[Перевод] Разбираемся в физике частиц: 2) квантовый шар на пружине18.07.2017 01:52

Ключевым результатом предыдущей статьи стало то, что колебательное движение шара на пружине в доквантовой физике Ньютона и его друзей принимает вид

$ z(t) = z_0 + A cos [ 2 π ν t ] $

Где:
• z — положение шара как функция времени t,
• z0 — положение равновесия шара (где он покоился бы, если бы не колебался),
• A — амплитуда колебаний (которую мы можем выбирать сколь угодно большой или малой),
• ν [ню] — частота колебаний (зависящая только от силы пружины К и массы шара М, и не зависящая от А).

Кроме того, общая энергия, хранящаяся в колебании, равна

$ E = 2 π^2 ν^2 A^2 M $

Изменяя А, мы можем сохранить в колебании любое количество энергии.
В квантовой механике всё меняется. На первый взгляд (а нам больше и не надо), меняется только одно — утверждение, что амплитуду колебаний мы можем выбирать сколь угодно большой или малой. Оказывается, что это не так. Соответственно, и энергию, хранящуюся в колебании, нельзя выбирать произвольно.

Рис. 1

Квантование амплитуды колебаний

Макс Планк, знаменитый физик начала XX века, открыл, что во Вселенной есть нечто квантовое, и ввёл новую константу природы, которую называют постоянной планка, h. Каждый раз, встречая что-либо в квантовой механике, вы увидите и h. Количественно,

$h = 6,626068 \times 10^{-34} м^2 кг/с$

— очень малая величина для обычной человеческой жизни. И вот, что выходит:

Квантовый шар на пружине может колебаться только с амплитудами

$A = (1/2 π) \sqrt{ 2 n h / ν M }$

Где n — целое, например, 0, 1, 2, 1798 или 2 348 979. Колебания не произвольные, а квантованные: мы можем называть n квантом колебаний. Определение: мы говорим, что шар, колеблющийся с квантом n, находится в n-ном возбуждённом состоянии. Если квант нулевой, мы говорим, что он находится в основном состоянии.

Чтобы дать вам понять, что это значит, пять первых возбуждённых состояний, и основное состояние, показаны (довольно наивно — не стоит принимать изображение слишком всерьёз) на рис. 1. Минимальное из возможных колебаний происходит в состоянии n = 1. Это квант колебаний; доли кванта не бывает. Шар не может колебаться меньше, если только не находится в состоянии без колебаний, когда n = 0.

Всё остальное, на первый взгляд, такое же. Но на самом деле история квантовой механики гораздо более запутанная! Но пока мы можем отойти от этой путаницы и использовать практически на 100% верную физику.

Почему мы не можем сказать, что колебания квантуются, исходя из своего опыта? Потому что в повседневных системах квантование слишком мало. Возьмём реальные шар и пружину — допустим, шар весит 50 гр, а частота его колебаний — раз в секунду. Тогда колебанию для одного кванта, n = 1, будет соответствовать амплитуда

$A = (1/2 π) \sqrt{ 2 n h / ν M } = 1,8 \times 10^{-16} м$

Это пара десятков тысячных миллионной от миллионной доли метра, или в 10 раз меньше протона! Один квант колебаний не сдвинет шар даже на расстояние порядка размера атомного ядра! Не удивительно, что мы не видим никакого квантования! Если шар двигается на видимое расстояние, в нём содержится огромное число квантов — и для таких больших n с нашей точки зрения мы можем сделать любую A, см. рис. 2. Мы не можем измерить А достаточно точно, чтобы заметить такие тонкие ограничения на её величину.

Рис. 2. Амплитуда колебаний А для состояния n. Для малых n отдельные значения А лежат далеко друг от друга, но уже для n = 100 разрешённые значения А лежат так близко, что дискретность заметить уже очень сложно. В повседневных ситуациях значения n настолько велики, что дискретность заметить невозможно.

Заметьте, что в частности такие значения получаются из-за большой массы шара. Если бы шар состоял из 100 атомов железа и был бы радиусом в одну тысячную миллионной доли метра, его минимальная амплитуда составляла бы одну миллионную от метра, то есть она была бы в тысячу раз больше его радиуса. И это достаточно большая величина, чтобы её можно было увидеть в микроскоп. Но такой мелкий шарик подвергался бы воздействию сил, работающих на атомных масштабах, и колебался бы гораздо быстрее, чем раз в секунду –, а большая частота соответствует малым амплитудам. Так что даже с мелким шаром довольно нелегко заметить квантование природы.

Квантование энергии колебаний

Теперь возьмём квантование амплитуды, и разместим его в формулу для энергии колебаний, которую мы уже упоминали в начале статьи, $ E = 2 π^2 ν^2 A^2 M $ . Подставив в неё разрешённые значения для А, мы получим удивительный результат:

$ E = n h ν $

Удивительно простой ответ! Энергия, хранящаяся в квантовом шаре на пружине (наивно говоря) пропорциональна n, количеству квантов колебаний, постоянной планка h и частоте колебаний ν. Что ещё более удивительно, эта простая формула на самом деле почти точная! Что она показывает верно?
• Энергия, которую необходимо затратить на увеличение количества квантов в колебаниях на единицу, (n → n+1), равна h ν.
• В любом осцилляторе, встреченном в повседневной жизни, энергия одно кванта будет столь малой, что мы никогда не узнаем об её квантовании.

Проверим. Для шара с пружиной, колеблющихся раз в секунду, один квант энергии будет равен 6,6 × 10–34 Дж, или 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 66 Джоулей. А Джоуль — это энергия, которую вы потратите, поднимая яблоко с земли до уровня пояса — не такая уж и большая! Так что это невероятно малое количество энергии. Только в малых молекулах и ещё меньших по размеру системах частота колебаний может быть такой большой, чтобы квантование энергии можно было обнаружить.

Оказывается, что формула для энергии не совсем верная. Выполнив настоящие подсчёты для квантовой механики, можно обнаружить, что правильная формула для энергии будет такой:

$ E = (n + 1/2) h ν $

Нам часто не обязательно обращать внимание на этот небольшой сдвиг n на ½. Однако он весьма интересен — именно с него и начинается вся запутанность квантовой механики. Разве это не любопытно? Даже если в осцилляторе вообще нет квантов колебаний, когда n = 0, в нём всё равно содержится небольшое количество энергии. Она называется энергией нулевых колебаний, или нулевой энергией, и берётся из основного дрожания, основной непредсказуемости, живущей в самом сердце квантовой механики. Посмотрите на рис. 3, который, неизбежно схематично и неточно, пытается продемонстрировать, как дрожание отвечает за нулевую энергию. Шар двигается случайным образом, даже в основном состоянии. В дальнейшем мы вернёмся к нулевой энергии, поскольку она приведёт нас к самым глубинным проблемам всей физики.

Рис. 3. Фундаментальную непредсказуемость квантовой механики можно представлять себе, как случайное дрожание, меняющее позицию шара. Он случайно двигается даже в основном состоянии, а также влияет и на возбуждённые, хотя при увеличении n его влияние уже не так заметно. Рисунок схематичный, и его не следует воспринимать слишком серьёзно.