10 наиболее часто используемых 1-кубитных квантовых вентилей
Основными элементами квантового компьютера являются квантовые биты и квантовые вентили. Квантовые вентили, в свою очередь, аналогичны обычным логическим вентилям, которые используются для обработки информации на обычных компьютерах. Квантовые вентили выполняют операции с квантовыми битами, изменяя их состояние в соответствии с логической функцией. Квантовые вентили могут быть реализованы на основе различных физических систем, например, на основе квантовых точек или сверхпроводников.
Квантовые биты и квантовые вентили работают вместе, чтобы выполнить сложные квантовые вычисления. Например, с помощью квантовых вентилей можно создавать квантовые схемы, которые могут выполнять алгоритмы факторизации больших чисел или решения задач оптимизации. Кроме того, квантовые вентили также могут использоваться для создания квантовых версий классических алгоритмов, таких как алгоритм Шора для факторизации больших чисел.
Так как кубит можно представить вектором в двумерном пространстве, то действие вентиля можно описать унитарной матрицей, на которую умножается соответствующий вектор состояния входного кубита. Однокубитные вентили описываются матрицами размера 2 × 2.
Вот, например, схема с одним кубитом, инициализированным состоянием |0〉, которая выполняет одну операцию, X, а затем измеряет кубит.
Вентили всегда обратимы, но некоторые другие операции — нет. Это проистекает из квантовой механики и свойств элементов, соответствующих унитарным преобразованиям. Измерение состояния необратимо, как и операция сброса.
Процесс измерения возвращает |0〉 или |1〉.
Текстовое поле
Поскольку состояние кубита является двумерным комплексным кет-вектором, все квантовые вентили имеют матрицы 2 × 2 с комплексными элементами в соответствии с некоторым базисом. Это делает их совсем небольшими и облегчает работу с ними. Они представляют собой унитарные матрицы.
Ниже мы рассмотрим 10 наиболее полезных и часто используемых 1-кубитных квантовых вентилей.
1.Квантовый вентиль X
Вентиль X имеет матрицу:
и это матрица X Паули, названная в честь Вольфганга Паули. В дальнейшем мы будем часто использовать одно и то же имя (в данном случае X) как для вентиля, так и для его унитарной матрицы в стандартных базисных кетах.
Он обладает свойством:
σx|0〉 = |1〉; σx|1〉 = |0〉.
Он меняет значение с |0〉 и |1〉 и наоборот. Классический вентиль not имеет вид:
Фигура
Фигура
Фигура
Фигура
Вентиль not представляется собой битовую инверсию, и по аналогии мы говорим, что X является битовой инверсией.
Для |ψ〉 =a|0〉 + b|1〉 в ℂ2:
X|ψ〉 =b|0〉 + a|1〉.
Это меняет вероятности измерения |0〉 и |1〉 на противоположные. В ℂ2 σx имеет собственные значения +1 и −1 для собственных векторов |+〉 и |−〉 соответственно.
Текстовое поле
С точки зрения сферы Блоха вентиль X поворачивается на величину π вокруг оси х. Таким образом инвертируются не только полюса, но и точки в нижней полусфере перемещаются в верхнюю и наоборот.
Когда мы рассматривали вращения, мы видели, что матрица для ℝ3, которая совершает вращение вокруг оси x на θ радиан, работает следующим образом:
Если подставить θ =π, матрица вращения при- обретает вид:
В стандартных координатах в ℝ3, |0〉 =(0, 0, 1) и |1〉 =(0, 0, −1). Применив вышеуказанную матрицу к этим векторам, получим:
Вы видите, что она инвертировала |0〉 и |1〉. А как быть с |+〉 и |−〉?
Как и следовало ожидать, глядя на геометрию сферы Блоха, она оставляет их в покое.
Вентиль X, включенный в схему, показан справа.
Горизонтальная линия, называемая проводом, представляет кубит и его состояние.
Входное состояние поступает слева, применяется унитарное преобразование X, и результат в виде нового квантового состояния выводится с правой стороны.
Квантовый вентиль Z
Вентиль Z описывается матрицей, и это матрица Z Паули. Она вращает состояния кубита на величину π вокруг оси z на сфере Блоха.
Вентиль Z меняет местами |+〉 и |−〉, а также |i〉 и |−i〉. Он оставляет |0〉 и |1〉 в покое на сфере Блоха.
Текстовое поле
Для |ψ〉 =a|0〉 + b|1〉 в ℂ2:
Z|ψ〉 =a|0〉 − b|1〉.
Вероятности измерения |0〉 и |1〉 не изменяются после применения Z.
Текстовое поле
|1〉 и −|1〉=eπi|1〉 в C2 отображают в ту же точку, которую мы также называем |1〉 на сфере Блоха. Если мы выразим
тогда
Относительная фаза произвольного квантового состояния |ψ〉 изменяется на π плюс эта относительная фаза, скорректированная так, чтобы находиться между 0 и 2π. Это фазовая инверсия, и Z называется вентилем фазовой инверсии. По- скольку он меняет знак второй амплитуды на противоположный, его также называют вентилем инверсии знака.
Вентиль Z, включенный в схему, показан справа.
Квантовый вентиль Y
Вентиль Y описывается матрицей
и это матрица Y Паули. Он поворачивает состояния кубита на величину π вокруг оси y на сфере Блоха.
Он меняет местами |0〉 и |1〉 и поэтому является битовой инверсией. Он также меняет местами |+〉 и |−〉, но не трогает |i〉 и |−i〉.
Текстовое поле
Для |ψ〉 =a|0〉 + b|1〉 в ℂ2:
Y|ψ〉 =−bi|0〉 + ai|1〉 =e(3/2)i(b|0〉 − a|1〉).
Из этого мы можем непосредственно видеть, что Y делает битовую инверсию и фазовую инверсию одновременно. В ℂ2 σy имеет собственные значения +1 и −1 для собственных векторов соответственно |i〉 и |−i〉.
Текстовое поле
4.Квантовый вентиль ID
Идентификационный вентиль (ID) ничего не делает и обычно используется при конструировании или построении схем, где мы хотим показать, что происходит с каждым кубитом на каждом шаге. Если бы мы все-таки конструировали реализацию, то это было бы умножением на I2, матрицу тождественности 2 × 2.
Идентификационный вентиль, включенный в схему, показан справа.
Идентификационный вентиль также используется в схемах для указания места паузы или задержки. Это позволяет, например, исследователям вычислять из- мерения декогеренции кубита.
5.Квантовый вентиль H
Вентиль H, или H1, или вентиль Адамара, описывается матрицей
оперирующей в ℂ2.
Согласно матричному умножению:
В силу линейности:
и H|−〉 =|1〉.
Текстовое поле
В квантовых вычислениях болтается много нулей и единиц.
Мы используем их интересными способами. Например, предположим, что у нас есть |x〉, где x — это либо 0, либо 1. Думая об x как о находящемся в ℤ, посмотрим на выражения наподобие (−1)x, которое равно 1 или −1, когда x равно 0 или 1.
Для нашего вентиля H мы можем посмотреть на
и заметить, что
когда u является одним из {0, 1}. Когда u =0, мы имеем |0〉, которое приближа-ется к
как и ожидалось. Для u =1 мы завершаем с
Текстовое поле
6. Квантовый вентиль
Мы можем обобщить поведение вентиля Z по смене фаз, отметив:
Эта последняя форма является шаблоном для совокупности вентилей, которым дано имя
Эта совокупность является бесконечной, так как φ может принимать любое радианное значение, большее или равное 0 и меньшее 2π. Эти вентили меняют фазу состояния кубита на φ.
Вентиль
включенный в схему, показан справа для конкретного значения φ.
Альтернативной формой матрицы для
является
где I2 — это матрица тождественности 2 × 2, а σz — матрица Z Паули.
Это то же самое, что и первая матрица, умноженная на
Мы можем сделать это, потому что
является комплексной единицей, и умножение на нее не наблюдается при измерении.
7.Квантовый вентиль S†
Вентиль S† — это укороченное обозначение для
После применения фаза корректируется так, чтобы она была больше или равна 0 и меньше 2π.
Он так называется потому, что матрица для S† является эрмитовым сопряжением матрицы S.
Вентиль S†, включенный в схему, показан справа.
8.Квантовый вентиль Т
Вентиль Т — это укороченное обозначение для
После применения фаза корректируется так, чтобы она была больше или равна 0 и меньше 2π.
Мы можем получить S путем применения T дважды: S =T ○ T.
Вентиль Т, включенный в схему, показан справа.
Вентиль Т также называется вентилем π/8. Мы можем запи- сать его матрицу как
Единичный фактор еπ/8 спереди не имеет наблюдаемого эффекта на квантовое состояние результата применения T.
9.Квантовый вентиль Т†
Вентиль Т† — это укороченное обозначение для
После применения фаза корректируется так, чтобы она была больше или равна 0 и меньше 2π.
Он так называется потому, что матрица для Т† является эрмитовым сопряже- нием матрицы T.
Мы можем получить S†, применив Т† дважды: S† =Т† ○ Т†.
Вентиль Т†, включенный в схему, показан справа.
10.Квантовые вентили
и
Так же, как с
который является произвольным вращением вокруг оси z, мы можем определить вентили, которые вращаются вокруг осей x и y.
и
где I2 — это матрица тождественности 2 × 2, σx — матрица Х Паули и σy — матрица Y Паули.
Итоги
В классическом случае мы можем выполнять на одиночном бите только одну операцию, not. В квантовом случае существует множество, фактически бесконечное число операций на одиночном кубите. Работа с двумя или более кубитами и квантовыми вентилями еще более интересная тема, но об этом в следующий раз.
