремится к нулю.

Теоремы Гёделя заставили ученых задуматься и об ограниченности знаний человека о собственных ментальных возможностях. Ведь его труды можно рассматривать и в качестве косвенного подтверждения того, что человеческое мышление отнюдь не ограничено формально-вычислительными рамками, но и включает в себя доселе непознанную, «невычеслительную» сферу, проявлением которой являются интуиция и внезапные озарения.

Одним из наиболее последовательных сторонников подобной точки зрения стал британский физик и математик, лауреат Нобелевской премии 2020 года Роджер Пенроуз. Возможно, вы не знакомы с его работами, однако почти наверняка слышали (а может быть, и играли с одной из ее вариаций в детстве) о мозаике Пенроуза — непериодичной, повторяемой мозаике, состоящей всего из двух ромбовидных элементов.

Британский физик и математик Роджер Пенроуз стоит на полу, замощенном изобретенной им же мозаикой

В 1989 году Роджер Пенроуз опубликовал весьма занимательный научно-популярный труд «Новый ум короля», название которого является ничем иным, как отсылкой к сказке Ганса Христиана Андерсена «Новое платье короля», повествующей о монархе, ставшем жертвой жестокого обмана, однако ни в какую не желавшего это признавать, дабы не уронить свое достоинство. В этой книге Пенроуз высказал мнение, что человеческое сознание не является сугубо алгоритмическим, и процессы, в нем происходящие, можно досконально объяснить лишь с привлечением постулатов квантовой физики (в частности, такого явления, как редукция фон Неймана). Впоследствии Пенроуз совместно с нейробиологом Стюартом Хамероффом разработал теорию квантового нейрокомпьютинга на основе модели сознания «Orch-OR», в рамках которой активность мозга рассматривалась, как не столько биохимический, сколько квантовый процесс. Данная теория была подробно изложена в следующей книге Роджера Пенроуза «Тени разума».

Важным следствием рассуждений Пенроуза является принципиальная невозможность на данном этапе развития вычислительной техники создания так называемого «сильного искусственного интеллекта» — ИИ, обладающего сознанием и самосознанием, способностью к эмпатии и собственной мотивацией, то есть, подобном человеку. Поскольку все, на что способны современные ЭВМ и алгоритмы — это лишь более детальное и эффективное моделирование формально-логической деятельности человеческого мозга, появления полноценного, «живого» ИИ, не стоит ожидать даже в случае многократного наращивания вычислительных мощностей: подобного результата удастся достичь лишь после кардинального пересмотра взглядов на структуру и принципы работы сознания. Возможно, в далеком будущем человечество сможет решить эту задачу. Но вспомнят ли те, кому удастся совершить столь грандиозный научный прорыв, имя Курта Гёделя, того, кто сумел заставить человека посмотреть иначе не только на окружающий мир, но и на самого себя?

P.S.

Рассказывать о Курте Гёделе, о его работах и его мировоззрении можно бесконечно — на это не хватит ни статьи, ни целой книги. Всем, кто хотел бы поближе познакомиться с образом мыслей и наследием гениального ученого мы рекомендуем начать с труда американского математика и фантаста Руди Рюкера «Бесконечность и сознание», оригинал которого находится в открытом доступе на официальном сайте писателя. Здесь вы отыщете не только подробные объяснения и доказательства теорем о неполноте и противоречивости, но, что самое главное — личные впечатления автора от общения с Куртом Гёделем, которые помогут вам куда лучше прочувствовать и понять, чем жил и дышал этот удивительный человек.

Облачные серверы от Маклауд быстрые и безопасные.

Зарегистрируйтесь по ссылке выше или кликнув на баннер и получите 10% скидку на первый месяц аренды сервера любой конфигурации!