Красота чисел. Антипростые числа
У числа 60 двенадцать делителей: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Все знают об удивительных свойствах простых чисел, которые делятся только на самих себя и на единицу. Эти числа исключительно полезны. Относительно большие простые числа (примерно от 10300) используются в криптографии с открытых ключом, в хеш-таблицах, для генерации псевдослучайных чисел и т.д. Кроме огромной пользы для человеческой цивилизации, эти особенные числа поразительно красивы:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199…
Все остальные натуральные числа больше единицы, которые не являются простыми, называются составными. У них несколько делителей. Так вот, среди составных чисел выделяется особая группа чисел, которые можно назвать «суперсоставными» или «антипростыми», потому что у них особенно много делителей. Такие числа всегда являются избыточными.
Избыточными называются положительное целое число N, у которого сумма собственных делителей (кроме N) превышает N.
Например, у числа 12 сразу шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Это избыточное число, потому что
1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 (16 > 12).
Неудивительно, что именно число 12 используется в огромном количестве практических областей, начиная с религии: 12 богов в греческом пантеоне и столько же в пантеоне скандинавских богов, не считая Одина, 12 учеников Христа, 12 ступеней колеса буддистской сансары, 12 имамов в исламе и т.д. Двенадцатиричная система счисления — одна из самых удобных на практике, поэтому её используют в календаре, чтобы разделить год на 12 месяцев и 4 времени года, а также чтобы разделить день и ночь на 12 часов. Сутки составляют 2 круга часовой стрелки по кругу, разделённому на 12 отрезков; кстати, количество в 60 минут тоже выбрано неспроста — это ещё одно антипростое число с большим количеством делителей.
Удобная двенадцатиричная система используется в нескольких денежных системах, в том числе в древнерусских княжествах (12 полушек = 1 алтын = 2 рязанки = 3 новгородки = 4 тверских деньги = 6 московок). Как видим, большое количество делителей является критически важным качеством в условиях, когда монеты из разных систем нужно свести к одному номиналу.
Большие избыточные числа полезны в других областях. К примеру, возьмём число 5040. Это в каком-то смысле уникальное число, вот первые из списка его делителей:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…
То есть число 5040 делится на все простые числа от 1 до 10. Другими словами, если мы возьмём группу из 5040 людей или предметов, то мы можем поделить её на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 или 10 равных групп. Это просто великолепное число. Вот полный список делителей 5040:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 56, 60, 63, 60, 72, 80, 84, 90, 105, 112, 120, 126, 140, 144, 168, 180, 210, 240, 252, 280, 315, 336, 360, 420, 504, 560, 630, 720, 840, 1008, 1260, 1680, 2520, 5040
Чёрт побери, да мы можем поделить это число практически на что угодно. У него 60 делителей!
5040 — идеальное число для урбанистики, политики, социологии и т.д. На это обратил внимание ещё афинский мыслитель Платон 2300 лет назад. В своём фундаментальном труде «Законы» Платон писал, что в идеальной аристократической республике должно быть 5040 граждан, потому что такое количество граждан можно разделить на любое количество равных групп до десяти, без исключения. Соответственно, в такой системе удобно планировать управленческую и представительскую иерархию.
Конечно, это идеализм и утопия, но использование числа 5040 в самом деле исключительно удобно. Если в городе 5040 жителей, то его удобно делить на равные районы, планировать определённое количество объектов обслуживания для равного количества граждан, выбирать представительные органы на голосовании.
Такие высокосоставные, крайне избыточные числа и называются «антипростыми». Если мы хотим дать чёткое определение, то можно сказать, что антипростое число — такое положительное целое число, у которого больше делителей, чем у любого целого числа меньше его.
По такому определению, самым маленьким антипростым числом кроме единицы будет 2 (два делителя), 4 (три делителя). Далее следуют:
6 (четыре делителя), 12 (шесть делителей), 24, 36, 48, 60 (количество минут в часе), 120, 180, 240, 360 (количество градусов в круге), 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, 10080, 15120, 20160, 25200, 27720, 45360, 50400
Именно эти числа удобно использовать в настольных играх с картами, фишками, деньгами и т.д. Например, они позволяют раздавать одинаковое количество карт, фишек, денег на разное количество игроков. По этой же причине их удобно использовать для составления классов школьников или студентов — например, чтобы разделить их на равное количество одинаковых групп для выполнения заданий. Для количества игроков в спортивной команде. Для количества команд в лиге. Для количество жителей в городе (о чём уже говорилось выше). Для административных единиц в городе, области, стране.
Как видно из примеров, многие из антипростых чисел уже де-факто используется в практических устройствах и системах счисления. Например, числа 60 и 360. Это было довольно предсказуемо, учитывая удобство наличия большого количества делителей.
О красоте антипростых чисел можно спорить. Если простые числа неоспоримо красивы, то антипростые числа, возможно, кому-то покажутся отвратительными. Но это поверхностное впечатление. Давайте посмотрим на них с другой стороны. Ведь фундаментом этих чисел являются простые числа. Именно из простых чисел, словно из строительных блоков, составлены составные числа, избыточные числа и венец творения — антипростые числа.
Основная теорема арифметики утверждает, что любое составное число можно представить как произведение нескольких простых множителей. Например,
30 = 2 × 3 × 5
550 = 2 × 52 × 11,
При этом составное число не будет делиться больше ни на какое другое простое число, кроме своих простых множителей. Антипростые числа по определению отличаются максимальным произведением степеней простых множителей, из которых они состоят.
5040 = 24 × 32 × 5 × 7
При этом их простые множители — это всегда последовательные простые числа. И степени в ряду простых множителей никогда не увеличиваются.
Так что в антипростых числах тоже есть своя особая красота.
