Математические бланки // Часть 2: философия26.05.2024 22:15

Мы продолжаем работать над проблемой математических бланков, описанной в первой заметке этой серии. Первая же попытка создания сложного математического объекта из более простых ставит перед нами трудные вопросы из области философии математики.

Нам придётся разобраться в родстве следующих вещей: человеческого мозга, математики, компьютера и ИИ. Человеческий мозг является предтечей всего остального из этого списка, но что именно наследуется при этом? Как поступили наследники с доставшимся богатством? И как при раздаче наследства была обделена математика?

Дисклеймер

Сие написано по результатам комментариев к первой статье и обсуждений в оффлайне. Некоторые участники выражали сомнение, можно ли декомпозировать тот или иной объект или, тем более, вообще любые. Поясним: декомпозиция упоминалась исключительно с целью демонстрации двух вещей: бланков и нуль-системы.

Вся остальная работа велась не через анализ, а через синтез, т.е. нужные объекты не разбивались на части, а конструировались с нуля. Если вы создали объект, у вас все права на него, и полная уверенность в его структуре. Если же вы пытаетесь разобрать существующий объект, то это всего лишь предположение о том, как он был создан.

Программная нотация

Отдельные аспекты материала не получается выразить иначе, чем при помощи языка программирования. Мы будем использовать некоторый упрощённый и обобщённый синтаксис, достаточный для передачи нужных понятий.

Мы уже использовали символ $\underline{\alpha}$ и кружочек (примитив) для обозначения нуль-системы. Теперь введём для неё следующее программное определение, которое связывает имя empty с пустой внутренней структурой:

empty
{
}

Проблема экземпляров

Напомним, чем закончилась первая заметка: мы начинаем с нуль-системы $\underline{\alpha}$ и собираемся конструировать более сложные объекты.

ВАЖНО: Мы действуем в рамках соглашения, что никакие другие объекты ещё не существуют до тех пор, пока мы их явно не построим из более простых понятий. Отсюда, что мы можем сказать про самый первый объект после $\underline{\alpha}$ ? То, что для его построения есть единственный элемент — сама нуль-система: прочие объекты ещё не были созданы.

Чтобы построить сложный объект из элементов $\underline{\alpha}$ , их должно быть более одной: стало быть, минимально две. Эта мысль выглядит довольно естественно, как и графическое обозначение двух экземпляров $\underline{\alpha}$ :

Два экземпляра

Два экземпляра $\underline{\alpha}$

Но как только мы набрали элементы для первого шага конструирования, математика опускает перед нами заслон, отвергающий наши намерения. Это потому, что в математике отсутствует слово ЭКЗЕМПЛЯР. Действительно, любой точно определённый математический объект существует в единственном числе. Есть только одно-единственное число 2, единственное $\pi$ , единственное и любое другое число, и так далее.

Чтобы понять, откуда происходит этот барьер, надо записать нашу картинку в программном виде. Понятно, что два раза записать одно и то же определение не вариант. Даже если игнорировать ошибку языка, ни одно, ни два определения не создают экземпляры empty. Для их создания надо использовать оператор new():

empty x_1 = new();
empty x_2 = new();

А что делает этот оператор? Правильно, он ВЫДЕЛЯЕТ ПАМЯТЬ. Иными словами, как только появляется слово ЭКЗЕМПЛЯР, автоматически подразумевается, что он находится в некоторой памяти. Но основания математики не знают никакой памяти, это и является фундаментальной причиной, по которой в математике нет экземпляров.

Так что, попытка провалилась? Нет. Просто первый шаг оказался ГОРАЗДО длиннее, и потребовал глубокого погружения в философию. В начале работы была куплена огромная маркерная доска, и картинка с кружочками появилась на ней очень быстро. Но прежде, чем проблема с экземплярами была сначала осмыслена и затем решена, прошло много лет. И теперь, по прошествии этого времени, результат можно изложить в виде короткой заметки.

Дело о наследстве: память

Чтобы подступиться к проблеме экземпляров, надо рассмотреть эволюцию того, над чем трудились сначала философы, затем математики, затем инженеры и далее программисты.

Сперва в распоряжении ранних мыслителей был только собственный разум. Затем были созданы несколько артефактов: математика — на основе разума, компьютер — на основе математики, и нейросеть — на основе компьютера.

Данный список отражает только хронологию появления артефактов, а что касается наследования идей, методов и ресурсов, то его схема более сложная:

Бросается в глаза, что три из четырёх артефактов обладают памятью: мозг, компьютер и нейросеть. И не просто обладают, а построены, основаны на этой памяти.

ПАМЯТЬ
Мозг	Компьютер	Нейросеть
Нейроны	Оперативная память (RAM)	RAM → эмуляция нейронов

Понятно, почему так: компьютер наследует от мозга идею хранения и обработки информации. Нейросеть, тем более, моделирует мозг, поэтому обязана иметь память и очень кстати, что компьютер ей её предоставляет. Можно сказать, что стрелочка, идущая от мозга, несёт с собой идею памяти.

Тогда как же так получилось, что эта стрелочка не принесла её в математику?

Ответ скептика предсказуем: раз в математике её нет, значит, она там не нужна — вот и весь сказ. Дескать, в математике уже есть всё, что надо. Однако с этим ответом нельзя согласиться. Проблема бланков показывает, что есть не всё, что надо — структура основных объектов не предъявлена, а отсутствие памяти и вовсе делает эту структуру невозможной.

По этой причине, нам придётся выступить в защиту математики на судебном процессе, посвященному её наследству. И мы начнём с сенсации. Защита утверждает, что математика всё же получила память в наследство от мозга, и древние знали об этом. Однако впоследствии, по мере развития математики, это наследство было сначала изолировано от математики, а потом и вовсе отставлено в сторону.

ЗАЩИТА ВЫЗЫВАЕТ ПЛАТОНА

Согласно теории Платона, идеи (понятия, эйдосы) располагаются в идеальном мире. И конечно, в этом мире находятся также все числа и прочие математические объекты, которые не принадлежат миру материальному.

Существование математических объектов в идеальном мире не было опровергнуто, и до сих пор это положение является основой философии математики. Однако со времён Платона не было дано детального описания этого идеального мира, т.е. из чего он состоит, по каким правилам функционирует и т.д. Математика с тех пор очень активно развивалась, а учение об идеальном мире не сделало главного: МОДЕЛЬ этого мира не была описана. Вследствие этого, понятие об идеальном мире всё больше отдалялось от практической математики, и сейчас оно активно обсуждается лишь небольшими группами энтузиастов, вроде Московского семинара по философии математики.

Давайте посмотрим на следующий паттерн:

если идея находится в мозге человека, то это потому, что у него есть память
если программа находится в компьютере, то это потому, что у него есть память
если знания находятся в системе ИИ, то это потому, что у неё есть память

Защита утверждает, что если число, или треугольник, или любая идея, НАХОДИТСЯ В идеальном мире, это неизбежно означает, что у идеального мира также ДОЛЖНА быть своя память. Защита констатирует, что отношение «находиться в» неизбежно присуще любой памяти и является характерным признаком наличия последней.

Таким образом, согласно линии защиты, математика, помещённая Платоном в идеальный мир, в полной мере получила право на собственную память. К несчастью, ни Платон, ни его последователи не описали идеальный мир формальным образом с самого начала. А вслед за этим последовали века бурного развития математики, когда ставились и решались бесчисленные трудные, интересные и важные проблемы. Свойства идеального мира не были востребованы для решения этих проблем, и постепенно увеличивалась дистанция между двумя дискурсами: математическим и философским, они всё более становились самостоятельными, отдельными дисциплинами.

Так математика была, по сути, лишена законного наследства. Долгое время это было не критично, но развитие математики (проблема бланков) в конце концов подошло к тому, что это наследство оказалось востребовано. Таким образом, защита требует открытия наследственного дела. Математика должна получить то, что по праву её. Чтобы вернуть идеальный мир математике, и провести мостик между ними, необходима МОДЕЛЬ идеального мира.

Дело о наследстве: время

Если бы мозг мог только лишь хранить информацию и всё, это была бы книжка. Способность у книжки к мышлению примерно такова, что и у камня — ноль: это статичные объекты. Тогда как мышление это процесс, происходящий во времени. Чтобы сделать это возможным, мозг использует электрические (нервные) импульсы, которые отвечают за передачу информации. В мышлении эта активность принимает форму действий над информацией — чтение, изменение, запись и стирание.

В этом задействовано электричество, но импульс — это не просто напряжение, а меняющееся напряжение. Заряд статичен, но для его изменения нужно ВРЕМЯ. Аналогично, в компьютере за действия над информацией отвечает процессор, но он также работает на электрических импульсах. Далее, при помощи процессора и нейросеть совершает действия.

Мы уже видели этот паттерн, когда память наследовалась от одного артефакта к другому. Также вместе с памятью наследуется и способность к обработке информации и совершению действий, необходимая как мозгу, так и компьютеру и ИИ.

ВРЕМЯ
Мозг	Компьютер	Нейросеть
Импульсы	Процессор (CPU)	CPU → эмуляция импульсов

Нужно выбрать термин, чтобы обозначать эту черту наших артефактов. Если с памятью всё просто, это простой и универсальный термин, то «способность совершать действия» это запретительно длинная фраза. Слово «импульсы» не подходит потому, что оно привязано к материальному миру, а в машине Тьюринга, например, никаких импульсов нет.

Условием совершения действий является наличие времени. Поэтому, после долгих поисков, решено было остановиться именно на термине ВРЕМЯ. Применительно к описываемой работе, этот термин будет пониматься вполне строго — как специфические части системы, предназначенные для совершения действий. В мозгу время это нервные импульсы, в ЭВМ процессор, а время ИИ — это тоже импульсы, но программные.

Деликатный вопрос стратегии

До того, как все философские вопросы были должным образом исследованы, содержание работы коммуницировалось как «добавить память и время в математику». Хотя, по сути, удалось отделаться испугом, общее впечатление, что математическая душа на эту идею реагирует примерно вот так:

Всё-таки тысячи лет дают о себе знать. Во времена Платона этот подход, вероятно, сработал бы, но сейчас математика уже устоялась, стала традиционной, и больше того, в не переносном смысле священной. И если ваши действия воспринимаются как грубое вмешательство, вы обречены: с таким же успехом можно пытаться «улучшить» богослужебные книги.

Углубление в философию и обращение к Платону помогло найти подход, к которому математики должны отнестись благосклонно, потому что это честный и общепринятый математический путь. Он выглядит так:

Предложить модель идеального мира
В рамках этой модели, построить с нуля нужные объекты
Показать эквивалентность этих объектов объектам «обычной» математики
Показать преимущества и новые возможности этого подхода

Все эти шаги являются полностью легальными. С точки зрения математики, мы имеем полное право предлагать модели и доказывать их эквивалентность чему-либо. Этот путь не является инвазивным в отношении традиционной математики, что является условием, что вас не убьют хотя бы выслушают.

Чтобы показать как преемственность, так и новизну шагов 1–4, весь подход и созданные в его рамках артефакты можно назвать термином НЕЙРОМАТЕМАТИКА. Префикс «нейро» означает расположение математических конструкций в контексте памяти и времени, подобно знаниям в нейросети.

От стратегии к тактике

Идея описать модель идеального мира лишь теоретически говорит о возможности решения проблемы экземпляров. Конкретный путь решения она не показывает. Следовательно, нам надо более детально исследовать существующие виды памяти, чтобы понять, каковы могут быть подходы к моделированию памяти идеального мира. Этому будет посвящена следующая заметка. В её конце мы узнаем, что будет, если несколько лет подряд смотреть на одну и ту же картинку на доске.