«Лучшая задача по математике для школьников, которую я встречал в своей жизни» (Алексей Савватеев)
Дано: Есть игрушечная кольцевая железная дорога, состоящая из 13 одинаковых элементов.
Вопрос: сколько еще таких элементов надо докупить, чтобы построить более длинную замкнутую, без пересечений, дорогу?
подсказка
Решение надо искать на комплексной плоскости.
еще подсказка
Корень 13 степени.
Решение и ответ под катом.
w= e^(2p/13)
Замкнутый контур выглядит так:
a0+a1w+a2w2+a3w3+a4w4+ a5w5+a6w6+a7w7+a8w8+a9w9+a10w10+a11w11+a12w12=0
Нам надо решить данное уравнение на уровне коэффициентов.
Здесь пахнет основной теоремой Гаусса:
Многочлен 1+x+x2+x3+x4+ x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12=0 — неприводим.
Следовательно, все «а» должны быть одинаковы.
Напрашивается ответ а=2, но если мы посчитаем суммарный угол, на который повернулся наш вектор, то он должен быть нечетным, поэтому а=3. Надо еще докупить 26 деталек.
Как же тогда будет выглядеть железная дорога?
ответ
Заменяем базовый строительный юнит на «троечку»: 
Получится «волнистая окружность».
Получится «волнистая окружность».
Оригинал: 
