Дешевый как автобус, удобный как такси: перспективный вид общественного транспорта для больших и средних городов. Часть104.04.2023 09:46

(Jean-Claude Mézières)

1. О чем этот цикл статей.

1.1 Центральный результат.
Если я только не допустил критической ошибки, то мне удалось обнаружить удивительную по своим характеристикам схему пассажирских перевозок. Представьте себе такую картину: вы находитесь в большом городе и вам нужно добраться из точки A в точку B. Все, что от вас требуется — это дойти до ближайшего перекрестка и на вашем смартфоне или установленном там специальном терминале указать точку назначения. Через несколько минут к вам подъедет небольшой, но просторный автобус. Автобус, в который можно войти, не пригибаясь, внести с собой детскую коляску, велосипед или даже виолончель, в котором всегда можно сесть и вытянуть ноги. Этот автобус довезет и высадит вас на ближайшем от точки B перекрестке. Вы доберетесь туда без каких-либо пересадок, а все путешествие, включая ожидание на остановке, займет всего на 25–50% времени больше, чем если бы совершили его на личном автомобиле. По моим оценкам в условиях современных мегаполисов такой вид транспорта будет достаточно массовым, чтобы цена одной поездки на нем была блика к стоимости билета на обычный городской автобус.

На удивление, рассуждения, которыми я пришел к этим результатам, опираются на сравнительно простую математику и, наверное, даже какой-нибудь талантливый старшеклассник при удачном стечении обстоятельств сумел бы догадаться до них сам. Прикладная значимость темы и не высокие требования к уровню математики, побудили меня постараться написать статью так, чтобы читатель смог пройти тропой открытий, познакомиться с некоторыми исследовательскими приемами и получить удачный пример, на котором он бы смог объяснить своим детям, для чего нужна математика и как ее можно применять в повседневной жизни.

1.2 Изначальная задача.
Забавна сама история того, как я взялся за это исследование и то, как я обнаружил самый ценный его результат. Позвольте мне об этом вкратце рассказать. Настоящая статья — не первая моя работа в области проблем городского транспорта: я уже публиковал две или три — смотря как считать. Иногда по их темам ко мне обращаются студенты и разной руки предприниматели. Примерно полгода назад мне поступил звонок от одного очень амбициозного молодого человека. Он спросил, не могу ли я ему помочь придумать способ, чтобы простым (и не очень) людям стало проще быстрее и удобнее добираться до работы и возвращаться оттуда домой. Его исходная идея была в том, что работников можно развозить чем-то вроде школьного автобуса и на этой основе создать новый более удобный вид общественного транспорта. Идея, как вы понимаете, была довольно грандиозной и звучала заманчиво, однако в тот момент я работал на своей книгой и мне хотелось избежать серьезной увлеченности какой-либо другой задачей. Все же я не мог совсем отказать и предложил этому молодому человеку свою помощь в том, чтобы формализовать его задачу и подыскать тех, кто был бы в состоянии ее решить. Правда, как это часто случается с предпринимателями (в чем я их нисколько не виню — сам был таким), автор этой замечательной идеи из общения куда-то пропал. Да… автор-то, может быть, и пропал, только вот его идея на тот момент уже овладела моими мыслями и, отложив все дела, я принялся ее изучать.

Довольно быстро я нашел неплохое решение — совместное такси с одной пересадкой, ему посвящена одна из глав этой работы. Тогда я был почти уверен, что лучшего решения у задачи нет и пытался это строго доказать. Вот только доказательство у меня все никак не получалось. В конце концов я был вынужден поставить под сомнение гипотезу о «невозможности» и попытался построить для нее гипотетический «контрпример». Каково же было мое удивление, когда такой контрпример действительно взял и построился.

В этом цикле я собираюсь опубликовать 3 статьи: текущая — «Предварительный анализ», следующая — «Эксперименты на торе», последняя — «Практически значимые решения». Их содержание является скорее не описанием какого-то одного конкретного результата, а журналом шагов его направленного поиска. Выбирая такой способ повествования, я хотел, чтобы каждый следующий шаг был для читателя почти очевиден, а финальный результат не казался чем-то удивительным.

Чтение статьи займет у вас какое-то продолжительное время. Если формулы отображаются неправильно, попробуйте несколько раз перезагрузить страницу.

2. Модель города и модель внутригородских суточных миграции.

2.1 Идеализация как исследовательский метод.
В этой статье нас будут занимать только такие проблемы различных видов общественного транспорта, которые возникают в них из-за ограничений физического или математического характера и поэтому в принципе не могут быть устранены. Преодолимые проблемы, причиной которых являются инженерные ошибки, несовершенство общественного уклада, незнание или недомыслие — оставим специалистам других областей. Лучший способ увидеть, какие из проблем той или иной схемы пассажирских перевозок являются для нее непреодолимыми — это посмотреть на ее работу в условиях идеального воображаемого города. Если некоторый вид общественного транспорта в идеализированных условиях имеет какие-то недостатки, то, понятное дело, в реальных условиях они никуда от него не денутся.

2.2 Идеальный клеточный город.
Предположим, что перед вами стоит задача спроектировать новый город с удобной транспортной системой. Вы не сделаете большой ошибки, если выберете для него клеточную, или как ее чаще называют — манхэттенскую планировку улиц. В идеальной манхэттенской планировке уличные дороги образуют правильную ортогональную сеть, разбивая город на одинаковые по форме и размеру кварталы. В одной из моих прошлых работ я показывал, что городах с манхэттенской планировкой все уличное движение можно перевести в режим зеленых волн (ссылка). Если город находится в этом режиме, то любой водитель, который поддерживает рекомендованную скорость и движется только вперед, сможет добраться до конца улицы, постояв на светофоре самое большее один раз. В другой моей работе вы найдете доводы, что из всех пока что встречающихся планировок, клеточная наименее всего способствует образованию пробок. Эти замечания должны объяснить читателю, почему в качестве идеализированных я рассматриваю именно клеточные города.

рис 1

Основной нашей моделью будет прямоугольный клеточный город с квадратными полукилометровыми кварталами и двусторонним уличным движением. Длина квартала в полкилометра выбрана не случайно — при меньших длинах трудно организовать зеленые волны, а при большей — слишком большими становятся расстояния, которые нужно проходить пешком. Альтернативная модель — это клеточный город с чередующимся односторонним движением и квадратными кварталами по 250 метров. Она будет фигурировать главным образом в упражнениях. В плане оптимальности обе модели по большому счету эквивалентны друг другу. В последних главах величина и соотношение сторон кварталов вообще не имеют значения, если только эти кварталы не слишком велики.

Еще одно упрощение, к которому я вскоре прибегу — это сворачивание плоского прямоугольного города в правильный тор. Дело в том, что у прямоугольника есть край и это делает положения точек на нем не равнозначными: какие-то точки расположены ближе к центу, а какие-то — к периферии. Из-за этой неоднородности рассуждения наполняются оговорками, а вычисления становятся излишне технически сложными. У тора нет края и все его точки находятся в абсолютно равных условиях. Так же, как и на сфере, подходящим «вращением» любую точку тора можно наложить (перевести) в любую другую его точку. Общественный транспорт в тороидальном клеточном городе во всем, что не касается особого поведения у края, встречается ровно с теми же проблемами, что и общественный транспорт в обычном «плоском» городе. Что еще более важно, эти проблемы в обоих случаях имеют похожие решения. Для тех читателей, которым понятие (плоского) тора в новинку, я добавил в статью две ознакомительных главы.

2.3 Миграционная модель. Город с равномерным доступом.
Сколько-нибудь детальный анализ пассажирского городского транспорта вряд ли возможен, если вы не знаете о том, как, куда и насколько часто жители этого города совершают свои поездки. В этой статье мы будем придерживаться следующих наиболее простых предположений:
1) за одно и тоже время внутри любого квартала желание совершить путешествие в другую точку города возникает у примерно одно и того же числа людей.
2) для случайно выбранного путешествия независимо от его начальной точки, его точкой назначения с равной вероятностью будет служит любая другая точка города (вероятность точке стать концом путешествия равномерно распределена по всему городу).
Такую миграционную модель условимся называть «городом с равномерным доступом».

Безусловно, наша миграционная модель является чисто академической, полученные на ее основе результаты — оценочными. В настоящем городе миграция людей может быть подчинены совсем другим законам, поэтому внедрение какой-либо из описанных в этой статье транспортных схем должны предшествовать тщательные полевые измерения, а сама схема к результатам этих измерений правильным образом адаптирована.
—

3. Неустранимы недостатки некоторых традиционных видов общественного транспорта.

Прежде чем пытаться создать новые виды общественного транспорта, попытаемся разобраться в преимуществах и недостатках уже существующих.

3.1 Простой городской автобус.
Под простым автобусом мы будем понимать схему работы не только обычных городских автобусов, а будем относить сюда еще и такие виды транспорта как троллейбус или трамвай. Все это — наиболее консервативные виды массового транспорта и их работа подчиняется одному и тому же принципу: некоторое множество транспортных средств с достаточно вместительными салонами движутся по заранее намеченным маршрутам от остановки к остановке и на каждой из них подбирают или высаживают какое-то количество своих пассажиров.

Пусть у нас имеется клеточный город с полукилометровыми кварталами и двусторонним движением. Очевидный способ создать в нем сеть маршрутов простого автобуса — это запустить по каждой его улице свой маршрут так, чтобы автобусы следовали по нему в обе стороны из края в край с интервалом в несколько минут. Что касается остановок, то их разумнее всего расположить на перекрестках: по одной для каждого из четырех направлений. Такое размещение остановок делает пересадку с одного направления на другое особенно быстрым. Описанную только что транспортную сеть в узком смысле мы и будем называть простым автобусом.

рис 2

Как вид транспорта простой автобус имеет немало приятных свойств:
1) простая логика построения маршрута;
2) от любой остановки до любой другой доехать можно всего с 1-ной пересадкой;
3) если вы уже находитесь на улице, то остановка в любом из направлений расположена от вас не далее, чем в половине длины квартала.
4) из наблюдений уже в небольших по населению городах среднее число пассажиров в салоне простых автобусов оказывается достаточно большим, чтобы сделать поездку на них относительно дешевой.

Однако у простого автобуса при всех перечисленных его достоинствах имеется один очень существенный недостаток: даже в теории он, ну просто, о-о-очень медленный и, похоже, исправить это никак нельзя. Следующие рассуждения показывают почему.

Пусть максимальная разрешенная скорость движения в городе равна стандартным 60 километрам в час ( $17$ метров в секунду или $1$ километр в минуту). Отъезжая от предыдущей остановки, автобус не может развить максимальную скорость мгновенно, точно также он не может мгновенно остановиться перед следующей — в обоих случаях ему понадобится некоторое время двигаться с ускорением. Таким образом путь автобуса между соседними остановками можно разделить на три участка: участок ускорения, участок торможения и средний участок, который автобус проезжает с постоянной максимально разрешенной скоростью.

Гугл говорит, что комфортным для пассажиров является ускорение, при котором за секунду автобус увеличивает (или уменьшает) свою скорость на $0.7 - 1$ м/с. Примем для расчётов, что ускорение автобуса на участках разгона и торможения постоянно и равно $1$ м/с за секунду. При таких вводных автобусу потребуется $17$ секунд, чтобы набрать полную скорость и столько же, чтобы сбросить ее до нуля. Постоянство ускорения автобуса во время разгона и торможения означает, что графики зависимости его скорости от времени в эти периоды будут наклонными прямыми линиями. Вычисляя площадь под этими графиками, мы находим, что участок разгона и участок торможения имеют длину $17 \cdot 17/2 = 144,5$ метра, в месте $289$ метров. Расстояние между соседними остановками мы приняли равным длине квартала, то есть $500$ метрам. Отсюда следует, что средний участок, на котором автобус имеет максимальную скорость, в длину равен $211$ метрам и будет преодолён им за $211/17 \approx 12$ секунд. В итоге мы получаем, что весь полукилометровый путь от остановки к остановке автобус проедет в лучшем случае за $17+17+12 = 46$ секунд. Даже если бы простой автобус не задерживался на самих остановках, его средняя скорость не превысила бы $500/46 \approx 11$ м/с.

рис 3

Теперь оценим, какой будет средняя скорость автобуса с учетом длительности его остановок. Разные источники говорят, что среднее время посадки или высадки одного пассажира находится в пределах $3-5$ секунд. Возьмем за оценку $4$ . Пусть на каждой остановке входят и выходят в среднем $2$ человека, тогда процесс посадки-высадки в среднем потребует примерно $16$ -ти секундной стоянки, а средняя скорость окажется не больше $500/(46 + 16) \approx 8$ м/с. Получается, что уже находясь внутри простого автобуса, вы будете перемещаться по городу в среднем более чем в два раза медленнее по сравнению личным автомобилем или персональным такси.

Упражнение: если вы ознакомились со статьей, посвященной зеленым волнам, покажите, что работу автобусов можно встроить в график зеленых волн так, что они будут проезжать все перекрестки без какого-либо ожидания, однако это возможно лишь в том случае, если средняя скорость движения автобусов нацело делит скорость распространения зеленых волн.

3.2 Автобусная сеть, которая включает в себя простые и транзитные маршруты.
Можно ли сделать городские автобусы быстрее? Чтобы ответить на этот вопрос, давайте распишем, из чего складывается время путешествия автобуса между двумя достаточно удаленными точками $A$ и $B$ его маршрута.

рис 4

Как видно из рисунка 4 выше это время можно представить как сумму трех слагаемых:

$T_{tr} = |AB|/v$ — это слагаемое равно времени, которое ушло бы на то, чтобы проехать путь между $A$ и $B$ с максимально разрешенной скоростью $v$ .
$T_a =$ «число остановок между $A$ и $B$ » $\times$ «время однократного разгона/торможения». Каждая остановка автобуса требует от него сначала торможения, в сумме они приводят к потере примерно $17$ -ти секунд;
$T_w =$ «число пассажиров, которые между $A$ и $B$ вошли или вышли из автобуса» $\times$ «штраф посадки/высадки одного пассажира».

В этих обозначениях средняя скорость автобуса на участке $A$ - $B$ будет даваться выражением:

$\bar {v_{AB}} = |AB|/(T_{tr} + T_a + T_w) \ \ \ \ \ (1)$

Если мы хотим, чтобы $\bar {v_{AB}}$ была как можно выше, то должны сделать так, чтобы значения слагаемых $T_{tr}$ , $T_a$ и $T_w$ стали как можно меньше.

На слагаемое $T_{tr}$ мы повлиять никак не можем: отрезок $AB$ и максимальная разрешенная скорость $v$ — такие, какие они есть.

Второе слагаемое $T_a$ получается произведением штрафа однократного разгона/торможения на число остановок, которое сделает автобус между точками $A$ и $B$ . Поскольку максимально разрешенное ускорение является заданной величиной, однократный штраф разгона/торможения мы поменять не можем. Зато, можем уменьшить число остановок между точками $A$ и $B$ , если расставим их пореже.

Третье слагаемое $T_w$ получается произведением времени посадки/высадки одного пассажира, величина которого есть константа на суммарное число людей, которые вошли или покинули автобус на участке $A-B$ . Среднее число людей, которые входят или покидают автобусы маршрута $M$ за единицу времени на остановках между $A$ и $B$ , почти никак не зависит от того, на какой дистанции расставлены эти остановки. Действительно, если альтернативного транспорта нет, то всем, кому надо уехать из $A-B$ маршрутом $M$ , в конце концов сядут на свой автобус будь там хоть $10$ остановок, хоть $30$ . То же самое верно и для тех, кто этим маршрутом в $A-B$ собирается приехать.

Пусть из участка $A-B$ маршрутом $M$ в среднем уезжает $x$ человек в минуту, а приезжает — $y$ человек в минуту. Если интервал движения автобусов маршрута $M$ равен $\Delta T$ минут, то на участке $A-B$ в каждый из них войдет и выйдет в среднем $(x+y) \times \Delta T$ пассажиров (докажите!). Уменьшая интервал $\Delta T$ , мы можем уменьшить и время, которое автобусу придется потратить на посадку/высадку своих пассажиров между точками $A$ и $B$ .

И так, если мы хотим увеличить среднюю скорость автобусов на маршруте $M$ , то интервал между ними нужно сделать как можно меньше, а дистанцию между остановками — как можно больше. Однако, здесь нас ждут логичные ограничения. Уменьшение во сколько-то раз временного интервала между автобусами, во столько же раз уменьшает и среднее число пассажиров в их салоне, а значит увеличивает себестоимость поездки для каждого отдельного пассажира. В свою очередь увеличение во сколь-то раз расстояния между соседними остановками, во столько же раз увеличивает среднюю длину пешего пути, который придется преодолеть пассажиру, чтобы сесть на нужный ему автобус, или, чтобы добраться до финальной точки своего путешествия от того места, где он с автобуса сойдет. Средняя длина пешего пути в одном путешествии по порядку величины равна расстоянию между остановками, поэтому просто так последнее нельзя сделать через чур большим.

рис 5

От проблемы, что цена поездок растет при уменьшении интервала движения автобусов, избавится, по всей видимости, нельзя, а вот для проблемы редко расставленных остановок — напротив есть довольно очевидное и простое решение. Это решение заключается в том, чтобы на каждой улице иметь два дублирующих друг друга автобусных маршрута: один с часто расположенными остановками и как следствие «медленный», а другой — с остановками, расположенными на большом удалении друга от друга, и поэтому потенциально достаточно «быстрый». Медленные маршруты и курсирующие по ним автобусы мы будем называть локальными, быстрые — транзитными. Естественно потребовать, чтобы остановки локальных автобусов были расставлены на всех перекрестках по маршруту следования, а вот транзитные автобусы останавливались только на каждом $k$ -том перекрестке вдоль их пути (рисунок 6).

рис 6

Пусть в городе действуют локальные и транзитные автобусные маршруты как на рисунке выше. Подумаем тогда, какие действия должен совершить путешественник, чтобы добраться из точки $A$ в достаточно удаленную от нее точку $B$ ?

Если обе точки лежат на на одной улице и не занимают какого-то особого положения, то достаточно быстрый способ попасть из $A$ в $B$ будет таким:
Сперва от точки $A$ нужно дойти до ближайшего к ней перекрестка $P_1$ и сесть там на локальный автобус в сторону ближайшей остановки $P_2$ , на которой останавливаются транзитные автобусы. Доехав до $P_2$ выйти и пересесть уже на транзитный автобус, который направляется в сторону точки $B$ . На этом втором автобусе следует ехать до той его остановки $P_3$ , которая ближе всех остальных расположена к точке $B$ . В общем случае $P_3$ не является ближайшим к $B$ перекрестком, поэтому придется еще раз сесть на локальный автобус в сторону точки $B$ и выйти на ближайшем к ней перекрестке $P_4$ . Оставшийся путь следует проделать пешком.

Схематично алгоритм такого путешествия можно описать как «л→т→л».

Упражнение: является ли описанный выше алгоритм наибыстрейшим по средней длительности путешествия между случайными точками $A$ и $B$ . Если нет, то как его нужно изменить, чтобы он таковым стал? Какую информацию о положении путешественника и автобусов использует ваше решение?

рис 7

В общем случае, когда $A$ и $B$ не лежат на одной улице и не занимают на них какого-то особого положения, путешествие из A в B может быть выполнено по схеме: «л→т→л→л→т→л» (рисунок 7). Как вы видите, сценарий путешествия выходит не самым простым и включает в себя целых 5 пересадок. В действительности, если немного подумать и расположить остановки транзитных автобусов немного иначе (рисунок ниже), то максимально количество пересадок, которое потребуется от пассажира, можно сократить до 4-рех.

рис 8

Всякую сеть автобусных маршрутов, выполненную по образцу рисунка 8 мы будем называть »(городским) автобусом с транзитными маршрутами».

Упражнение: найдите все возможные схемы путешествия на автобусе с транзитными маршрутами между точками общего (не особого) положения. Попробуйте описать и классифицировать все особые случаи, вроде путешествия вдоль одной улицы, или от точки рядом с отановкой транзитного автобуса.

Давайте хотя бы грубо оценим, каким должно быть $k$ , чтобы средняя скорость транзитных автобусов стала близкой к стандартным $60$ километрам в час (к $1$ км/мин).

На перегоне между соседними остановками транзитный автобус имеет один участок разгона и один торможения. Как мы посчитали выше, на этих участках он теряет в сумме $T_a = 17$ секунд. Пусть при каждой остановке транзитный автобус подбирает и высаживает x человек, тогда время стоянки $T_w \approx 2x \times 4$ секунд. Если остановки этого автобуса расположены на каждом $k$ -том перекрестке, а длина кварталов равна половине километра, то $T_{tr} = 500 k/v$ . Из всего сказанного следует, что формулу средней скорости автобуса можно записать как:

$\bar {v} = 500 k/ (T_{tr} + T_a + T_w) = v \frac {1}{1 + (T_a + T_w)/T_{tr}} \ \ \ \ \ \ (2)$

Близкой к максимальной средняя скорость транзитного автобуса будет только в том случае, если:

$\frac {T_a + T_w}{T_{tr}} \ll 1 \ \ \ \ \ \ (3)$

Следовательно мы можем воспользоваться приближением:

$\frac {1}{1+\varepsilon} \approx 1 - \varepsilon \ \ \ \ \ \ (4)$

и переписать $(2)$ как

$\bar {v} = v (1 - (T_a + T_w)/T_{tr}) \ \ \ \ \ \ (5)$ .

Последняя формула показывает, что нет особого смысла время посадки-высадки пассажиров $T_a$ пытаться сделать сильно меньше, чем штраф разгона/торможения $T_w$ — все равно средняя скорость автобуса от этого сильно уже не увеличится. Для простоты будем считать интервал между транзитными автобусами подобранным так, что $T_w = T_a = 17$ секунд. Такая величина $T_w$ соответствует примерно $2$ вошедшим и вышедшим пассажирам на каждой остановке. Подставляя сек, $T_{tr} = 500k/17 \approx 30 k$ сек в $(5)$ получаем неравенство на $k$ :

$1 - \frac {17 + 17}{30k} \geq \bar {v}/v \ \ \ \ \ \ (6)$ или

$k \geq 1.13 \frac {1}{1 - \bar {v}/v} \ \ \ \ \ (7)$ .

Если мы хотим, например, чтобы транзитные автобусы двигались со средней скоростью не меньше $45$ км/ч ( $3/4$ от $v$ ), то $k$ должно быть равным по крайней мере $5$ , то есть между соседними остановками транзитного автобуса должно быть порядка $2.5$ километров. Эта оценка позволяет указать минимальный размер города, в котором автобусы с транзитными маршрутами вообще имеют смысл: что-то около $3$ транзитных перегонов или $7.5 - 10$ км в длину. Квадратный город таких размеров при стандартной плотности в $5000$ жителей на квадратный километр будет иметь население примерно в $300$ тысяч человек.

По моим беглым оценкам, в городах размером $>20$» />км (населением <img src= ( $13$ м/с или $36$ км/ч). Казалось бы, вот он — идеальный транспорт мегаполисов, но 4 пересадки — это все-таки не то, с чего бы я мечтал начинать свой день!

Упражнение: подумайте, имеется ли возможность вместо транзитных автобусов с той же целью использовать подземное метро. С какими преимуществами и недостатками сопряжены обнаруженные вами решения? Попытайтесь сделать численные оценки.

3.3 Персональное такси.
Быстро, часто очень удобно, но при этом очень дорого. Занимает много места на дороге, выделяет много выхлопных газов в расчёте на $1$ пассажиро-километр.
—

4. Такси для совместных поездок между парами городских районов.

4.1 Идея совместных поездок.
Персональное таки — это, пожалуй, самый быстрый вид городского транспорта, но, без сомнения, и самый дорогой: зачастую пассажир всего один, а везет его целый автомобиль еще и с нанятым водителем. Отсюда очевидна и идея, как сделать поездки на такси дешевле: достаточно придумать способ, который бы позволил машине такси перевозить несколько пассажиров разом. Если такой способ будет найден и внедрен, то стоимость каждого километра пути, пройденного автомобилем такси, может быть поделена между всеми пассажирами, которые в это время находились в его салоне. Чем больше среднее число пассажиров в салоне, тем должна стоит поездка для каждого из них.

Однако у идеи совместных поездок есть и очевидное препятствие: если машина совместного такси будет подбирать каждого, кто голосует перед ней на дороге, то в ее салоне могут оказаться люди, которым совсем не по пути. Чтобы развезти таких пассажиров по их их пунктам назначения, придется кататься из одного конца города в другой, впустую расходуя