[Перевод] Тонкое искусство математической гипотезы
Это не доказательство, а догадка, подкреплённая знаниями. Но хорошая гипотеза ведёт математику вперёд, указывая путь в математическую неизвестность.
Автор статьи — Роберт Дейкграаф, физик-теоретик, специалист по теории струн, директор Института перспективных исследований в Принстоне, профессор Амстердамского университета.
Альпинизм — популярная метафора для математических исследований. Такого сравнения практически невозможно избежать: замёрзший мир, разреженный холодный воздух, суровая жёсткость альпинизма напоминает неумолимый ландшафт чисел, формул и теорем. Точно так же, как альпинист противопоставляет свои возможности неподатливому объекту — в его случае, каменной стене — так и математик часто сражается в битве человеческого разума против жёсткой логики.
В математике роли горных пиков играют великие гипотезы — резко сформулированные утверждения, скорее всего, истинные, но не имеющие убедительных доказательств. У этих гипотез глубокие корни и широкие последствия. Поиски их решений составляют большую часть математики. Вечная слава ждёт первого их покорителя.
Интересно, что математики подняли формулирование гипотез до уровня высокого искусства. Самая строгая наука любит самые мягкие формы. Хорошо выбранное, но не доказанное утверждение может сделать его автора знаменитым по всему миру, возможно, даже более, чем того человека, который предложит итоговое доказательство. Гипотеза Пуанкаре остаётся гипотезой Пуанкаре, даже после того, как её доказал Григорий Яковлевич Перельман. И ведь сам британец Джордж Эверест, главный геодезист Индии в первой половине XIX века, никогда не забирался на гору, носящую его имя.
Как и в любом виде искусства, великая гипотеза должна отвечать нескольким обязательным критериям. В первую очередь, она должна быть нетривиальной — сложной для доказательства. Математики иногда говорят, «Задача стоит работы, только если сопротивляется», или «Если задача вас не раздражает, она, вероятно, слишком легка для вас». Если гипотезу доказывают в течение нескольких месяцев, её создатель, возможно, должен был подумать чуть подольше перед тем, как открыть её миру.
Первую попытку собрать всеобъемлющую коллекцию величайших математических задач сделал в начале прошлого века Давид Гильберт, которого называют последним универсальным математиком. Хотя его список из 23 проблем оказался весьма влиятельным, оглядываясь назад, он кажется нам довольно разношёрстным.
В него входят давние всеобщие любимцы, типа гипотезы Римана — часто считающейся величайшей из великих, остающейся Эверестом для математиков более ста лет. Когда Гильберта спросили, что бы он хотел узнать первым, проснувшись после 500-летнего сна, он сразу же вспомнил об этой гипотезе. Она описывает основное интуитивное представление о распределении простых чисел — атомов арифметики — и её доказательство будет иметь обширные последствия для множества ветвей математики.
Но Гильберт перечислил куда как более расплывчатые и нестрогие цели, типа «математическое исследование аксиом физики» или «развитие методов вариационного исчисления». Одну из гипотез, касающуюся равносоставленности равновеликих многогранников, решил его студент Макс Дэн в том же году, когда был опубликован список. Многие из описываемых Гильбертом пиков оказались больше похожими на предгорья.
Высочайшие вершины не покоряются с одной попытки. Экспедиции тщательно расставляют базовые лагеря и протягивают верёвки, а потом медленно взбираются на пик. В математике для атаки серьёзной проблемы часто тоже требуется возвести сложные структуры. Прямая атака считается глупой и наивной. На постройку этих вспомогательных математических конструкций иногда уходят века, и в итоге они иногда оказываются более ценными, чем покорённая теорема. Тогда эти леса становятся постоянным дополнением к архитектуре математики.
Прекрасным примером этого явления будет доказательство великой теоремы Ферма, которое получил в 1994 году Эндрю Джон Уайлс. Известно, что свою гипотезу Ферма написал на полях «Арифметики» Диофанта в 1639. Но её доказательство потребовало более чем трёхсот лет для разработки математических инструментов. В частности, математикам пришлось создать весьма передовую комбинацию теории чисел и геометрии. Эта новая область, арифметическая геометрия, сейчас является одной из глубочайших и далеко заходящих математических теорий. Она заходит далеко за пределы гипотезы Ферма, и использовалась для решения многих выдающихся вопросов.
Великая гипотеза также должна быть глубокой и находиться в самой середине математики. На самом деле, метафора с покорением пика не отражает всех последствий получения доказательства. Его получение — это не конечная цель тяжёлого путешествия, а отправная точка ещё более великого приключения. Более подходящим образом будет горный перевал, седловина, позволяющая путешественнику перейти из одной долины в другую. Именно это делает гипотезу Римана настолько мощной и популярной. Она раскрывает множество других теорем и идей, и из неё следуют обширные обобщения. Математики занимаются изучением богатой долины, к которой она даёт доступ, несмотря на то, что та пока остаётся чисто гипотетической.
Более того, гипотезу должны поддерживать достаточно сильные свидетельства. Известное высказывание Нильса Бора: «Противоположность правильного высказывания ложное высказывание. Но противоположностью глубокой истины может быть другая глубокая истина». Однако для великой гипотезы это явно не так. Поскольку обычно в её пользу говорят обширные косвенные свидетельства, её отрицание кажется маловероятным. К примеру, первые 10 триллионов случаев гипотезы Римана были проверены численно на компьютере. Кто до сих пор может сомневаться в её верности? Однако такой поддерживающий материал не удовлетворяет математиков. Они требуют абсолютной уверенности и хотят знать, почему гипотеза истинна. Только убедительное доказательство может дать такой ответ. Опыт показывает, что человека легко обмануть. Контрпримеры могут прятаться довольно далеко, как, например, тот, что нашёл Ноам Элкис, математик из Гарварда, опровергнувший гипотезу Эйлера, вариацию гипотезы Ферма, которая говорила, что число в четвёртой степени нельзя записать в виде трёх других чисел в четвёртой степени. Кто мог бы догадаться, что в первом контрпримере будет число из 30 цифр?
20 615 6734 = 2 682 4404 + 15 365 6394 + 18 796 7604
У лучших гипотез обычно бывают довольно скромные корни, как мимолётное замечание Ферма на полях книги, однако их последствия с годами растут. Также полезно, если гипотезу можно выразить кратко, предпочтительно, через формулу с небольшим количеством символов. Хорошая гипотеза должна умещаться на футболке. К примеру, гипотеза Гольдбаха гласит: «Любое чётное число, начиная с 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел». Эта гипотеза, сформулированная в 1742 году, до сих пор не доказана. Она стала знаменитой благодаря повести «Дядя Петрос и проблема Гольдбаха» греческого автора Апостолоса Доксиадиса, не в последнюю очередь из-за того, что издатель в качестве рекламной уловки предложил $1 тому, кто сможет доказать её в течение двух лет после выхода книги. Лаконичность гипотезы складывается с её внешней красотой. Можно даже определить математическую эстетику как «объём влияния на один символ». Однако такая элегантная красота может быть обманчивой. Самые краткие формулировки могут потребовать самых длинных доказательств, что вновь демонстрирует обманчиво простое наблюдение Ферма.
К этому списку критериев можно, пожалуй, добавить ответ знаменитого математика Джона Конвея на вопрос о том, что делает гипотезу великой: «Она должна быть вопиющей». Привлекательная гипотеза также несколько смехотворна или фантастична, с непредвиденной областью влияния и последствиями. В идеале она комбинирует компоненты из далёких друг от друга областей, которые раньше не встречались в одном утверждении, как неожиданные ингредиенты выразительного блюда.
Наконец, полезно будет уяснить, что приключение не всегда оканчивается успехом. Как перед альпинистом может встать непреодолимая расселина, так и математики могут потерпеть поражение. И если они проигрывают, то проигрывают полностью. Нет такой вещи, как доказательство на 99%. Два тысячелетия люди пытались доказать гипотезу о том, что пятую аксиому Евклида — печально известную аксиому параллельности, говорящую о том, что параллельные прямые не пересекаются — можно вывести из четырёх предыдущих аксиом планиметрии. А затем, в начале XIX века математики создали конкретных примеры неевклидовой геометрии, опровергнув эту гипотезу.
Но на этом геометрия не закончилась. В каком-то извращённом смысле опровержение великой гипотезы может оказаться даже лучшей новостью, чем её доказательство, поскольку неудача говорит о том, что наше представление о математическом мире сильно отличается от действительности. Проигрыш может быть продуктивным, чем-то противоположным пирровой победе. Неевклидова геометрия оказалась важным предшественником эйнштейновского искривлённого пространства-времени, играющего такую важную роль в современном понимании гравитации и космоса.
Сходным образом, когда Курт Гёдель опубликовал свою знаменитую теорему о неполноте в 1931 году, показавшую, что в любой формальной математической системе существуют истинные утверждения, которые нельзя доказать, он, по сути, ответил отрицательно на одну из проблем Гильберта, касающуюся непротиворечивости аксиом арифметики. Однако теорема о неполноте — которую часть считают величайшим достижением логики со времён Аристотеля — не провозгласила конец математической логики. Вместо этого она привела к расцвету, приведшему к разработке современных компьютеров.
Так что, в итоге у поисков решения великих гипотез есть несколько иные общие черты с горными экспедициями к высочайшим пикам. Только когда все вернулись домой, в безопасность — неважно, была ли достигнута цель, или нет — становится ясной истинная ширь приключения. И тогда наступает время героических историй о восхождении.
