[Перевод] Новая геометрическая перспектива помогла раскусить старую задачу о прямоугольниках
Джошуа Грин и Эндрю Лобб, скучая на карантине, придумали, как доказать один из вариантов теоремы о прямоугольных колышках
Можно ли найти в замкнутой петле все виды прямоугольников?
В середине марта математики Джошуа Грин и Эндрю Лобб оказались в сходном положении — закрыты в четырёх стенах, пытаясь приспособиться к росту эпидемии коронавируса. Они решили справиться с ней, углубившись в свои исследования.
«Думаю, что пандемия послужила определённым катализатором этого процесса, — сказал Грин, профессор Бостонского колледжа. — Мы решили, что будет лучше налечь на какую-нибудь совместную работу, которая сможет поддержать нас».
Одна из проблем, которой решили заняться два друга, был вариант геометрического вопроса, остававшегося без ответа более ста лет.
«Эту задачу крайне просто сформулировать и понять, однако она очень сложная для решения», — сказала Элизабет Денн из Университета Вашингтона и Ли.
Всё начинается с замкнутой петли — любого искривлённого пути, у которого совпадают начало и конец. Задача, за которую взялись Грин и Лобб, по сути, утверждает, что в любом таком пути найдутся наборы из четырёх точек, составляющих вершины прямоугольника любой заданной пропорции.
И хотя эта «задача с прямоугольными колышками» звучит как вопрос, с которым может справиться любой старшеклассник с линейкой и циркулем, он сопротивлялся самым настойчивым попыткам математиков много десятилетий. И когда за него взялись Грин и Лобб, у них не было причин ожидать чего-то другого.
Грин сказал, что из всех сложных проектов, над которыми он работал, «этот, по-моему, был наименее многообещающим».
Но пандемия разрасталась, и Грин и Лобб, работающие в Даремском университете в Англии и Окинавском научно-техническом институте, соответственно, еженедельно разговаривали по Zoom и быстро породили несколько идей. И затем 19 мая, когда многие части мира вновь стали открываться, они опубликовали своё решение.
Их итоговое доказательство, где показано, что прямоугольники действительно можно найти, выносит эту проблему на совершенно другой геометрический уровень. И там этот упрямый вопрос поддаётся уже крайне легко.
«Это довольно странно, — сказал Ричард Шварц из Брауновского университета. — Эта идея идеально подошла к этой задаче».
Переосмысливая прямоугольники
Задача о прямоугольных колышках тесно связана с вопросом, поставленным немецким математиком Отто Тёплицем в 1911 году. Он предсказал, что на любой замкнутой кривой можно найти четыре точки, соединяя которые, можно получить квадрат. Этот его вопрос о «квадратных колышках» остаётся открытым.
«Это старая и неприятная задача, которую никак не могут взломать», — сказал Грин.
Чтобы понять всю сложность задачи, важно узнать свойства кривых, которые рассматриваются в задаче квадратных колышков — это важно и для доказательства Грина и Лобба.
Эта парочка решила задачу для замкнутых кривых, одновременно «непрерывных» и «гладких». Непрерывность означает отсутствие разрывов. Гладкость означает непрерывность и отсутствие углов. Вы, вероятно, нарисуете гладкую непрерывную кривую, если сядете за стол с бумагой и карандашом. С ними «легче работать», — сказал Грин.
Гладкие непрерывные кривые отличаются от просто непрерывных, но не гладких кривых — таких, которые участвуют в гипотезе Тёплица про квадратные колышки. У такой кривой могут быть углы — точки, в которых кривая внезапно отклоняется и идёт в другом направлении. Один яркий пример кривой со множеством углов — похожая на снежинку фрактальная кривая Коха, по сути, состоящая из одних углов. Снежинка Коха и другие подобные кривые невозможно анализировать алгебраическими методами, из-за чего их особенно тяжело изучать.
«Некоторые непрерывные [не гладкие] кривые просто отвратительны», — сказала Денн.
Но всё-таки, решённая Грином и Лоббом задача от носится к гладким, и, следовательно, непрерывным кривым. И вместо того, чтобы разбираться в том, всегда ли на таких кривых есть четыре точки, образующие квадрат — для гладких непрерывных кривых этот вопрос был решён в 1929 году — они изучали другое: всегда ли на таких кривых есть четыре точки, формирующие прямоугольник любых заданных пропорций, т.е. с любым отношением длин сторон. У квадрата это отношение равно 1:2, у телевизоров высокого разрешения — 16:9.
Первый серьёзный прорыв в задаче прямоугольных колышков появился в доказательстве, найденном в конце 1970-х Гербертом Воном. Оно предложило новый способ рассмотрения геометрии прямоугольников и дало несколько методов, которыми позже воспользовались другие математики, включая Грина и Лобба.
«Это доказательство всем известно, — сказал Грин. — Оно почти фольклорное, о таких вещах узнаёшь, обсуждая всякое за обеденным столом».
Вместо того, чтобы представлять себе прямоугольник в виде четырёх соединённых точек, Вон представил его как две пары точек, находящихся в определённых отношениях друг с другом.
Представьте себе прямоугольник с вершинами ABCD. В нём расстояние между точками AC (по диагонали) равно расстоянию между точками BD (по другой диагонали). Также эти диагонали пересекаются ровно посередине.
Поэтому при поиске прямоугольников на замкнутой петле можно искать пары точек, лежащих на концах одинаковых отрезков, пересекающихся посередине. А чтобы их найти, важно придумать систематический способ их описания.
Чтобы понять, что это значит, начнём с чего-то попроще. Возьмём числовую прямую. Выберем на ней две точки — допустим, числа 7 и 8 — и построим их в виде одной точки на числовой плоскости (7, 8). Также мы можем строить точки, представляющие собой пару одинаковых чисел (7, 7). Теперь рассмотрим все возможные пары чисел, которые можно найти на числовой прямой (а их много!). Если мы построим все пары таких чисел, то мы заполним всю числовую плоскость. Другой способ выразить это — сказать, что числовая плоскость «параметризует», то есть, собирает упорядоченным образом все пары чисел на числовой прямой.
Вон сделал нечто подобное с парами точек на замкнутой кривой. Она, как и числовая прямая, одномерная, только замыкается на себя. Он понял, что если взять пары точек с кривой, и построить из них фигуру (и неважно, какая из них будет координатой х, а какая — у), то плоскость не получится. Вместо этого получится неожиданная фигура — лента Мёбиуса, двумерная поверхность только с одной стороной.
И в некотором смысле это вполне логично. Чтобы понять, почему — выберите пару точек на кривой, и назовите их х и у. Теперь перемещайтесь от х к у, двигаясь по одной части кривой, и одновременно — от у к х, двигаясь по противоположной. В процессе вы пройдёте через все пары точек кривой, начав и закончив на неупорядоченной паре (х, у). Но при этом вы вернётесь в самое начало — только конечная последовательность точек будет противоположной начальной. Петля неупорядоченных точек, меняющая ориентацию на противоположную — и есть суть ленты Мёбиуса.
Эта лента даёт математикам новый объект, который можно анализировать в рамках решения задачи прямоугольных колышков. Вон использовал этот факт для доказательства того, что на любой кривой найдётся хотя бы один набор из четырёх точек, формирующих квадрат.
Четырёхмерные ответы
Доказательство Грина и Лобба основывается на работе Вона. Однако также оно комбинирует несколько дополнительных результатов, некоторые из которых появились относительно недавно. Окончательное доказательство похоже на точный инструмент, желаемый результат работы которого полагается на тщательно выверенную комбинацию идей.
Один из первых основных ингредиентов их доказательства появился в ноябре 2019 года, когда аспирант Принстонского университета Коул Хьюгельмейер опубликовал работу, продемонстрировавшую новый способ анализа ленты Мёбиуса, использованной Воном. В ней использовался математический процесс, известный как «вложение» — это когда мы берём объект и проецируем его на геометрическое пространство. В итоге Грин и Лобб взяли технику Хьюгельмейера и перенесли её ещё в одно геометрическое пространство. Но чтобы понять, что они сделали, сначала нужно разобраться в том, что он сделал.
Приведём простой пример вложения.
Начнём с одномерной прямой. Каждая точка прямой определяется единственным числом. Теперь вложим эту прямую в двумерное пространство — то есть, нарисуем её на плоскости.
После вложения прямой на плоскость ху, каждая точка в ней определяется уже двумя числами — координатами х и у, описывающими, где конкретно на плоскости находится точка. Теперь можно анализировать прямую при помощи техник из двумерной геометрии.
Идея Хьюгельмейера состояла в том, чтобы взять что-то типа ленты Мёбиуса, но вложить её в четырёхмерное пространство, где свойства четырёхмерной геометрии позволят доказать нужные результаты.
«По сути, у вас есть лента Мёбиуса, и каждой её точке нужно присвоить четыре координаты. Это будет что-то вроде адреса точки в четырёхмерном пространстве», — сказал Лобб.
Хьюгельмейер так назначил эти адреса, чтобы было проще прийти к основной цели, поиску прямоугольников на кривой. Можно сказать, что он присвоил каждой точке кривой что-то вроде почтового адреса — штат, город, название улицы и номер дома.
Для этого он начал с конкретной точки на ленте Мёбиуса и взял две точки на изначальной замкнутой кривой, которые она обозначала. Затем он нашёл середину отрезка, соединяющего эти точки, и определил её координаты х и у. Получились первые два значения четырёхмерного адреса (штат и город).
Затем он измерил расстояние между двумя изначальными точками на кривой. Эта длина стала третьим значением четырёхмерного адреса (название улицы). Наконец, он подсчитал угол между отрезком, соединяющим две изначальных точки и осью х. Этот угол стал четвёртым значением четырёхмерного адреса (номер дома). Четыре этих значения сообщают вам всё о паре точек на кривой.
Это упражнение кажется достаточно сложным, однако оно быстро окупилось. Хьюгельмейер взял вложенную ленту Мёбиуса и повернул её. Повёрнутая лента Мёбиуса сдвинулась относительно изначального положения, и две копии ленты пересеклись. Поскольку поворот произошёл в четырёхмерном пространстве, форму самопересечения ленты Мёбиуса представить сложно –, но математически описать легко.
Это пересечение представляло большую важность. Когда две копии ленты Мёбиуса налагаются друг на друга, на оригинальной замкнутой кривой можно найти две пары точек, формирующих четыре вершины прямоугольника.
Почему?
Во-первых, вспомните, что прямоугольник можно представить в виде двух пар точек с общим центром пересечения соединяющих их отрезков одинаковой длины. Именно эта информация закодирована в трёх первых значениях четырёхмерного адреса, назначенного каждой точке вложенной ленты Мёбиуса.
Во-вторых, в четырёхмерном пространстве можно так развернуть ленту Мёбиуса, чтобы поменять только одну из координат каждой точки в её четырёхмерном адресе — номер дома меняется, но улица, город и штат остаются. В качестве примера вспомните, что если взять кирпич, расположить его перед собой, а потом сдвинуть вправо, то изменится только его координата х, но не у или z.
Лента Мёбиуса в четырёхмерном пространстве тут обозначена двумерной кривой. Точка пересечения двух копий соответствует двум парам точек изначальной замкнутой кривой, формирующим прямоугольник.
Хьюгельмейер объяснил, как следует поворачивать ленту Мёбиуса в четырёхмерном пространстве, чтобы две координаты, обозначающие середину отрезков, соединяющих пары, не менялись — как и координаты, обозначающие расстояние между парами точек. Его поворот менял только последнюю координату — содержащую информацию об угле, под которым находится соединяющий точки отрезок.
В итоге пересечение повёрнутой копии ленты Мёбиуса и её оригинала точно соответствовало двум парам точек, расположенных на замкнутой кривой, имеющих общий центр (пересечения соединяющих их отрезков) и находящихся на одинаковом расстоянии друг от друга. То есть, это пересечение соответствовало четырём вершинам прямоугольника на кривой.
Стратегию использования пересечения двух пространств для поиска нужных точек давно использовали в работах над задачами квадратных и прямоугольных колышков.
«В точке пересечения этих пространств и находится искомое, — сказала Денн. — Во многих доказательствах из истории квадратных колышков есть такая идея».
Хьюгельмейер использовал стратегию работы с пересечением в четырёхмерном окружении и получил больше, чем удавалось кому-либо до него. Ленту Мёбиуса можно повернуть на любой угол от 0° до 360°, и он доказал, что треть из всех этих поворотов даёт пересечение оригинала и повёрнутой копии. Это эквивалентно заявлению о том, что на замкнутой кривой можно найти прямоугольники с третью из всех возможных пропорций сторон.
«Отдадим должное Коулу за то, что он догадался поместить ленту Мёбиуса в четырёхмерное пространство и воспользоваться четырёхмерными техниками», — сказал Грин.
В то же время результат Хьюгельмейера оказался провокационным: если четырёхмерное пространство настолько полезно для работы с этой задачей, почему оно оказалось полезным только для трети всех прямоугольников?
«В конце концов, должен же быть способ достать и оставшиеся две трети, — сказал Грин. — Но как?»
Симплектический подход
Грин и Лобб интересовались проблемой прямоугольных колышков ещё до того, как пандемия разогнала их по домам. В феврале Лобб принимал в Окинавском научно-технологическом институте конференцию, посетителем которой стал и Грин. Эта парочка провела пару дней за разговорами об этой задаче. После этого они ещё неделю обсуждали её, попутно осматривая достопримечательности Токио.
«Мы не прекращали обсуждать эту задачу, — сказал Лобб. — Мы ходили по ресторанам, кафешкам, музеям, и периодически у нас появлялись мысли по этому поводу».
Свои обсуждения они продолжали даже после того, как оказались запертыми по домам. Они надеялись доказать, что любой поворот ленты Мёбиуса даст точку пересечения — что эквивалентно тому, что можно найти прямоугольники с любыми пропорциями.
В середине апреля у них сформировалась стратегия. Она подразумевала вложение ленты в особую разновидность четырёхмерного пространства. Обычное вложение подразумевает, что вы размещаете нужный объект любым способом. Представьте, сколькими способами можно вложить одномерную замкнутую кривую в двумерную плоскость — их число бесконечно, как бесконечно число способов, которым можно расположить завязанную в петлю ниточку на столе.
Но, допустим, что у двумерной поверхности, в которую вы вкладываете петлю, есть своя структура. Представим, например, карту, стрелочками (или векторами) обозначающую нам, в каком направлении и с какой скоростью дует ветер на поверхности Земли. И вот у вас уже есть двумерная поверхность с дополнительной информацией, или структурой, в каждой точке.
Затем вы можете ввести ограничения — одномерную ЗП нужно вкладывать на карту так, чтобы она всегда следовала направлениям стрелочек на карте.
«Вы ограничиваете дело так, чтобы кривая следовала за этими векторами», — сказал Шварц. И теперь у вас есть уже меньше способов разместить кривую.
Другие геометрические пространства могут налагать другие ограничения. Важным для работы Грина и Лобба оказалось т.н. симплектическим пространством.
Такое геометрическое понятие впервые появилось в XIX веке при изучении таких физических систем, как движущиеся по орбитам планеты. Положение планеты, двигающейся в трёхмерном пространстве, определяют три координаты. Но, как заметил ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон, в каждой точке пути движения планеты можно также разместить и вектор, обозначающий её импульс.
В 1980-х советский и российский математик Владимир Игоревич Арнольд развил изучение симплектической геометрии. Он понял, что геометрические пространства симплектической структуры при повороте пересекаются сами с собой чаще, чем пространства, такой структуры не имеющие.
Это идеально подходило для Грина и Лобба, поскольку они хотели решить задачу прямоугольных колышков для всех пропорций, доказав, что повёрнутая копия параметризующей ленты Мёбиуса тоже часто самопересекается. Поэтому они начали пытаться вложить двумерную ленту Мёбиуса в четырёхмерное симплектическое пространство. «Кардинально новой идеей стал подход к этой задаче с точки зрения симплектической геометрии, — сказал Грин. — И это всё поменяло».
К концу апреля Грин и Лобб определили, что ленту Мёбиуса возможно вложить в четырёхмерное симплектическое пространство так, чтобы она пришла в соответствие с его структурой. После этого они могли начать использовать инструменты симплектической геометрии, многие из которых напрямую связаны с вопросом самопересечений.
«Если ленту Мёбиуса можно заставить следовать симплектическим правилам, можно будет использовать некоторые из симплектических теорем», — сказал Лобб.
Грин и Лобб были уверены в том, что могут улучшить результат Хьюгельмейера — то есть, доказать, что пересечение появляется не только у трети всех поворотов. Это будет значить, что из точек кривой можно будет составить прямоугольники более чем с третью из всех возможных пропорций.
«Когда у нас появилась эта идея, стало ясно, что что-то произойдёт», — сказал Лобб.
Однако их результат оказался более общим, и появился гораздо быстрее, чем они ожидали. Всё благодаря странному математическому объекту — бутылке Клейна, у которой в контексте симплектической геометрии есть одно важное свойство.
Связь с бутылкой Клейна
Бутылка Клейна — это двумерная поверхность, похожая на кувшин работы модерниста. У неё, как и у ленты Мёбиуса, только одна поверхность, и её можно сделать, склеив две ленты Мёбиуса. Любая бутылка Клейна, которую можно собрать и поставить у себя на столе (как делают многие математики), пересекает саму себя. Невозможно вложить бутылку Клейна в трёхмерное пространство так, чтобы она себя не пересекала.
«Бутылка Клейна должна быть поверхностью, но её ручке, чтобы пройти снаружи внутрь, нужно пробиться через саму бутылку», — сказал Шварц.
Однако это не обязательно так. Бутылку Клейна можно вложить в четырёхмерное пространство так, чтобы она не пересекала себя. Четвёртое измерение даёт пространство для манёвра, и бутылка Клейна может обойти себя. Это можно сравнить с тем, как если два человека пойдут навстречу друг другу по одномерной линии, то они не смогут избежать столкновения, но если они пойдут по двумерному полу, они легко смогут отвернуть.
В мае Грин и Лобб вспомнили один факт, касающийся бутылки Клейна — её невозможно вложить в четырёхмерное симплектическое пространство так, чтобы она себя не пересекала [из работы ещё одного российского математика, Всеволода Викторовича Шевчишина, касающуюся лагранжева вложения бутылки Клейна в четырёхмерное пространство / прим. перев.]. Иначе говоря, не существует бутылки Клейна без самопересечения, удовлетворяющей всем требованиям симплектического пространства. Этот факт стал ключевым для доказательства. «Это была волшебная палочка», — сказал Грин.
И вот, почему. Грин и Лобб уже показали, что ленту Мёбиуса возможно вложить в четырёхмерное симплектическое пространство так, чтобы она удовлетворяла его требованиям. Им нужно было только понять, каждый ли поворот ленты Мёбиуса пересекает изначальную копию.
Однако две пересекающиеся ленты Мёбиуса эквивалентны бутылке Клейна, которая в таком пространстве себя пересекает. А если вы повернёте ленту Мёбиуса так, чтобы повёрнутая копия не пересекалась с оригиналом, вы получите бутылку Клейна, не пересекающую себя. Но такой бутылки Клейна в четырёхмерном симплектическом пространстве существовать не может. Следовательно, любой возможный поворот вложенной ленты Мёбиуса тоже должен себя пересекать — то есть, на каждой замкнутой гладкой кривой можно найти четыре точки, формирующие прямоугольник любых пропорций.
Окончание доказательства обрушивается на читателя как лавина.
«Там сначала идёт настройка, настройка, настройка, а потом хрясь — и доказательство готово», — сказала Денн.
Доказательство Грина и Лобба — хороший пример того, как решение задачи часто зиждется на поиске правильной точки зрения. Поколения математиков не смогли справиться с этим вариантом задачи о прямоугольных колышках, поскольку пытались решить её в более традиционных геометрических условиях. Когда Грин и Лобб перенесли задачу в симплектический мир, она легко решилась.
«У этих задач, появлявшихся в 1910-е и 1920-е, не было подходящей платформы, на основе которой можно было бы о них размышлять, — сказал Грин. — И теперь мы начинаем понимать, что они на самом деле — это скрытые воплощения явления симплектичности».
