[Перевод] Математика за колючей проволокой: рождение теории пучков
В 1940 году французский математик и артиллерийский офицер Жан Лере попал в плен к немцам. Опасаясь, что его истинная специализация в гидродинамике может быть использована для помощи военным усилиям Германии, он сообщил своим захватчикам, что является специалистом в области топологии. На протяжении почти пяти лет заключения Лере поддерживал эту уловку, проводя исследования в топологии — разделе математики, изучающем свойства фигур, не меняющиеся при деформациях. В результате этих исследований он разработал одну из самых революционных идей в современной математике — концепцию «пучка».
Жан Лере́ (7 ноября 1906 — 10 ноября 1998)
После того как Александр Гротендик вывел идею Лере на передний план математики в 1950-х и 60-х годах, пучки стали играть ключевую роль в математике. По словам Дэвида Бен-Цви из Техасского университета в Остине, они превратились в «один из самых фундаментальных инструментов в современной алгебраической геометрии».
Для понимания концепции пучков можно представить их как надстройки над другими математическими объектами. Марк Агриос предложил следующую аналогию: «Представьте, что математический объект — это участок земли, а пучок — это сад на его вершине».
Название «пучки» (по-французски «faisceaux») было дано Лере из-за того, что их структура напоминала ему связки собранной пшеницы, где «стебли» прикрепляются к основному объекту. Подобно тому, как сады могут быть разбиты на разных типах почвы, пучки могут быть построены на различных математических объектах, принимая разнообразные формы.
Даже простейшие пучки представляют собой довольно сложные математические конструкции. Для лучшего понимания рассмотрим процесс построения простого пучка из прямых линий.
Начнем с базового объекта — действительной числовой прямой. Пучок строится не на отдельных точках, а на интервалах. Числовую прямую можно разбить на интервалы бесконечным количеством способов. Например:
Здесь каждая пара круглых скобок обозначает интервал, включающий все точки между ними, но не включающий конечные точки. Так, интервал (0, 1) содержит все числа больше нуля и меньше единицы.
Пучок включает в себя все возможные интервалы, а не только какой-то конкретный набор. Каждому интервалу может быть присвоен набор «сечений». В данном примере сечениями являются все возможные прямые линии, проходящие через интервал.
Если рассмотреть только один интервал, можно визуализировать лишь несколько сечений, так как невозможно показать их все одновременно.
Пучок содержит все сечения для всех возможных интервалов и их объединений. Это создает чрезвычайно сложную структуру, которая на первый взгляд кажется хаотичной. Однако она становится математически интересной из-за скрытой в ней простоты. На рисунке сечения, выбранные для разных интервалов, могут конфликтовать друг с другом, пересекаясь и не совпадая.
Математиков интересует ситуация, когда выбирается одно сечение из каждого интервала с условием, что различные сечения должны быть совместимы друг с другом там, где интервалы перекрываются. При таком ограничении происходит нечто удивительное.
Если один интервал вложен в другой, линии должны совпадать в области перекрытия. Из этого локального ограничения вытекает глобальное следствие: вместо множества маленьких линий получается единственно возможный выбор, соответствующий правилу вложенности — прямые линии, продолжающиеся через всю числовую прямую.
Эти линии называются глобальными сечениями. Одно из свойств, придающих пучкам их мощь, заключается в том, что такие глобальные объекты возникают из локальных ограничений.
Описанный пучок прямых линий, или линейных функций, над действительной прямой является одним из простейших примеров пучков.
Можно создать множество различных пучков над действительной прямой. Это аналогично выращиванию разных видов цветов в саду на одном участке земли. Существуют пучки, состоящие из функций, графики которых не имеют разрывов, пучки функций, графики которых не имеют острых углов, и бесконечное множество других вариантов.
Однако это только начало. Вместо создания нового пучка над той же базой, можно изменить саму базу. Представьте, что вы строите пучок над окружностью вместо прямой. Это создает структуру, похожую на цилиндр бесконечной высоты. Структура объектов, нарисованных на этом цилиндре, зависит от конкретной конструкции конкретного пучка.
До этого момента все рассмотренные пучки можно было представить как семейства функций. Однако пучки могут быть гораздо сложнее.
Цилиндр, упомянутый выше, можно представить как результат склеивания сторон бесконечно высокого прямоугольника. Если вместо этого скрутить концы прямоугольника перед склеиванием, получится бесконечно широкая лента Мёбиуса (которую невозможно нарисовать, поэтому обычно изображают конечную ленту Мёбиуса). На этой ленте Мёбиуса все еще можно рисовать кривые, напоминающие графики функций.
На любом небольшом локальном участке окружности эта кривая выглядит как график функции. Однако в глобальном масштабе это не функция, потому что невозможно определить согласованную глобальную систему координат из-за поворота. (Если вы путешествуете по всей ленте, ваши представления о движении вверх и вниз в конечном итоге меняются местами, делая это невозможным.) Математики называют такие объекты «скрученными функциями».
Хотя каждый пучок представляет собой обширную коллекцию объектов, можно также рассмотреть совокупность всех пучков над данным математическим объектом — будь то действительная прямая, окружность или какой-либо другой объект. Это подобно рассмотрению всех возможных садов, которые можно было бы разбить на данном участке земли. Такой подход позволяет получить информацию о свойствах базового пространства, аналогично тому, как знание о растениях, растущих в определенном типе почвы, дает информацию об этой почве.
Начиная с работ Гротендика, математики постепенно осознали, что наборы пучков имеют много общего с наборами функций, но на более высоком уровне сложности. С пучками можно выполнять операции сложения и умножения, а также проводить аналог математического анализа.Таким образом, находясь в заключении, Жан Лере открыл дверь в совершенно новый математический мир.
Всё это и много другое — ТГ «Математика не для всех»
