Математическое моделирование технологических объектов и систем глазами и руками студента
Исследование возможностей и границ применения научных технологий и программного обеспечения как в привычной области работы, так и в новых сферах — это один из ключевых приоритетов современной индустрии. Мы продолжаем серию статей о математическом моделировании, раскрывая еще одно направление применения программного обеспечения REPEAT.
Сегодня перед вами результат проекта «Школа Моделирования» — 1D-модель системы подвески автомобиля. Автор статьи, студент РГУ им. Косыгина — Алексей, который работал над этим проектом, используя наши инструменты и технологии, что стало хорошим тестом для их универсальности и гибкости применения.
Ссылка на телеграм-канал REPEAT: https://t.me/repeatlab
Разработка 1D-модели системы подвески автомобиля
В статье представлена разработанная на платформе REPEAT модель системы подвески автомобиля.
Описание системы
Система подвески автомобиля должна обеспечивать комфортную езду при движении по дороге с неровностями, но, если возникнут нежелательные помехи, необходимо, чтобы система как можно быстрее стабилизировалась.
Для упрощения схемы подвески автомобиля смоделируем 2 массы и 2 комплекта пружин и амортизаторов, и проанализируем ¼ часть подвески автомобиля.
Рисунок 1 — Расчётная схема системы подвески (правая часть рисунка — включает воздействие сил)
Рассмотрим колебания колесной машины в продольно-вертикальной плоскости. Модель включает подрессоренную массу m1, и неподрессоренную массу m2.
Подрессоренная масса — масса, включающая массу рамы или кузова и остальных частей конструкции (кузовные элементы, двигатель), вес которых передается на упругие элементы подвески.
Неподрессоренная масса — масса, включающая массу колёс, массу самой подвески и остальных частей системы подвески (шин, элементов трансмиссии и тормозной системы, и т.п.), отделённых подвеской от рамы либо кузова.
На подрессоренные части движущегося автомобиля наложены связи, вследствие чего колебания по отношению продольной оси в значительной мере компенсируются направляющими устройствами подвески. В реальных условиях они являются несущественными и появляются в большой мере при торможении, чем при движении по неровностям опорной поверхности. Демпфирующие устройства сводят к минимуму угловые колебания относительно вертикальной оси (рыскание) и линейные колебания относительно поперечной оси, которые могут быть компенсированы за счет боковой податливости и бокового проскальзывания шин.
Неподрессоренные массы совершают линейные вертикальные колебания. При зависимой подвеске колес в отдельных случаях необходимо учитывать поперечно-угловые колебания неподрессоренных масс. Продольно-угловые колебания подрессоренных частей автомобиля, называемые галопированием, наиболее неприятны для человека. Большинство реальных систем подрессоривания симметричны относительно продольной оси в этом случае продольно-угловые колебания станут независимыми от поперечно-угловых и наоборот, а это значит, что их можно исследовать раздельно друг от друга [1].
Математическая модель системы подвески автомобиля
Начнем с того, что введем в нашу систему силы, основанные на ее элементах, они отражены на рисунке 1.
Силу, действующую на пружину, можно выразить как S. Она пропорциональна смещению — чем больше деформация, тем больше сила, что является справедливым закону Гука. Значение вектора S можно представить с помощью следующего уравнения:
где k –коэффициент упругости, а Δ — деформация пружины (линейное смещение).
Силу, действующую от демпфера, можно показать как G. Она пропорциональна скорости деформации и может быть представлена следующим уравнением:
где c — коэффициент демпфирования и u — скорость массы.
Для представления движения в системе будем считать, что F представляет собой силы, действующие на систему x1 и x2 представляют смещение масс m1 и m2 соответственно, а w— возмущение (например, неровность на дороге).
Уравнения движения:
Уравнения пружины:
Уравнения демпфера:
Для первого этапа моделирования достаточным будет построить модель движения первой подрессоренной массы m1 системы пружина-демпфер-масса по уравнению движения:
Процесс моделирования
Для моделирования пружинной системы демпфер-массы нам понадобятся:
сумматор (так как все значения в круглых скобках суммируются);
блок деления (для получения значения ускорения массы m1);
2 интегральных блока (для получения скорости и смещения массы);
2 блока усиления (умножить последовательно на значения k1 и c1, чтобы получить значения для блока сумматора обратно);
управляющая сила F (в нашем случае константа).
Рисунок 2 — Расчётная схема пружинной системы демпфер-масса в REPEAT
Теперь перейдём к первому эксперименту со следующими параметрами:
Коэффициент упругости k1=600 Н/м;
Коэффициент демпфирования c1=14 Н·с/м;
Подрессоренная масса m1=650 кг.
Рисунок 3 — Реакция системы «пружина-демпфер-масса»
Во всех графиках по оси X определяется время в секундах, по оси Y определяется смещение в метрах.
График показывает результирующее поведение смещения массы. Эта система стабилизируется со временем, но медленно и не до состояния равновесия в течении 100 секунд. Наличие такой подвески для нашего автомобиля привело бы к длинным колебаниям, которые, вероятно, заставят людей плохо себя чувствовать во время путешествий. Можно поэкспериментировать со значениями параметров, чтобы увидеть, как система пружина-демпфер-масса реагирует на различные значения. Ниже предсавленно несколько кратких примеров:
Рисунок 4а — Увеличение массы в два раза — вызывает более длительные колебания во времени (k1=600 Н/м, c1=14 Н·с/м, m1=1300 кг)
Рисунок 4 б — Увеличение массы в 4 раза больше массы -вызывает колебания, которые становятся еще продолжительнее во времени (k1=600 Н/м, c1=14 Н·с/м, m1=2600 кг)
Увеличение упругости k1 = 1200 Н/м приведет к более коротким по амплитуде колебаниям, но к более быстрому переходу в равновесие.
Рисунок 4в — Колебания с более жесткой пружиной (k1=1200 Н/м, c1=14 Н·с/м, m1=650 кг)
Увеличение коэффициента демпфирования = 28 Н·с/м приведет к большей стабильности.
Рисунок 5а — Колебания при различных значениях коэффициента демпфирования (k1=300 Н/м, c1=28 Н·с/м, m1=650 кг)
Рисунок 5 б — Колебания при различных значениях коэффициентах демпфирования (k1=300 Н/м, c1=70 Н·с/м, m1=650 кг)
Путём проведения экспериментов нам удалось определить динамику работы системы, более приближённую к физическим. В последнем графике присутствуют длительные колебания, но динамика перемещения массы, а фактически это колебания, которые чувствует пассажир, имеет затухающий характер и на 90 секунде практически приходит в равновесие. Настраивать модель можно и дальше, путём подбора коэффициентов, но наша цель показать больше возможностей работ с устранением колебаний. Так как целью данной работы является снижение вибраций в автомобиле для обеспечения комфорта пассажиров.
Расширение системы
Мы можем расширить нашу систему, чтобы посмотреть на изменение перемещений масс m1 и m2, используя следующие уравнения:
Ниже представлена пошаговая доработка системы:
Рисунок 6а — Схема модели подвески — первый шаг (уравнение 8)
Рисунок 6 б — Схема модели подвески — первый шаг (уравнение 9)
Рисунок 7 — Схема модели подвески — первое уравнение без составляющей управляющей силы F
Рисунок 8 — Схема модели подвески — второе уравнение без составляющей управляющей силы F и возмущения w
Затем добавим управляющую силу F в качестве константы (которая будет имитировать шаг в одну секунду) со значением 1Н и возмущение w со значением 0,1 м — имитация неровности на дороге (возмущение).
Рисунок 9 — Общая схема модели подвески с задержкой по возмущению
Параметры системы, следующие
Итак, подвеска автомобиля, предложенная на рисунке 1, была показано на рисунке 9 и реализована в REPEAT. Данная система с открытым контуром и не имеет обратной связи. В модели, имеется отклик системы на единичный шаг управляющей силы F и возмущающее воздействие w с шагом в единицу. Возмущающее воздействие может представлять собой выезд автомобиля из выбоины.
Далее мы будем анализировать один график, на котором по оси x — время, по оси y — разница перемещений масс (x1-x2). Данный график получен как выходная величина блока сумматор, он обведён контуром зеленого цвета на рисунке 9.
Если рассматривать только влияние управляющей силы F, достаточно установить возмущающее воздействие w=0. Таким образом, можно наблюдать следующий отклик системы:
Рисунок 10а — Результат работы подвески без возмущения
Если рассматривать только возмущающее воздействие, без влияния управляющей силы F, достаточно установить F=0. Таким образом, можно наблюдать следующий отклик системы:
Рисунок 10 б — Результат работы подвески без влияния управляющей силы
Из графика видно, что для единичного шага приложенной силы, система имеет недостаточное демпфирование. Максимальное значение составляет около 0,072 м, а время установления — 20 с. Из этого графика можно сказать, что поездка на машине не будет комфортной. Чтобы улучшить впечатления от поездки для водителя и его пассажиров, простым и надёжным решением будет внедрение в систему контроллера, который бы мог стабилизировать работу подвески. В случае работы с REPEAT, уже есть готовое решение и это блок «ПИД-регулятор».
Настройка регулятора для управления вибрациями системы подвески автомобиля
Приведенная выше модель подвески автомобиля условно простой конструкции масса-пружина-демпфер. Но мир не стоит на месте, и современная промышленность требует улучшения ходовых качеств автомобиля и комфорта пассажиров. Пружина и демпфер действительно поглощают излишние колебания, но что, если мы попробуем в соответствии с тенденциями попробовать внедрить ещё один элемент — регулятор, который будет помогать механической системе поглощать колебания ещё лучше и быстрее. Как если бы мы внедрили в подвеску гидравлическую систему, управляемую контроллером с обратной связью.
Регулятор — это устройство, которое может быть в виде аналоговой схемы, микросхемы или компьютера, контролирующее и физически изменяющее условия работы данной динамической системы.
Существуют различные алгоритмы управления, которые используется в подобных задачах, например адаптивное управление, LQG, нелинейное управление, H на бесконечности, П, ПИ и ПИД регулирование.
П, ПИ, ПИД-регуляторы широко используется инженерами, потому что они просты в понимании и учитывают историю системы, а также предвидят ее поведение в будущем. Но не будем останавливаться и повторяться, так как уже написано немало статей по этой теме, а просто приведём здесь статьи для ознакомления:
В данной работе мы представим простой, но универсальный механизм обратной связи, на примере пропорционально-интегрально-дифференцирующего (ПИД) регулятора.
Функцию управления ПИД-регулятор можно представить следующим образом:
где u (t) — управляющий сигнал, e (t) значение ошибки, и Kp, K1, Kn — коэффициенты усиления для пропорциональной, интегрирующей и дифференцирующей составляющих регулятора соответственно. Кроме того, значение ошибки вычисляется следующим образом:
где r (t) желаемая заданная точка процесса, а y (t) переменная процесса (в нашем случае разность между перемещениями двух масс).
Итак, встроим регулятор в нашу схему с обратной связью.
Рисунок 11а — Схема модели подвески с обратной связью и регулятором
Рисунок 11 б — Свойства ПИД-регулятора
При настройке ПИД-регулятора, как блока, оказалось достаточным изменение постоянных пропорционального и дифференцирующего звена, поэтому фактически у нас получился ПД-регулятор.
Рисунок 12 — Отклики модели с ПИД-регулятором
На рисунке 12 видно, что люди, сидящие в автомобиле, ощущают незначительные колебания в течении 6 секунд (на 5 секунде колебания составляют уже меньше 1 мм). ПИД-регулятор позволяет значительно улучшить эксплуатационные характеристики системы подвески автомобиля.
Сравнение результатов моделирования:
Подводя итог, в данной работе показана модель ¼ системы подвески автомобиля. Мы смоделировали простую подвеску, чтобы посмотреть, как она себя ведет в разомкнутом контуре, без обратной связи. Затем, мы увеличили сложность нашей системы, чтобы смоделировать взаимосвязь между силой управления, массами системы подвески и соответственно коэффициентами жесткости и демпфера. Из этого мы сделали вывод, что для стабилизации системы необходимо внедрить ПИД-регулятор. Он сделал автомобиль более стабильным, но все еще есть место для лучшей настройки, чтобы получить еще более комфортную и стабильную езду для наших пассажиров.
Список источников
Тарнопольская Т.И. Математическая модель автомобиля с упругими связями // Научные проблемы водного транспорта. 2007. №22. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/matematicheskoya-model-avtomobilya-s-uprugimi-svyazyami (дата обращения: 22.05.2024).
Karam, Z. A., Awad, O. A. «Design of Active Fractional PID Controller Based on Whale’s Optimization Algorithm for Stabilizing a Quarter Vehicle Suspension System», Periodica Polytechnica Electrical Engineering and Computer Science, 64(3), pp. 247–263, 2020. https://doi.org/10.3311/PPee.14904
Gaur S., Jain S. Vibration control of bus suspension system using PI and PID controller //International Journal of Advances in Engineering Sciences. — 2013. — Т. 3. — №. 3. — С. 94–99.
