Футбольный мяч и фуллерены19.01.2017 22:03

Одним из красивейших математических результатов можно смело считать теорему Эйлера, которая впервые появилась в журнале Петербургской Академии наук в работах Леонарда Эйлера «Элементы учения о телах» и «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями».

Теорема Эйлера. Пусть ${\rm B}$ — число вершин выпуклого многогранника, ${\rm P}$ — число его ребер и $\Gamma$ — число граней. Тогда верно равенство

${\rm B} - {\rm P} + \Gamma = 2.$

Число $\chi = {\rm B} - {\rm P} + \Gamma$ называется эйлеровой характеристикой многогранника. Легко вычислить эйлерову характеристику для некоторых знакомых нам многогранников.

Многогранник	${\rm B}$	${\rm P}$	$\Gamma$	$\chi$
Тетраэдр	4	6	4	2
Куб	8	12	6	2
Октаэдр	6	12	8	2

Доказательство теоремы Эйлера может быть найдено здесь.

Давайте воспользуемся теоремой Эйлера для установления некоторых интересных фактов. Посмотрите на изображение футбольного мяча.

Вопрос: сколько нужно взять пятиугольников, чтобы сшить мяч? Пусть $x$ — количество шестиугольников, а $y$ — количество пятиугольников. Давайте применим теорему Эйлера к нашему футбольному мячу:

${\rm B} - {\rm P} + \Gamma = 2,$

где ${\rm B} = \frac{6x + 5y}{3}$ , ${\rm P} = \frac{6x+5y}{2}$ , а $\Gamma = x+y$ . Формулы для количества вершин, ребер и граней легко получаются из наблюдения, что каждая вершина попадает на три грани, а по каждому ребру пересекаются только две грани. Подставив значения в формулу, вы получите ответ: $y=12$

. Переменная $x$

исключается из уравнения, т.е. количество шестиугольников может быть каким угодно. На следующей картинке изображен мяч, сшитый из одних только пятиугольников. Сколько их?

Этот многогранник называется додекаэдром и является одним из пяти правильных многогранников.

Давайте рассмотрим другой сюжет. Фуллерены — молекулярные соединения, принадлежащие классу аллотропных форм углерода и представляющие собой выпуклые замкнутые многогранники, составленные из чётного числа трёхкоординированных атомов углерода. Своим названием фуллерены обязаны инженеру и архитектору Ричарду Бакминстеру Фуллеру, чьи геодезические конструкции построены по этому принципу. Первоначально данный класс соединений был ограничен лишь структурами, включающими только пятиугольные и шестиугольные грани.

И наконец, давайте посмотрим на следующую картинку.

Ничего особенного — всего лишь купол, собранный из шестиугольников. А теперь еще раз помедитируйте над формулой Эйлера и вперед искать пятиугольники.

Этот и многие другие математические сюжеты смотрите в замечательных лекциях Алексея Савватеева или в его книге «Математика для гуманитариев».

Комментарии (2)

Zenitchik

19 января 2017 в 21:38

0

↑

↓

Это для тех, кому лень заглянуть в Википедию?
- dfedchenko
  
  19 января 2017 в 21:58
  
  +1
  
  ↑
  
  ↓
  
  Ну конечно.