Книга «Теоретический минимум. Специальная теория относительности и классическая теория поля»
Привет, Хаброжители! Вы уже познакомились с классической и квантовой механикой? Настало время для нового погружения в глубины физики. Физик Леонард Сасскинд и консультант по обработке данных Арт Фридман знакомят читателей со специальной теорией относительности Эйнштейна и классической теорией поля Максвелла. Сасскинд и Фридман в своем фирменном стиле, с помощью математики, поучительных рисунков и юмора, проведут для нас экскурсию по волнам, силам и частицам, расскажут о специальной теории относительности и электромагнетизме. Яркие примеры и картины вымышленных миров превращают книгу в увлекательное путешествие по миру, который управляется законами специальной теории относительности. Все (или почти все) тайны волн, взаимодействий и частиц будут раскрыты. Книга обязательна к прочтению фанатам серии «Теоретический минимум» и всем, кто интересуется физикой. Фундаментальные принципы и калибровочная инвариантность
Арт: Почему все физики помешаны на фундаментальных принципах вроде наименьшего действия, близкодействия, лоренц-инвариантности, и… как ее там?
Ленни: Калибровочной инвариантности. Принципы помогают нам оценивать новые теории. Теория, в которой они нарушаются, скорее всего, неверная. Но, правда, иногда мы бываем
вынуждены пересмотреть вопрос о том, что считать фундаментальным.
Арт: Ладно, возьмем для примера движущийся железнодорожный вагон: он лоренц-инвариантный. Он идет по рельсам, значит, производит все необходимое действие (но и не более того). И он останавливается на каждой станции, значит, он пригородный — вот тебе и близкодействие.
Ленни: Фу!
Арт: И калибровочно инвариантный; если у него будет не тот калибр, он слетит с рельсов!
Ленни: Похоже, это ты слетел с рельсов. Давай-ка немного притормозим.
Допустим, физик-теоретик хочет построить теорию, чтобы объяснить какое-то только что открытое явление. От новой теории ждут, что она будет следовать определенным правилам или фундаментальным принципам. Есть четыре принципа, которым, по-видимому, удовлетворяют все законы физики. Вот они:
- Принцип действия.
- Близкодействие.
- Лоренц-инвариантность.
- Калибровочная инвариантность.
Этими принципами пронизана вся физика. Им соответствуют все известные теории, будь то общая теория относительности, квантовая электродинамика, стандартная модель элементарных
частиц или теория Янга — Миллса. Первые три принципа вам, должно быть, знакомы, но калибровочная инвариантность — нечто новое; мы с ней раньше не встречались. Главная цель этой лекции — познакомить вас с этой новой идеей. Мы начнем с того, что дадим краткое изложение сути всех четырех фундаментальных принципов.
7.1. Сводка фундаментальных принципов
Принцип действия
Первое правило заключается в том, что физические явления описываются принципом действия. Нам неизвестно никаких исключений из этого правила. Достаточно сказать, что сохранение
энергии выводится из принципа действия. То же самое относится к сохранению импульса и к связи между законами сохранения и симметриями в целом. Если вы просто запишете уравнения
движения, они могут выглядеть вполне разумно. Но если они не выводятся из принципа действия, мы не сможем гарантировать, что для этих уравнений будут соблюдаться законы сохранения энергии и импульса. В частности, закон сохранения энергии является следствием принципа действия, наряду с предположением, что все в мире инвариантно относительно изменения времени на фиксированную величину — преобразования, которое мы называем сдвигом во времени. Итак, вот наш первый принцип: ищите такое действие, чтобы результирующие уравнения движения описывали открытые в лаборатории явления. Мы уже познакомились с двумя видами действия. Это действие для движения частиц:
где L обозначает лагранжиан, и действие в теориях поля — это
В теориях поля L обозначает плотность лагранжиана. Слово плотность указывает на то, что величина интегрируется как по пространству, так и по времени. Мы уже видели, как уравнения Эйлера — Лагранжа описывают оба эти случая.
Близкодействие
Идея близкодействия означает, что события, происходящие в одном месте, воздействуют на условия только в непосредственно прилегающих областях пространства и времени. Если вы повлияете на систему в некоторой точке времени и пространства, то прямое воздействие на систему будет происходить только в непосредственной окрестности этой точки. Например,
если вы ударите по скрипичной струне в точке у ее конца, это воздействие сразу ощутит только ближайшая соседняя точка. Конечно, эта соседняя точка воздействует на точку, соседнюю с ней, и так далее по цепочке. Со временем воздействие передастся по всей длине струны. Но краткосрочный эффект локален.
Как гарантировать, что наша теория удовлетворяет принципу близкодействия? Это вновь обеспечивается благодаря действию. Пусть, например, мы имеем дело с частицей. В этом случае действие — это интеграл по времени (dt) вдоль ее траектории. Чтобы обеспечить соответствие принципу близкодействия, подынтегральное выражение — лагранжиан L — должно зависеть только от координат системы. Для частицы это компоненты ее положения и их первые производные по времени. Через производные по времени в игру включаются соседние временные точки. Ведь в конечном счете производные — это и есть то, что обеспечивает связь между близкими соседями. Производные высших порядков, однако, исключаются, потому что они «менее локальны», чем первые производные. Теория поля описывает поле в объеме пространства и времени. Действие — интеграл не только по времени, но и по пространству (d4x). В этом случае принцип близкодействия требует, чтобы лагранжиан зависел от поля ϕ и от его частных производных по Xμ, которые мы можем обозначить ϕμ. Этого достаточно, чтобы гарантировать, что объект прямо воздействует только на своих ближайших соседей.
Попробуйте представить себе мир, в котором, ткнув в одно место, получаешь мгновенный эффект в каком-то другом. В таком мире лагранжиан зависел бы не только от ближайших соседних точек, влияние которых определяется производными его составляющих, но и — более сложным образом — от других объектов, которые допускают «действие на расстоянии». Принцип близкодействия подобного не допускает.
Здесь стоит упомянуть о квантовой механике. Она выходит за рамки этой книги. Тем не менее многие читатели могут задумываться над вопросом о том, как принцип близкодействия работает в квантовой механике и совместим ли он с нею вообще. Дадим настолько ясный ответ, насколько это возможно: да.
Примером нарушения принципа близкодействия в квантовой механике часто ошибочно считают квантовую запутанность. Но запутанность — не то же, что дальнодействие. В нашей предыдущей книге «Квантовая механика» это объясняется во всех подробностях. Запутанность не означает, что вы можете посылать мгновенные сигналы из одного места в другое. Принцип
близкодействия фундаментален.
Лоренц-инвариантность
Теория должна быть лоренц-инвариантной. Другими словами, уравнения движения должны быть одними и теми же во всех системах отсчета. Мы уже видели, как это работает. Если сделать лагранжиан скалярным, это гарантирует, что наша теория лоренц-инвариантна:
L = Скаляр.
Лоренц-инвариантность включает в себя инвариантность и относительно поворотов в пространстве.
В общей теории относительности (в этой книге она не рассматривается) требуется инвариантность относительно произвольных преобразований координат, частным случаем которых являются преобразования Лоренца. Но и здесь принцип инвариантности сохраняется. Только вместо того чтобы лагранжиан L был скаляром, в общей теории относительности
он должен быть скалярной плотностью.
Калибровочная инвариантность
Это последнее требование немного загадочное, и чтобы в полной мере его понять, нужно некоторое время. Если кратко, то калибровочная инвариантность относится к изменениям, которым можно подвергнуть векторный потенциал, не меняя физической стороны вопроса. Остаток этой лекции мы посвятим ей.
7.2. Калибровочная инвариантность
Инвариантность, называемая еще симметрией, — это изменениев системе, которое не влияет на действие или уравнения движения. Рассмотрим несколько известных примеров.
7.2.1. Примеры симметрии
Уравнение F=ma, возможно, самое известное уравнение движения. Его вид остается полностью неизменным при переносе начала координат из одной точки в другую. То же самое происходит и при поворотах системы координат. Этот закон движения инвариантен относительно сдвигов и поворотов. В качестве еще одного примера рассмотрим нашу основную теорию поля из лекции 4. Лагранжиан (4.7) для этой теории выглядел так:
что можно также записать в виде
Будем пока рассматривать упрощенную версию, где функция V (ϕ) приравнена нулю, а все пространственные координаты сведены к единственной переменной x:
Вот выведенные нами из этого лагранжиана уравнения движения (4.10), приведенные здесь в немного упрощенном виде:
Я пренебрег множителем
Чтобы открыть новую инвариантность, мы попытаемся найти в этом уравнении то, что можно изменить, не меняя при этом его содержания или смысла. Допустим, мы добавили константу
к основному полю:
Другими словами, возьмем поле ϕ, которое уже является решением уравнения движения, и просто добавим к нему постоянную. Удовлетворяет ли по-прежнему полученный результат
уравнению движения? Разумеется да, потому что производные постоянной равны нулю. Если мы знаем, что ϕ удовлетворяет уравнению движения, то (ϕ + c) тоже ему удовлетворяет:
Это можно видеть и из лагранжиана
в котором я вновь для простоты опустил множитель ½. Что произойдет с этим лагранжианом (а следовательно, и с действием), если мы добавим к ϕ постоянную? Ничего! Производная постоянной равна нулю. Если у нас есть некоторое определенное действие и конфигурация поля, которая минимизирует это действие, то добавление к полю постоянной не вызовет никаких изменений; действие по-прежнему останется минимальным. Другими словами, добавление постоянной к такому полю является симметрией, или инвариантностью. Это несколько иной вид инвариантности в сравнении с теми, что встречались нам раньше, но это все равно инвариантность.
Вспомним теперь о немного более сложной версии этой теории, где член V (ϕ) не равен нулю. В лекции 4 мы рассматривали случай
для которого производная по ϕ равна
С этими изменениями лагранжиан приобретает вид
а уравнения движения
Что произойдет с уравнением (7.3), если добавить к ϕ постоянную? Если ϕ — решение уравнения, будет ли решением и (ϕ + c)? Нет, не будет. В первых двух членах ничего не изменилось. Но добавление постоянной к ϕ явным образом изменяет третий член. А как обстоят дела с лагранжианом (7.2)? Добавление постоянной к ϕ никак не влияет на члены в квадратных скобках. Но оно влияет на самый правый член: ϕ2 — не то же самое, что (ϕ + c)2. С учетом дополнительного члена в лагранжиане
мы должны заключить, что добавление к ϕ постоянной — это не инвариантность.
» Более подробно с книгой можно ознакомиться на сайте издательства
» Оглавление
» Отрывок
Для Хаброжителей скидка 25% по купону — Science
По факту оплаты бумажной версии книги на e-mail высылается электронная книга.
