Экскурсия в подвал
Математика суть красота, зеркало мысли человека. Грядущие открытия невообразимо прекрасны. Но уже сейчас чтобы добраться до вершины наблюдения известных красот нужно потратить много усилий, и при этом может не получиться. А если получится, то беда придёт с другой стороны — новые вопросы будут подвергать сомнению любые прежние договорённости, не стесняясь. Станет ясно, что по этим обширным загадочным местам бродить — не перебродить. Предлагаю, наоборот, посетить подвал математики — куда любителю красоты вход заказан. Причина проста: там всё очевидно, слишком очевидно.
Тот кто послал тебя туда не был к тебе добр. (Этот абзац — лирическое отступление)
Число, множество, аксиома — всё это базовые, простейшие понятия математики. А из подвала математики это всё выглядит сложными, сложноустроенными конструкциями. С одной стороны, может возникнуть впечатление, что это от искусственного переусложнения. С другой стороны, знать, что существуют вещи ещё более простые, и как именно они существуют, знать о более глубоком фундаменте, очень полезно. Природа не боится пользоваться этим уровнем, и человеку не стоит бояться.
При входе в подвал можно сразу обратить внимание на скучный пол. Это — понятие «равенство». Оно говорит всего лишь о разделении двух уровней: уровня объектов и уровня их имён. Об одном объекте можно говорить как о двух, ведь сами имена различаются. Объект один, а на словах два — прям достижение. Кроме факта равенства или неравенства об объектах, соответствующих разным именам, ничего не вывести, чистая скука. Ну, для разнообразия можно ещё и не знать, как оно.
Под полом равенства лежит сплошной бетон абсолюта — объект всего один, и равен он себе или не равен — не важно.
Первое что лежит на полу и подпирает всё остальное это вполне себе не скучный предмет. Самый первоосновный принцип, дедукция. Внутри него к обыкновенному равенству добавлено различие сторон связи между объектами, два объекта характеризуются как общий и частный. Общий объект может не сохранять характеристики частного, зато частный всегда сохраняет характеристики общего, поэтому в специальном смысле они остаются равны. Пример: если мы начертили круг, а внутри ещё один круг, то все точки внутреннего круга лежат внутри внешнего, по-другому никак. Мысленный переход от внешнего круга ко внутреннему — это добавление фильтра на отбор точек. А уменьшение выбора не может добавлять выбора — в этом вся суть дедукции.
Но иллюстрировать связь можно проще. Две точки, а между ними стрелка связи, от общего к частному. Как поток чего-то абстрактного, но важного. Наследие свойств.
Скучное равенство выполняет тривиальное правило, что вывести равенство отдельных двух объектов можно из двух равенств — каждого из этой пары и третьего. Другими словами, равные равным равны. Практического смысла у этого скучного правила нет, потому что схема, в которой на объект указывают несколько имён статична: что установлено равным, то и равно.
Но с направленным равенством появляется разнообразие. Если мы возьмём две связи с одним объектом, то связь у парных к нему объектов между собой может быть, а может и не быть — причём, зависимость от направления исходных связей такая, что в некоторых комбинациях допускается оба варианта существования, а в некоторых вариант может быть только один. Говоря конкретнее, односторонняя связь обладает свойством трансляции — когда при связи 
и связи 
обязательно есть связь 
. А всё остальное может быть, а может не быть.
Трансляция выглядит так: для каждого объекта все источники входящей связи имеют связь ко всем получателям исходящей связи. Исчерпывающее определение.
Можно допустить неизвестность. Каждую связь кроме вариантов существования и несуществования можно считать неизвестной — и тогда общее количество вариантов возрастает. Для односторонней связи, которая из-за двух вариантов существования для каждого направления в целом имеет четыре вида, неизвестность не просто добавляет для каждого из них по два варианта состояния, возможно/не возможно. Каждая комбинация неизвестности это отдельный вариант. Для четырёх полностью известных состояний вариантов неизвестного состояния 16, но вариант, в котором невозможен ни один из четырёх известных видов, исключается. Так что, 15 видов односторонней связи объектов, когда допустима неизвестность. Примеры: «связь полностью неизвестна», «связь однонаправлена, но в какую сторону неизвестно», «объекты либо равны, либо не равны — то есть, без однонаправленности», «связь может быть любая, кроме однонаправленной от второго к первому», «связь любая, кроме равенства».
Расстановка связей можно описать как использование трёх уровней: уровень объектов с чёткими связями, уровень имён этих объектов, без связей между собой, и промежуточный уровень, где один объект может быть представлен несколькими элементами, но при этом они не являются именами, а связи между элементами могут быть неизвестными. Посреднический уровень при прояснении связей может быть схлопнут, и тогда станет полностью аналогичен уровню объектов. Или наоборот, уровень может быть расширен, чтобы каждому имени в соответствие встал отдельный элемент. В полностью известном состоянии используется только два уровня.
Если однонаправленная связь выстроена в цепочку и при следующем изменении добавляется связь от конечного объекта к начальному, то все объекты такой цепочки становятся одним объектом, неизвестность обратной связи исчезает. На этом этапе выбор прост: либо есть замыкание, и тогда все объекты цепочки равны, либо замыкания нет, и среди и прямых и среди обратных связей обязательно есть отсутствующая. Трансляция непротиворечива.
Вся эта схема объектов становится логической базой, если добавить один объект, «истина». Тогда все объекты, которые принимают от неё направленную связь, заполучают верность, становятся верными и могут передавать верность дальше. Верность транслируется согласно дедуктивным связям.
Весь уровень можно продублировать в виде обращённого уровня. На обращённом уровне кроме объектов продублированы все их связи, но при этом они имеют обратное направление. Можно устанавливать связь между объектами прямого и обращённого уровня, и тогда если объект начала связи помечается как «истинно», то оригинал обращённого уровня конца связи не может быть истинным, он будет ложным. Иначе по обратной связи истинность доберётся до объекта обратного к «истине», который обозначает «ошибку», и станет «верно… что случилась ошибка».
До сих пор на имена объектов не накладывалось ограничений. Само имя это не просто исходящий узел направленной связи с одним получателем. Во-первых, имя имеет собственное содержание, во-вторых, на это содержание не накладывается никаких ограничений, и оно может представлять из себя любую конструкцию, вплоть до прямого абсурда. Имя не объект, оно у нас в голове.
Наименование представляют собой одностороннюю связь — так же как и связь между самими объектами. Но существует несколько важных отличий. Первое — что одно имя имеет связь только с одним объектом, это основная указывающая роль этой связи. И второе — связь от имени к объекту никогда не должна быть замкнута обратно, ведь тогда разделение уровней будет нарушено, и имя и объект станут одним и тем же. Это не очень хорошо.
Голова защищает нас от этого, своим наличием. Но имя можно превратить в код, который находится и работает во внешнем пространстве. Тогда предполагается, что во внешнем пространстве тоже есть язык, который определяет, что этот код означает. Язык используется для определения имён через связи и связей через имена — в общем, для моделирования.
Принцип моделирования заключается в том, что если модель повторяет реальность, то они одинаковы, и различие только в названии. Но обратная сторона принципа моделирования говорит о том, что сами по себе реальность и модель отличаются — модель создаётся, а реальность уже существует, всегда.
Пожалуй, на этом экскурсию стоит закончить. Возвращайтесь. Если вы проникнитесь, то не захотите уходить. Возможно, этот подвал — единственно, что настоящее. А всё остальное суета.
