Что такое мат.анализ и с чем его едят?30.01.2023 15:32

Давайте знакомиться: я Меликян Маргарита, кандидат физико-математических наук, уже 4й год работаю на мехмате МГУ и кафедре высшей математики МФТИ, а также несколько лет как преподаю в ШАД Helper. Преподаю я как разнообразные курсы из блока анализа, так и вероятностного блока, и сегодня я хочу немного поговорить о том, каково это — осваивать математический анализ и каких ошибок следует избегать, какие лайфхаки применить.

Первая препона, с которой сталкивается человек в самом начале освоения новой дисциплины, даже если он это делает «под присмотром» преподавателя — это литература. На что нужно обращать внимание и ориентироваться при выборе?

В первую очередь на то, какую литературу предлагает сам преподаватель. Если он ее предлагает, то скорее всего его подход в изложении материала будет близок тому, что вы увидите в соответствующих книжках, однако на самом деле списки литературы часто бывают шире и разнообразнее, и отсюда произрастает необходимость второго пункта =⇒
Я очень не советую новичкам пользоваться большим количеством литературы одновременно! Во-первых, от обилия информации и осознания количества того, что надо освоить, ваш запал может иссякнуть гораздо раньше, чем вы хоть сколько-нибудь продвинетесь в изучении. Во-вторых, что страшнее, вы можете попасть в неприятные «циклы»:
В книге А: доказали теорему 1, из нее следует теорема 2.
В книге Б: доказали теорему 2, а из нее теорему 1.
А теперь задумайтесь, что получается, если вы решили взять, скажем, доказательство теоремы 1 из книжки Б, а доказательство теоремы 2 из книжки А… Впрочем, если вы решили, что вам не сильно-то интересны и нужны доказательства и строгое пирамидное развитие теории, то это может быть не так уж страшно, кроме того, что породит у вас искаженное представление о «действительности». Тут же замечу, что полностью игнорировать изучение доказательств так себе идея ввиду того, что некоторые из них используют приёмы и идеи, полезные для решения задач. А нас же в конечном итоге интересует совершенствование в этом плане, да?)
Конечно же, учитывая всё вышесказанное, выбирать стоит из предложенного того автора, чье изложение материала показалось вам ближе всего (т.е. понятнее и доступнее). Для определения фаворита можно почитать одну и ту же тему в разных учебниках и прислушаться к себе;)
И специально для студентов ВУЗов: С БОЛЬШОЙ ОСТОРОЖНОСТЬЮ ПОЛЬЗУЙТЕСЬ «МЕТОДИЧКАМИ» от старшекурсников. Обязательно сверяйтесь с учебниками касательно написанного. Потому как это тот тип литературы, который просто кишит неточностями, ошибками и совсем уж невероятными фактами. Их можно читать только уже разобравшись в предмете, как научпоп или фантастику.
Впрочем, всё изложенное выше можно отнести не только к математическому анализу, но и к любой другой математической дисциплине (а может, и не только математической, вот за это не ручаюсь).

Второй момент, который оказывается на первом курсе затруднительным, это гениальный аппарат — «эпсилон-дельта определения» и иже с ними. Определения, заключающие в себе набор символов, среди которых понакиданы кванторы (порой до 3х разных типов в одной математической «фразе»!) вперемежку с множествами/пространствами, их элементами и еще бог знает чем вызывают нереальные трудности при запоминании! Что очень часто демонстрируют студенты на коллоквиумах, зачётах, экзаменах… Кто виноват? И что делать?

Ответ прост и сложен одновременно — не механически «заучивать» (я искренне считаю, что просто запомнить такой объём информации нереально, да и излишне), а попробовать ПОНЯТЬ, «что хотел сказать автор». Понять, почему темы изучаются именно в таком порядке, обычно это обусловлено некоторой логикой усложнения понятий. Собственно, за что обожаю математику: объём информации, требуемой к запоминанию, выгодно отличается от гуманитарных направлений :) Если вы понимаете, «чувствуете», что там происходит, можете сами написать на математическом языке нужное определение или вывести нужное утверждение, вам становится гораздо, нет, не так, ГОРАЗДО легче!

Хорошо, тезис, думаю, ясен, а как понять-то? Приведу парочку лайфхаков:

Раз уж мы начали с «эпсилон-дельта определений» и аналогичного, то давайте про них и поговорим. Первое, что вам может помочь — попробуйте попереставлять кванторы всевозможными способами или заменить их на другие, «забыть» вовсе (одним словом, смоделировать реальный ответ недоучившего на экзамене), и посмотреть, что из этого получится. Возможно ли подобрать такой объект?, а если возможно, то будет ли это то, чего нам хотелось изначально?
Например, вы пытаетесь разобраться с критерием Коши сходимости последовательности. Один из вариантов написания условия Коши фундаментальности последовательности {xk} k ∈ N выглядит так:
$∀ ε > 0 \; ∃ \; N ∈ N \; ∀ \; n > N \; ∀\; p ∈ N: |x_{n+p} − x_{n}| < ε.$
Что будет, если мы переставим один из кванторов в начало? То есть
$∀ \; p ∈ N \; ∀ \; ε > 0 \; ∃ \; N ∈ N \; ∀ \; n > N: |x_{n+p} − x_{n}| < ε.$
Даст ли нам это сходящуюся последовательность? Или нет?
Второй лайфхак удаётся применить не везде, но тоже довольно важен — это попытка понять, а есть ли геометрическая или физическая интерпретация того или иного понятия/свойства? Эти интерпретации также порой помогают понять, возможно ли то, про что спрашивают в задаче, что вероятнее: обладает функция тем или иным свойством или нет?
Например, производная одномерной функции (можно считать, что от времени) — это мгновенная скорость траектории точки в данный момент времени. Может ли точка начать движение с положительной скоростью, двигаться гладко, сменить скорость на отрицательную, обойдя стороной момент остановки? А что для функции означает то, что она непрерывна? А равномерно непрерывна?
Большое количество утверждений с самыми разными требованиями к объектам в них тоже могут вызывать затруднения. Как помочь себе запомнить, что где требовать? Да и вообще, какие из условий являются техническими (т.е. без них доказательство становится в разы сложнее), а какие по существу (то есть выкину и всё, найдётся контрпример)? Хороший способ — попробовать повыкидывать условия и попридумывать контрпримеры.
Пример. Рассматриваете теорему об обратной функции. Самый простой вариант: вам дают функцию на отрезке и требуют там её непрерывности и строгой монотонности. Что будет, если убрать одно из условий? Всегда ли получится ввести обратную функцию? А бывают ли функции, не удовлетворяющие одному из условий, но тем не менее имеющие обратную?
Этот момент в целом можно было озвучить еще при обсуждении литературы, но мне захотелось его выделить особенно, так как на мой взгляд он архиважен. А именно:
при изучении утверждений обращайте внимания на принятые в соответствующем источнике определения объектов и обозначения. Под словом «гладкая» могут скрываться функции разной степени «хорошести», или, например, у одного автора в утверждении дополнительно указано, что функция должна быть ограничена, у другого нет, кто прав? Да, возможно, оба, просто один понимает, скажем, интеграл Римана как предел интегральных сумм, и тогда ограниченность функции — необходимое условие интегрируемости, а другой ввёл его через суммы Дарбу, для чего ограниченность пришлось «вшить» в определение. И тогда в утверждении вновь подчеркивать ограниченность нет никакой нужды. Оба определения при этом приводят к рассмотрению одного и того же объекта в итоге, но чисто формально утверждения будут отличаться. Отличная ловушка для читателя!

На этом на сегодня всё, удачи вам в познании!

P.S. И не расстраивайтесь, если при применении некоторых лайфхаков поставите себе задачи, на которые не получается дать ответы, да и даже загуглить не удаётся — это нормально, порой задачам надо дать время осесть… или же обсудить с товарищами по несчастью :) Или же просто отпустить (ситуацию)).

P.P. S. Ответы на вопросы в тексте:

Критерий Коши. Нет, не даст. Рассмотрите последовательность $\{ \sqrt n \; \}$ или $\{ln \: n \}$ .
Про точку: нет, не может (теорема о нулях функции).

Непрерывность в точке: при рассмотрении графика исследуемой функции получается, что сколь малый эпсилон мы бы ни взяли (это будет половиной высоты прямоугольника без границы, который мы строим, отступив вверх и вниз от уровня, равного значению функции в рассматриваемой точке), для него всегда найдётся дельта (половина ширины прямоугольника), такое что, взяв произвольный аргумент со стороны прямоугольника, параллельной оси абсцисс, я обнаружу, что значение функции в этом аргументе попадает во внутрь построенного прямоугольника. В равномерной непрерывности мы построение чуть видоизменяем: выбрать дельта можно так, что прямоугольник со сторонами дельта и эпсилон можно двигать по всему множеству, на котором функция претендует на равномерную непрерывность, и при этом функция не будет пересекать стороны прямоугольника, параллельные оси абсцисс.
Не всегда, рассмотрите функцию
$f(x) = x^2 , \;x ∈ [−1; 1], \;g(x) = \begin{cases} x + 10, x ∈ [3; 5], \\x, x ∈ [0; 3]. \end{cases}$
Существуют: $f(x) = \begin{cases} x, x ∈ Q, \\ −x, x ∈ RQ, \end{cases}$ на отрезке [−1; 1].