Еще раз про расслоение Хопфа — новый сайт
В данной статье представляю читателям мой новый сайт и интерактивную веб-программу на нем.
Примерно полтора месяца тому назад я опубликовал на хабре статью. рассказывающую о расслоении Хопфа и его визуализации на экране компьютера. Напомню, что расслоение Хопфа позволяет, в некотором смысле, визуализировать трехмерную сферу при помощи обычных окружностей называемых «окружностями Хопфа».
Вскоре после публикации этой статьи я обнаружил в интернете материал, в котором вместо окружностей Хопфа использовались прямые линии. Весь этот материал представляет собой всего один рисунок (даже не скриншот программы), на котором можно увидеть двойственность между окружностями и прямыми. На сайте можно увидеть данный рисунок и ссылку на этот материал. Никаких других материалов, сайтов или визуализаций на эту тему найти больше не удалось.
Поэтому я решил дополнить свою программу визулизации расслоения Хопфа новыми возможностями связанными с заменой окружностей Хопфа на прямые линии (и не только). Сразу скажу, что при использовании прямых в этом расслоении получается не тор, а гиперболоид. Это само по себе, на мой взгляд, является весьма нетривиальным фактом.
Обращу внимание еще на один интересный момент. На всех сайтах и статьях, которые мне удалось найти, программа визуализации расслоения Хопфа создается хотя и с привлечением комплексного пространства и сферы Римана, но без явного использования элементов квантовой механики, понятия спина электрона и квантовых вращений. Обычно для этой визуализации используются кватернионы. Но кватернионы при их практическом применении требуют хороших соответствующих знаний и навыков.
Моя программа визуализации не использует кватернионы. Но она полностью, в самом прямом смысле, основана на квантовых вращениях. Квантовые вращения не так сложны, какими они кажутся на первый взгляд. Для их понимания требуется всего лишь знание комплексных чисел в объеме средней школы и некоторое представление (небольшое) о линейной алгебре.
Для лучшего понимания использованых методов при создании этой программы мной было сделано видео, в котором я попытался рассказать не только про интерфейс программы, но и про идеи, основывываясь на которых ее создавал.
К теме визуализации расслоения Хопфа с испольхзованием квантовых вращений примыкают две серии моих статей шесть статей и еще четыре статьи.
Про квантовые вращения и стереографическую проекцию, на которых основывается визуализация расслоения Хопфа, в них рассказывается очень подробно.
