[Перевод] Юные математики завязали узлы в умопомрачительном фрактале
Трое старшеклассников и их наставник обратились к теореме столетней давности, чтобы доказать, что все узлы можно найти во фрактале под названием «губка Менгера».
Осенью 2021 года Мэлорс Эспиноса задался целью придумать математическую задачу особого типа. Как и любой другой хороший исследовательский вопрос, она должна была заставлять задуматься, её решение должно было быть нетривиальным — что-то такое, что другим захочется изучить. Однако было ещё одно ограничение, которое поставило его в тупик. Мэлорс, в то время аспирант математического факультета Университета Торонто, хотел, чтобы её могли решить ученики средней школы.
В течение многих лет Мэлорс проводил летние семинары для местных старшеклассников, рассказывая им об основных идеях математических исследований и показывая, как писать доказательства. Но несколько его учеников, казалось, были готовы к большему — узнать, что значит заниматься математикой, когда подсказок нет. Им просто нужен был правильный вопрос.
Мэлорс наконец нашёл его, читая учебник по хаосу. На его страницах он наткнулся на знакомый объект: фрактал, или самоподобную фигуру, под названием «губка Менгера», которая имеет простую, но элегантную конструкцию. Сначала разделите куб на 27 частей, как кубик Рубика. Удалите кубик в самом центре, а также центральный кубик каждой из шести граней. Затем повторите этот процесс для каждого из 20 оставшихся кубиков. И ещё раз повторите. И ещё раз. Вы быстро поймёте, почему полученный фрактал называют губкой: с каждой итерацией количество его пор увеличиваются в геометрической прогрессии.
С тех пор как Карл Менгер почти сто лет назад представил свою фрактальную губку, она захватывает воображение как профессиональных математиков, так и любителей. Одна из причин проста: она выглядит круто. В 2014 году сотни любителей математики приняли участие в глобальной акции под названием MegaMenger, чтобы построить из визитных карточек 90-киллограмовые конечные версии губки. Благодаря своей пористой, похожей на пену структуре, губка также использовалась для моделирования амортизаторов и экзотических форм пространства-времени.
Но самое главное — фрактал обладает различными контринтуитивными математическими свойствами. Продолжайте отщипывать всё более мелкие кусочки, и то, что начиналось как куб, превратится в нечто совершенно иное. После бесконечно многих итераций объём фигуры уменьшается до нуля, а площадь её поверхности становится бесконечно большой. Такова странность фракталов: они витают где-то между измерениями, и занимают пространство, не заполняя его по-настоящему.
Трое старшеклассников — Нико Вот (вверху справа), Джошуа Броден (внизу справа) и Ной Назарет (крайний слева) — недавно доказали новую теорему об узлах и фракталах с помощью своего наставника Мэлорса, математика из Университета Торонто.
Когда в 1926 году Менгер впервые дал определение «губке», он также доказал, что любую мыслимую кривую — простые линии и круги, структуры, похожие на деревья или снежинки, фрактальные пылинки — можно деформировать, а затем встроить куда-нибудь в эту губку. Её можно заставить извиваться по извилистым контурам губки так, чтобы она никогда не покидала её поверхности, не попадала в отверстия и не пересекалась с ней. Таким образом, губка, писал Менгер, представляет собой «универсальную кривую».
Но это, как позже понял Мэлорс, ставило новый вопрос. Менгер доказал, что в губке можно найти окружность. Но как быть с объектами, которые в определённом смысле эквивалентны окружности? Рассмотрим математический узел: нить, которую скрутили и завязали, а затем её концы сомкнули, чтобы получилась петля. Со стороны она может выглядеть запутанной. Но муравей, идущий по ней, в конце концов вернётся к началу, как и в случае с кругом. Таким образом, каждый узел эквивалентен, или «гомеоморфен», окружности.
Каждый узел «гомеоморфен» окружности, что означает, что можно перевести точки одной кривой в точки другой, удовлетворив при этом простому набору условий.
Утверждение Менгера не делало различия между гомеоморфными кривыми. Его доказательство гарантировало, например, только то, что в губке можно найти окружность —, но не то, что там можно найти все гомеоморфные узлы с нетронутыми петлями и клубками. Мэлорс захотел доказать, что в губке можно найти любой узел.
Казалось, что это подходящая задача для того, чтобы увлечь юных математиков. Недавно они с удовольствием изучали узлы на его семинаре. А кто же не любит фракталы? Вопрос заключался в том, можно ли эту задачу решить. «Я очень надеялся, что ответ найдётся», — говорит Мэлорс.
Так и вышло. Всего через несколько месяцев еженедельных созвонов с Мэлорсом в Zoom трое его учеников — Джошуа Броден, Ной Назарет и Нико Вот — смогли показать, что все узлы действительно можно найти внутри губки Менгера. Более того, они обнаружили, что то же самое можно сказать и о другом родственном ей фрактале.
«Это хитрый способ решения подобных задач», — сказала Радмила Сазданович, тополог из Университета штата Северная Каролина, которая не принимала участия в работе. По её словам, пересматривая теорему Менгера столетней давности, Мэлорс, который обычно занимается исследованиями в смежной области теории чисел, очевидно, задал вопрос, который никто не придумал задать раньше. «Это очень, очень оригинальная идея», — сказала она.
Другой способ увидеть узлы
В течение нескольких лет Броден, Назарет и Вот посещали летние семинары Мэлорса. Когда он впервые рассказал им об узлах на одном из предыдущих семинаров, «у 14-летнего меня просто снесло крышу», — говорит Вота.
Но решение задачи Менгера стало для них первым выходом за рамки школьных учебников, где всегда есть правильные ответы. «Это было немного волнующе, потому что я впервые занимался чем-то, на что действительно ни у кого нет ответа, даже у Мэлора», — говорит Назарет. А может, ответа и вовсе не было.
Их задача, образно говоря, заключалась в том, чтобы провести микроскопическую швейную иглу через облако пыли — материала, который остался от губки после многочисленных удалений. Они должны были втыкать иглу в нужные места, завязывать узлы с безупречной точностью и никогда не выходить за пределы губки. Если при завязывании любого узла нить оказывалась в пустых отверстиях губки, игра была окончена.
Нелёгкая задача. Но есть способ её упростить. Узлы можно изобразить на плоском листе бумаги в виде специальных диаграмм, называемых дуговыми представлениями. Чтобы создать такую диаграмму, вам нужно получить информацию о том, как нити вашего узла проходят перед или за друг другом. Затем вы применяете набор правил, чтобы перевести эту информацию в серию точек на сетке. В каждой строке и каждом столбце сетки будет ровно две точки.
Соедините эти точки горизонтальными и вертикальными линиями. Если два отрезка пересекаются, проведите вертикальную линию перед горизонтальной.
Каждый узел можно обозначить таким образом. Несмотря на то что дуговое представление иногда выглядит сложнее, чем другие способы нарисовать узел, оно облегчает математикам изучение некоторых важнейших свойств узла.
Когда студенты рассматривали диаграммы скрещивающихся линий, они вспоминали грани губки Менгера. Разместить горизонтальные линии дугового представления на одной грани губки, а вертикальные — на противоположной достаточно просто. Сложность заключается в том, чтобы понять, как соединить узел — как растянуть его обратно в трёхмерное пространство. В каждом из углов дугообразного представления две грани нужно было соединить через внутреннюю часть губки, не попав случайно в отверстие.
Чтобы убедиться, что это всегда возможно, математики обратились к так называемому множеству Кантора — одномерному аналогу губки Менгера. Чтобы построить это множество, начните с отрезка прямой и разделите его на три части. Удалите среднюю треть, затем сделайте то же самое с оставшимися двумя сегментами, и так до бесконечности. В результате вы получите россыпь точек.
Команда рассмотрела губку Менгера и множество Кантора, прошедшие одинаковое количество шагов удаления. Они поняли, что в точках на гранях губки, координаты которых находятся в множестве Кантора, не должно быть дыр. Более того, благодаря самоповторяющемуся шаблону губки за этими точками тоже не должно быть дыр. Таким образом, узел должен был свободно проходить через них, не соскакивая с материала губки.
Оставалось только показать, что студенты всегда могут сжать или растянуть дугу данного узла так, чтобы все его углы совпадали с координатами на множестве Кантора. (Такое сжатие и растяжение допускалось, поскольку не влияло на общую структуру дугового представления и, следовательно, на то, какой узел оно представляет).
Чтобы завершить этот последний шаг, Броден, Назарет и Вот пошли коротким путём. Они доказали, что могут деформировать любое дуговое представление так, чтобы точки пересечения его вертикальных и горизонтальных сегментов находились в множестве Кантора. Это автоматически гарантировало, что большее число углов также будет находиться в Канторовом множестве. Другими словами, они всегда могли вложить любой заданный узел в некоторую итерацию губки Менгера.
Теперь, когда они ответили на первоначальный вопрос Мэлорса, им захотелось продвинуть свой результат дальше. Они уже начали исследовать, можно ли встроить любые узлы в тетраэдрическую версию губки Менгера:
«Это оказалось удивительно раздражающей задачей», — говорит Броден. Без удобных граней, расположенных прямо напротив друг друга, их метод проталкивания узлов через фрактал перестал бы работать.
Измерение по узлам
Именно на этом этапе, по словам Мэлорса, студенты познали боль математических исследований — то, что большая часть этой работы состоит из борьбы с неудачами, встретившимися на изначально многообещающем пути. «Мы столкнулись с математикой, а математика не знает пощады», — сказал он. «Старшеклассники, изучающие математику в том виде, в котором она им преподносится, обычно защищены от подобного».
Мэлорс, в свою очередь, был убеждён, что так называемый узел трилистника не получится наложить на тетраэдр. Во время разговора по Zoom три студента стали ему возражать. По их воспоминаниям, они покинули встречу, чувствуя себя подавленными и расстроенными. Но они решили придерживаться своей интуиции. Через пару недель, к удивлению Мэлорса, они вернулись с результатом: они нашли новый способ дугового отображения узла трилистника на тетраэдр. Позже они доказали, что это можно сделать для всех узлов типа «претцель» — более общего класса узлов, к которому принадлежит трилистник, — хотя для других видов узлов вопрос остаётся открытым.
Мэлорс предполагает, что методы студентов могут предложить более широкий способ измерения сложности фракталов. Не все фракталы гарантированно допускают все виды узлов. Возможно, их структуру можно будет лучше понять на основе того, какие типы узлов они могут и не могут вместить.
По крайней мере, эта работа может вдохновить на создание новых произведений искусства, таких, которые можно было видеть на конкурсе MegaMenger 2014 года. «Было бы здорово увидеть, как это будет создано из реальных материалов», — говорит Эллисон Мур, специалист по теории узлов из Университета Содружества Вирджинии.
Тем временем Броден, Назарет и Вот закончили школу. Только Броден решил продолжить работу над проблемой тетраэдра — когда не будет занят курсовыми работами в колледже, —, но все трое рассматривают возможность карьеры математика. «Для меня есть большой смысл в то, чтобы внести вклад в нечто большее, чем я сам, в природу истины», — говорит Назарет. Всё начинается с того, что мы задаём правильный вопрос.
