Немножко страстей из трехмерности (по мотивам школьных уроков)
Попреподавал тут в школе. У ребят беда с трехмерностью и с проклятым этим «минусом», который откуда-то магически выскакивает. Как понимаю, в школах это уже давно. Да и в ВУЗах тоже студенты плавают. Цель туториала — убедить, что нет тут ничего заумного, можно самому разобраться, если не лениться.
Правы ли буравчики?
Как то несправедливо получается: всё у нас заточено под правый буравчик, прям пронизано правизной. Водопроводный кран, винт в мясорубке, болтики, винтики и прочие гаечки — всё правое (бывают левые, но так редко, что если вдруг попадется в руки такой винтик, то его даже вкрутить некуда). Ну и штопор — это тоже правый буравчик.
И всё бы ничего, но непонятно, откуда такая нелюбовь к левой резьбе?! Да и потом — мешает же! Заставляет внимательно вглядываться. Попробуем разобраться где можно поскользнуться и как «соломки постелить».
первый урок
Поскользнуться на буравчиках можно ниже
— ориентированная поверхность Пишете Вы к примеру алгоритм по текстурированию поверхностей, а нормаль вдруг ни с того ни с сего развернулась вниз головой и посмотрела под текстуру, что такое?!;
— положительное направление обхода контура Это появляется, когда начинаете считать ротор векторного поля, циркуляцию или полюсы в ПФКП — лезут какие-то минусы когда должны быть плюсы;
— как частный случай предыдущего: определенный интеграл Он почему-то меняет знак, если пределы местами поменять — чувствует, паразит, направление интегрирования, хотя вроде бы должен быть просто площадью под функцией. Зазеваешься в алгоритме и он сразу втихушку знак сменит, ищи потом, почему неправильно получилось;
— определители матриц Поменяли случайно местами строки или столбцы и вот пожалуйста — вылезает минус;
— системы координат Учителя маниакально требуют, чтоб соблюдался порядок базисных ортов, и ни дай бог перепутаете! Чего они пристают со своим порядком?;
— векторное произведение Попробуйте ввести векторное произведение в левой системе координат. Интересно, куда у Вас смотреть будет результирующий вектор;
— угол между векторами Вообще-то углов между двумя векторами как-бы два: маленький угол и большой, ну которые в сумме дают «два пи», мы то знаем какой правильный, а в каком-нибудь алгоритме, где контуры оббегаются, можем забыть уточнить, получим минус вместо плюса;
— операция поворота Которая через умножение на матрицу делается — бывает хочешь картинку повернуть в одну сторону, а она неожиданно поворачивается в другую.
Суть драмы
С одной стороны есть живые люди, которым надо всё потрогать и представить себе все вектора в виде острых палочек, которые висят в воздухе. С другой же стороны есть математический формализм в виде векторной алгебры, аналитической геометрии и прочего матана, который всеми этими палочками шерудит. Нам, людям, приятны образы и геометрические картинки, а формализму приятны алгоритмическая точность действий, знаки перед цифрами и упорядочивание (которые нам неприятны и порой даже невидимы). Ну что такое «минус» для нас? или порядок, в котором надо написать вектора? — ну мелочь ведь. Мы не обращаем внимания, а формализм обращает. Бывает наоборот: формализм не обращает внимания, а мы удивляемся, дескать: «ну вот же разница очевидная! почему он не видит?» И еще, где-то в подсознании у нас есть железная уверенность, что пространство наше однородно и изотропно, а значит нет никакой разницы как базис натянуть на пространство — не должно ничего меняться. А в формализме кое-что меняется от выбора: «правый-левый базис». Вот из-за очень удобного, но чувствительного формализма, приходится нам всем определиться каким буравчиком пользоваться — правым или левым. Точнее так: математики с буравчиками определяются каждый раз когда захотят, а остальные уже давно определились — правый у нас буравчик. История давняя, может и было какое-то собрание-голосование — какой буравчик по душе народу, — документов не сохранилось. Наверное дело в астрономии, вращении звезд и звездочетах, живущих в северном полушарии со своей письменностью и библиотеками — это неважно, но на всякий случай звучит как-то успокаивающе: движение звезд по небу в северном полушарии → движение часовых стрелок, которые придумали в северном полушарии → любовь к правому буравчику.
Еще раз, суть:
— в «матане» полно формализма — формальных действий и алгоритмов;
— формализмы требуют различать правый и левый буравчики;
— люди — это вам не компьютеры, они ошибаются в формализмах, надо тренироваться;
— проще всего при работе с формализмами — выбрать один какой-нибудь буравчик, следить, чтоб он не вывернулся и дальше не париться;
— люди уже выбрали правый.
Рисуем правую и левую тройки векторов. Хиральность и инверсия (для самых маленьких)
Есть специальное слово для право-левости базисов, «право-левость» как-то не звучит. Чтоб звучало, произносят слово «ориентация». Если знают, какая она, эта ориентация у базиса, то уточняют: «правая ориентация базиса» или «левая ориентация базиса». Но быстрее говорить, например: «правая тройка» — так тоже Вас все поймут.
Нарисовать три палки на бумаге можно по-разному, в принципе у нас есть 8 вариантов (вон они, эти 8 вариантов, в серединке рисунка). И пронумеровать палки можно по-разному — каждую тройку можно пронумеровать 6-ю способами. Итого получается 6×8=48 разных комбинаций можно встретить. Половина из них — это правые тройки, другая половина — левые. И если нам встретится какая-нибудь пронумерованная тройка, то полезно научиться понимать по рисунку, какая она. Для этого есть метод правой руки.
Итак задача: Есть перед глазами нарисованные и пронумерованные как попало три палки: 1,2,3. Надо узнать, какая тройка векторов нарисована.
а) пристально смотрим на рисунок и мысленно пытаемся схватить палку »1» правой рукой, чтоб большой палец показывал вдоль этой палки;
б) при захвате палки движение остальных пальцев подсказывает нам «правое» направление: если при хватании за первый вектор пальцы двигаются от второго вектора к третьему — значит тройка правая. Если двигаются от третьего ко второму, то значит тройка левая;
в) проверьте себя: на рисунке внизу правая тройка, вверху левая. Получается определить?
Теперь другая задача: Есть нарисованные палки. Надо их подписать, чтоб тройка была правая.
а) рисуем у любой палкой цифру »1» — этот вектор будет первый;
б) мысленно хватаясь за первый вектор, донумеровываем остальные;
г) Если нам не нравится, что на нашем рисунке нарисованная »1» находится внизу — хочется для эстетики, чтобы она был на месте »2», то можно передвинуть, но только «по кругу», хороводом: первый на место второго, второй на место третьего, третий на место первого — эта операция называется «циклическая перестановка» или «цикл длины 3» (потому что мы хоровод водим тремя элементами-векторами).
Наконец третья задача: Нарисованы палки, палки пронумерованы, мы проверили «рукой» — нарисованная тройка правая. Как быстро перенумеровать, чтоб из правой получилась левая?
а) быстро быстро поменять местами любые два номера. Тут главное, чтобы один из номеров оставался на месте — всё! она теперь левая! Попробуйте проверьте.
а`) еще быстрее: нарисованные палки отразить один раз в любом зеркале (не важно, под каким углом подносить зеркало) — отраженный базис окажется другой ориентации;
б) если хочется для красоты, чтоб вместо »1» была »2», то переставить можно, но опять циклично.
конец первого урока
второй урок
Суть драмы
На прошлом уроке научились рисовать тройки и узнали про отражение и перестановки объектов (про хиральность и инверсию — мы про них узнали, только еще не назвали их, скоро исправимся).
Повтор
— циклическая перестановка (длины 3) упорядоченных векторов не меняет ориентацию базиса,
— попарная (которую зануды справедливо называют «цикл длины 2») — меняет,
— две любые попарные перестановки — два раза меняют: туда — сюда, то есть возвращают ориентацию к прежней,
— три цикличные перестановки — это то же самое, как будто мы ничего не переставляли.
Хиральность Это очень страшное слово. Это свойство. Свойство какого-нибудь геометрического объекта. Берем объект (например правую руку) и отражаем его в зеркале (получаем левую руку). Ну вот если теперь сможем объект мысленно совместить с отражением (правую руку с левой), то объект никакой хиральностью не обладает, и наоборот. У Вас получается совместить правую руку с левой, кстати? Мысленно хотя бы? Еще раз: если объект совмесим со своим отражением — нет у объекта свойства хиральности, несовместим — есть хиральность. Руки например никак не совместить правую с левой (правую перчатку на левую руку не надеть), значит у правой руки есть хиральность (у левой руки соответственно хиральность тоже есть). Говорят так: «объект хирАлен» и это не матершина. В природе, кстати, НЕхиральность надо еще поискать. Мы живем в хиральном мире, ребята! Нехиральные физические объекты — это атомы и некоторые молекулы, там с этой хиральностью и прочей симметрией-несимметрией пусть и ломают мозги. А нам это необычное слово нужно, чтобы запомнить, что:
Можно взять за объект ориентированный базис, отразить его в зеркале и он сменит ориентацию — ориентированный базис трехмерного пространства хирален (двумерный базис тоже хирален, но только если мы сами себе запретили из плоскости выходить и вращать его в трехмерном космосе). Кстати, отражение в зеркале так же как и попарная перестановка векторов — обе эти операции меняют ориентацию — из правой тройки векторов делают левую тройку.
Инверсия это еще одна операция. Она означает, что надо сделать несколько отражений объекта в зеркалах. Сколько размерностей у нашего пространства, столько и зеркал, столько раз и отражаем: сначала в первом зеркале один раз, потом что получилось во втором зеркале еще раз, это отражение в третий раз… и так далее. Что получилось после последнего отражения, то и называют «результатом инверсии». В трехмерном пространстве берём три плоскости (зеркала), по очереди перпендикулярные каждому базисному вектору, и делаем три зеркальных отражения нашего объекта. Инверсию принято разделять на два вида. Если возьмем какой-нибудь вектор, и проведем над ним инверсию (тупо умножим все его координаты на «минус один»), то такая инверсия называется «активная инверсия», а если мы вектор оставим на месте, а инверсию проведем над базисом, то вектор в новом базисе опять придется записать по-новому, правда это опять банальное умножение всех координат на «минус один». Но есть нюанс: базис, три раза отразившись, сменит ориентацию, из правой получится левая тройка — такую инверсию называют «пассивная инверсия» — вектор же пассивно на месте остается, а мы так… просто чего-то там намутили с системой координат, помните же про изотропность и однородность пространства? Сейчас начнётся страшное. Еще раз: активная — инвертируем вектор, базис на месте; пассивная — инвертируем базис, вектор на месте.
Вопрос о векторном произведении
Простой, казалось бы, вопрос: что такое векторное произведение. Вот даны два вектора a и b в обычном евклидовом трёхмерном пространстве. Мы знаем их длины, угол между ними и даже координаты в ортонормированном базисе (в декартовой системе координат). Но морально неподготовленного читателя даже с высшим математическим образованием может ждать маленький сюрприз: куда же направить вектор c = [a, b] — вверх или вниз? Вопрос чуть усложнится, если мы случайно вдруг взяли левую систему координат, например с недосыпу перепутав первые два базисных вектора: {ey, ex, ez}. Подумать над этим вопросом — задание на дом.
Конец второго урока. Продолжение следует.
