[Перевод] Stacks Project — учебник по алгебраической геометрии с открытым исходным кодом07.02.2022 23:46

Профессор математики Колумбийского университета Йохан де Йонг

Последние 15 лет профессор Колумбийского университета Йохан де Йонг посвятил тому, что собирал основополагающие теоремы алгебраической геометрии в одном месте. Его творение, Stacks Project, предлагает новую модель организации и визуализации математических сведений.

К старту флагманского курса по Data Science рассказываем о проекте профессора.

В начале пандемии Stacks Project пересёк новый рубеж: 7000 страниц из разделов, теорем, лемм и доказательств. Но, в отличие от предшествующих тысячных отметок, эту не отпраздновали.

«Грустно, но мы знаем, почему, — написал в своём блоге де Йонг. — Главным новым дополнением, которое помогло нам преодолеть раздражающие трудности, стала глава о производных категориях переменных. Надеюсь, она вам понравится».

В блоге проекта профессор держит читателей в курсе изменений на сайте Stacks Project и текущих тем для обсуждения

С этим радостным обновлением Йохан де Йонг вернулся к работе и устремил взгляд на новые трудности. Проект на 7300 страниц выглядит как традиционный учебник, но щёлкните по 114 главам — и на экран посыплются уравнения и комментарии, по кусочкам раскрывающие шесть десятилетий науки.

Stacks Project стал столь популярным среди геометров — так себя называют математики, которые специализируются на алгебраической геометрии, — что вдохновил на прорывы в других областях. Сайт Kerodon смоделирован после Stacks Project, и его создатели надеются: он сделает для топологии то же, что Stacks Project сделал для алгебраической геометрии.

«Stacks Project — потрясающая новая модель хранения и распространения большого объёма знаний», — считает математик Института перспективных исследований и создатель проекта Kerodon Джейкоб Лурье.

Американское математическое общество недавно удостоило Йонга своей высшей награды — Премии Стила [в номинации «За математическое изложение»].

«Материал не плоский, каким он был тысячи лет, — рассказывает профессор математики из Калифорнийского университета в Сан-Диего Киран Кедлая. — Всё разбито на части со ссылками. Этот слой организации позволяет искать наугад. Он снижает пороги входа даже для людей, работающих над темой».

«Без Йонга Project Stacks не было бы», — утверждает Макс Либлих, профессор Вашингтонского университета и бывший студент Йохана.

Случайный читатель найдёт на Project Stacks лишь несколько знакомых имён — Пифагора или Гаусса. Но математика представлена перед нами треугольниками и кривыми, заложена в повседневную жизнь: криптография основана на эллиптических кривых, которые описываются алгебраической геометрией; карты улиц; программное обеспечение распознавания лиц использует алгебраическую геометрию, чтобы реконструировать трёхмерный мир на плоском экране.

В своей основе алгебраическая геометрия изучает круги и другие простые фигуры, которые описываются уравнениями, например x2 + y2 = 1. В 1960-x французский математик Александр Гротендик в труде «Элементы алгебраической геометрии» заложил фундамент современной алгебраической геометрии. В нём Гротендик представил теорию схем, комбинацию алгебры и геометрии для описания фигур как обычных кругов или как необычных многообразий с бесконечной размерностью, которые определяются мнимыми числами. 

Алгебраические стеки появились в 1970-x, когда математики осознали необходимость в гибком способе классификации фигур в более абстрактных ситуациях. Стеки, например, позволяют рассчитать, сколькими способами на недеформированной плоскости можно расположить два треугольника одинаковой формы.

Блок-схема логических следствий доказательства на Stacks Project

Но теория алгебраических стеков никогда не излагалась столь же исчерпывающе, как это сделал Гротендик со схемами. В 2008 году Йонг исправил это. «Я подумал, что неплохо было бы собрать все эти результаты в одном месте, чтобы было легче ссылаться на них», — рассказывает Йонг.

11 лет спустя, написав последнее уравнение, он осознал, как много ещё предстоит сделать: исправить ошибки, выстроить определения, добавить понятия и ссылки. «В некоторой степени это то, что я делаю сейчас, — рассказывает он, — и как будто не могу остановиться».

Один из факторов, подпитывающих страсть Йонга, — огромные размеры задачи. Проект на 7300 страниц охватывает только половину алгебраической геометрии в виде стеков. Другой мотивирующий фактор — мгновенная публикация онлайн. Благодаря гиперссылкам и облаку тегов Stacks Project — это интерактивный документ, требующий обновлений и поправок так же, как растения требуют воды и солнечного света.

«Stacks Project не статичен, потому что не статична алгебраическая геометрия, — рассказывает Кедлайа, бывший студент Йонга. — Тема продолжает расширяться, даже на уровне основ. Система построена для бесконечного расширения, новый материал для включения есть всегда».

И красота системы в том, что, как бы она ни росла, благодаря предложенной Кэти О«Нил системе тегов поиск по Stacks Project останется простым. Кэти — автор бестселлера Weapons of Math Destruction и, как оказалось, жена де Йонга.

Stacks Project — онлайн-Библия алгебраической геометрии, созданная и поддерживаемая Йоханом де Йонгом, позволяет математикам визуализировать понятия и видеть их связи между собой. Здесь вы видите знаменитый результат из коммутативной алгебры на Stacks Project: логические следствия доказательства структурной теоремы Коэна для полных локальных колец. Тег верхнего уровня, 032А, представляет теорему; стрелки показывают, как соединяются понятия

«Начинаешь видеть структуру математики, возникающую из этого документа», — рассказывает профессор математики из Вашингтонского университета, Макс Либлих.

Альтернативная визуализация структурной теоремы Коэна и пересечений связанных понятий

Не всякий готов взять на себя сизифов труд такой величины. Коллеги описывают де Йонга как упорного, настойчивого и увлечённого преподаванием человека, который принимает до 4 раз больше студентов как равных себе аспирантов, отказываясь дважды преподавать курс с одним и тем же подходом. В один учебный год профессор вёл занятия второго семестра в стиле серий «Спроси у меня что-нибудь». Говорят, что важную роль в успехе Stacks Project сыграл преподавательский стаж Йонга, который освободил профессора от связанной с публикациями академической работы.

И эти требовательные стандарты Йонга отличают Stacks Project от других краудсорсинговых публикаций в сети. «Йохан рассвирепел, когда я назвал проект Stackopedia, — делится Кедлая. — Он читает каждую попадающую в проект строку».

Модель с одним редактором позволяет Stacks Project поддерживать единственное мнение и высокий уровень контроля качества. Но, в отличие от рецензируемой литературы, в которой всё пытаются загнать в одно место, Stacks Project создан развиваться. Эти накопления знания и после ухода Йонга будут долго расти.

«Я хочу, чтобы проект был живым и продолжал меняться», — говорит Йонг о своём творении.

Ссылки

Продолжить изучение математики вы сможете на наших курсах:

Узнайте подробности здесь.

Профессии и курсы

© Habrahabr.ru