Бесполезный паттерн в полярных координатах, открывающий полезное свойство простых чисел
Началось всё с обсуждение на математическом StackOverflow: Meaning of Rays in Polar Plot of Prime Numbers
«Недавно я начал экспериментировать с gnuplot и быстро сделал интересное открытие. Я построил все простые числа ниже 1 миллиона в полярных координатах, так что для каждого простого p (r, θ) = (p, p). Ничего особенного не ожидал, просто пробовал. Результаты впечатляют».
Если посмотреть на простые числа ниже 30000, можно увидеть спиральный узор.
Для сравнения — тот же график с наложенными на него числами, кратными 3 и 7. Штрихи выделены желтым цветом, кратные 3 и 7 — зеленым и красным соответственно.
Что действительно интересно, так это поведение при увеличении диапазона. Кратные данного числа кажутся спиралевидными по той же схеме в бесконечность, но простые числа начинают образовывать лучи группами по 3 или 4.
По сравнению с числами, кратными 3 и 7:
Связаны ли эти закономерности с теорема о простых числах? Являются ли эти лучи тем же явлением, что и диагональные линии в Скатерти Улама?В ответ на объяснение Грега Мартина я решил добавить еще пару графиков. Чтобы понять, почему они актуальны, прочтите его ответ.
(г, θ) = (n, n), n∈N
Для начала можно поиграться с полярными координатами и рассмотреть все точки с целочисленными координатами: (1,1) (2,2)…
Получаем Архимедову Спираль:
Если исключить все числа, кроме простых, то получаем спиральную галактику с пробелами:
«Отдаляясь» мы можем увидеть направленные во все стороны лучи, по большей части в группах по 4 штуки:
Спирали можно посчитать, их 20 штук:
А лучей 280:
Если брать все числа, а не только просты, то спирали поровнее и их 44:
При самом близком рассмотрении у нас 6 спиралей:
Все числа, кратные 6 образуют одну ветку:
Остальные рукава спиралей 6к+1, 6к+2 и тд. Почему так? Потому что 6 примерно равно (полному обороту) 2ℼ (6.28318530718). Эта маленькая разница создает иллюзию единой кривой.
Если оставить только простые числа, останется только две спирали (6к+1 и 6к+5):
6 — почти полный круг, 44 — еще более точное приближение (44/2ℼ ≈ 7 полных кругов)
Только для простых чисел остается 20 рукавов (44к+1, 44к+3, 44к+5…). Функция Эйлера φ (44) = 20.
710/2ℼ ≈ 113. (113,00000959)
Для простых чисел будут пробелы:
Чем дальше отдаляемся, тем отчетливее проявляется кривизна всей структуры.
710=71×5*2. Это объясняет группировку по 4 луча (5) и «отломанные зубцы расчески» (71):
Функция Эйлера φ (710) = 280.
По теореме Дирихле, простые числа равномерно распределятся по рукавам.
Вывод
Играясь с визуализацией, можно наткнуться на а) принцип Дирихле б) на приближения числа ℼ (и цепные дроби) в) дойти до функции Эйлера.
Спиралевидная форма — это артефакт, связанный с совпадением с четным числом радианов.
Ролик с русской озвучкой:
P.S.
Еще работы по простым числам:
Цепные дроби от Савватеева:
Алексей Савватеев «Все о записи чисел»:
