Дискретная производная или коротко о том как суммировать ряды
Бывало когда-нибудь такое, что вы хотите просуммировать какой-то бесконечный ряд, но не можете подобрать частичную сумму ряда? Вы все ещё не пользовались дискретной производной? Тогда мы идём к вам!
Определение
Дискретной производной последовательности назовем такую последовательность , что для любых натуральных
Рассмотрим примеры:
Ну, суть вы поняли. Чем-то напоминает производную функции, правда? Мы поняли как вычислять дискретный производные «простейших» последовательностей. Кхм, но что делать с суммой, разностью, произведением и частным последовательностей? У «обычной» производной есть некоторые правила дифференцирования. Давайте-ка придумаем для дискретной!
Сначала рассмотрим сумму. Логично, что сумма последовательностей это тоже какая-то последовательность. Попробуем найти производную по определению:
Феноменально! Мы получили, что производная суммы последовательностей есть сумма производных этих последовательностей! спасибо, кэп
Попробуем доказать тоже самое с разностью
А мы переходим к произведению!
Аналагично, найдем по определению:
Круто, правда? Рассмотрим частное:
Cool…
Но это все производная. Может, есть и дискретная первообразная? Оказывается, есть!
Еще определения
Дискретной первообразной последовательности называют такую последовательность что для любых натуральных
С этим понятно. Го придумаем аналог Ньютона-Лейбница!
Да ладно! Вот это прикол совпадение! А теперь покрасивее тоже самое покрасивее:
И обобщим на множество натуральных чисел от до :
Кто помнит ту самую формулу для суммы ряда квадратов натуральных чисел от до ? А вот и я не помню. Давайте-ка ее выведем!
Но для начала надо найти первообразную для последовательности :
А теперь, собственно, сама сумма:
Как насчет суммы кубов?
Сначала вычислим
Первообразная для :
Кхм, казалось бы, ничего сложного…
Для продвинутых
Не всегда так просто найти интеграл, правда? Что мы делаем в трудных случаях? Правильно, интегрируем по частям. Быть может, есть аналог? Не буду вас томить, он есть, и сейчас мы его выведем.
Допустим, надо вычислить сумму ряда
Что делать? Вряд ли вы сможете так просто подобрать дискрентную первообразную к последовательности. Давайте смотреть.
Мы уже знаем, что:
Тогда
А теперь один нетривиальный шаг:
Подставим в полученное до этого равенство:
Финита ля комедия.
Найдем ту самую сумму:
Кому-то может показаться, будто формула стала еще более громоздкой, и мы только усложнили себе работу. Но это не так. Пусть , тогда:
Прикольная задачка
Предлагаю попрактиковаться с этим на примере задачки с отбора в Tinkoff Generation на курсы по Machine Learning. Вот сама задачка:
Вы устали решать задачки с отборов на курсы Tinkoff Generation и решили устроить перерыв, посмотрев несколько серий нового сериала, о котором все говорят.
Вы начинаете смотреть все серии, начиная с первой. Каждая серия длится один час. После просмотра очередной серии, вы с постоянной вероятностью ppp начинаете смотреть следующую, иначе ваш перерыв заканчивается, и вы возвращаетесь к работе.
Голод, сон и прочие нужды вас не останавливают, а в сериале бесконечное количество серий; в теории, ваш перерыв может длиться бесконечно.
Сколько в среднем будет длиться ваш перерыв?
Строго говоря, здесь нам нужно найти математическое ожидание. Давайте разбираться.
Решение
Вероятность того, что перерыв будет длиться 1 час, равна:
2 часа
n часов:
Тогда математическое ожидание равно:
Знакомо, правда?
Мы уже находили, что
тогда совсем очевиден нужный нам ряд:
И задача сводится к нахождению предела последовательности
где , так как — вероятность события.
Докажем теперь, что