[Перевод] Как читать математику08.01.2018 14:19

Математика — это «язык, который ни читать, ни понять невозможно без инициации» (Эдвард Ротштейн, «Эмблемы ума»)

Протокол чтения — набор стратегий, которые должен использовать читатель для получения всех преимуществ от чтения текста. Набор стратегий для поэзии отличается от художественной литературы, а стратегии чтения художественной литературы отличаются от научных статей. Будет нелепо читать художественную книгу и задаваться вопросом, какие источники позволили автору утверждать, что главный герой — загорелый блондин;, но будет неправильно читать научную литературу и не задать такой вопрос. Этот протокол чтения расширяется на протоколы просмотра и прослушивания в живописи и музыке. На самом деле большинство вводных курсов по литературе, музыке и искусству посвящено изучению этих протоколов.

Для математики существует особый протокол чтения. Как мы учимся читать литературу, так и математику мы должны научиться читать. Школьникам следует изучать протокол чтения для математики так же, как они учатся правилам чтения романа или стихотворения, учатся понимать музыку и живопись. Замечательная книга «Эмблемы ума» Эдварда Ротштейна выявляет взаимосвязь между математикой и музыкой, неявно затрагивая протоколы чтения для математики.

Когда мы читаем роман, нас поглощает сюжет и персонажи. Мы пытаемся следовать различным сюжетным линиям и тому, как каждая из них влияет на развитие героев. Сами персонажи должны стать для нас реальными людьми — и те, которые нас восхищают, и те, которых мы презираем. Мы не останавливаемся на каждом слове, а представляем слова как мазки на картине. Даже если конкретное слово неизвестно, общая картина всё равно ясна. Мы редко прерываемся поразмыслить над конкретной фразой или предложением. Вместо этого мы позволяем произведению увлечь нас в своём потоке и быстро донести до конца. Это полезное и расслабляющее занятие, оно даёт пищу для размышлений.

Писатели часто характеризуют персонажей, вовлекая их в тщательно подобранные эпизоды действий, а не описывая тщательно подобранными прилагательными. Они изображают один аспект, затем другой, потом снова первый в новом свете и так далее. По мере этого общая картина растёт, становится всё более ясной. Таков способ передать сложные мысли, которые не поддаются точному определению.

Математические идеи по своей сути точны и хорошо определены, так что можно дать чёткое и очень краткое описание. И математическая статья, и художественный роман рассказывают некую историю и развивают сложные идеи, но математическая статья делает это с гораздо меньшим количеством слов и символов, чем в книге. Красота книги — в эстетическом способе использования языка для пробуждения эмоций и представления вещей, которые не поддаются точному определению. Красота математической статьи — в элегантности и эффективности лаконичного выражения чётких идей огромной сложности.

Какие типичные ошибки делают люди, которые пытаются прочитать математику? Как эти ошибки можно исправить?

Не теряй большой картины
«Чтение математики вообще не линейно… Для понимания текста нужны перекрёстные ссылки, быстрое сканирование, паузы и повторное чтение» (оттуда же)

Не думайте, что понимание каждой фразы в отдельности позволит вам понять идею целиком. Это как пытаться увидеть портрет, разглядывая в упор каждый квадратный сантиметр картины. Вы увидите детали, текстуру и цвет, но совершенно упустите портрет. Математическая статья рассказывает историю. Попробуйте понять, что это за история, прежде чем углубиться в детали. Взглянуть поближе можно позже, когда построите фреймворк понимания. Сделайте это так же, как вы могли бы перечитать художественную книгу.

Не будь пассивным читателем
«Трёхстрочное доказательство скромной теоремы — это квинтэссенция лет работы. Чтение математики… предусматривает возвращение к мыслительному процессу, который происходил во время её записи» (оттуда же)

Исследуйте примеры на предмет шаблонов. Попробуйте особые случаи.

Математическая статья обычно рассказывает только малую часть большой и протяжённой истории. Как правило, автор месяцами блуждает в темноте, пытаясь открыть что-то новое. В конце концов он организует своё открытие в виде статьи, где скрывает все ошибки (и их причины) и представляет законченную идею в виде чистого аккуратного потока. Чтобы по-настоящему понять идею и воссоздать, что скрыл автор, читайте между строк.

Математики очень лаконичны, но многое скрывается за этим немногословием. Читатель должен участвовать. На каждом этапе он/она Должен решать, насколько ясна представленная идея. Задавайте себе следующие вопросы:

Почему эта идея верна?

Действительно ли я верю в неё?

Могу я убедить кого-нибудь, что она верна?

Почему автор не использовал иной аргумент?

Есть ли у меня лучший аргумент или метод, объясняющий идею?

Почему автор не объяснил её понятным мне способом?

Мой способ неверен?

Я в самом деле понял идею?

Я упускаю какой-то нюанс?

Автор упускает какой-то нюанс?

Если я не могу понять смысл, может мне будет понятнее похожая, но более простая идея?

Действительно ли так необходимо понимание этой идеи?

Могу ли я принять эту идею без понимания деталей, почему она верна?

Пострадает ли моё понимание большой картины от того, что я не понимаю доказательства этой конкретной идеи?

Если потратить слишком мало усилий на подобное участие, то это как читать книгу без концентрации внимания. Через полчаса вы внезапно понимаете, что просто переворачивали страницы, думая о своём, и не запомнили ничего из того, что читали.

Не читай слишком быстро
Слишком быстрое чтение математики приводит к разочарованию. Полчаса концентрации внимания над художественной книгой позволит среднему читателю прочитать 20–60 страниц с полным пониманием текста, в зависимости от книги и опыта чтения. Те же полчаса над математической статьёй дадут 0–10 строчек, в зависимости от статьи и опыта чтения математики. Работу и время ничем нельзя заменить. Вы можете ускорить математическое чтение с помощью практики, но будьте осторожны. Как и в любом навыке, попытка сделать слишком многое слишком быстро может отбросить вас назад и уничтожить мотивацию. Представьте, что вы в течение часа энергично занимаетесь физическими упражнениями, если до этого не занимались два года. Может вы и пройдёте через первый этап, но вряд ли продолжите дальше. Разочарование от постоянного наблюдения, как опытные ребята без устали выполняют вдвое больше вашего, в то время как у вас на следующий день всё тело ноет от усталости — это слишком трудно принять.

Например, возьмём такую теорему из трактата «Дело вычислителя» Леви бен Гершома, написанного в 1321 году.

«Когда вы складываете последовательные числа, начиная с 1, и количество слагаемых нечётное, то результат равен произведению среднего числа на последнее». Для современной математики естественно будет записать теорему следующим образом:

$\sum\limits_{i=1}^{2k+1}i=(k+1)(2k+1)$

Читателю понадобится примерно столько же времени, чтобы распутать эту небольшую формулу, сколько ему нужно на понимание двух строчек текстовой версии теоремы. Пример теоремы Леви:

$1+2+3+4+5=3×5.$

Сделай идею свой собственной
Лучший способ понять прочитанное — сделать идею своей собственной. Это означает отследить идею к её корням и самостоятельно заново открыть её. Математики часто говорят, что для понимания чего-либо вы должны сначала прочитать это, затем записать собственными словами, а потом научить кого-то другого. У каждого разный инструментарий и разный уровень «усвоения» сложных идей. Нужно приспособить идею к собственному ви́дению и опыту.

«Когда я беру слово, оно означает то, что я хочу»(Шалтай-Болтай из книги «Алиса в Зазеркалье» Льюиса Кэролла)
«Значение редко будет полностью понятным, потому что каждый символ или слово уже представляют собой экстраординарную конденсацию концепции и ссылки» (оттуда же)

Хорошо написанный математический текст будет аккуратно использовать слово только в одном смысле, делая различие, скажем, между комбинацией и перестановкой (или расстановкой). Чёткое математическое определение может подразумевать, что «жёлтая бешеная собака» и «бешеная жёлтая собака» — это разная расстановка слов, но одинаковая комбинация. Большинство англоязычных читателей не согласятся с этим. Исключительная точность совершенно чужда большей части художественной литературы и поэзии, где хорошим тоном считается использование разнообразных слов, синонимов и изменчивых описаний.

Со стороны читателя ожидается понимание, что абсолютное значение — это не какое-то произвольное значение, которое оказалось абсолютным, а функция не имеет отношения ни к чему функциональному.

Особенно печально известный пример — использование фразы «из этого легко следует, что…» и тому подобных конструкций. Они означают примерно следующее:

Теперь можно проверить справедливость следующего утверждения. Проверка потребует определённого количества по существу механической, хотя, возможно, и трудной работы. Я как автор мог бы её провести, но она займёт много места и, возможно, не приведёт к хорошим результатам, поскольку в ваших же интересах самостоятельно сделать вычисления и прояснить, что здесь происходит. Обещаю, что никакие новые идеи не участвуют. Хотя, конечно, вам может понадобиться немного подумать, чтобы найти правильную комбинацию хороших идей для применения.

Другими словами, эта фраза при правильном применении — сигнал автору, что здесь присутствует нечто утомительное и даже сложное, но не предполагающее ярких озарений. Тогда читатель волен решать, насколько сильно он хочет сам разобраться во всех подробностях или ему достаточно заверений автора — и тогда можно сказать: «Ладно, верю тебе на слово».

Теперь независимо от вашего мнения об уместности употребления подобной фразы в конкретной ситуации и от корректности использования её автором вы должны понимать, что она должна значить на самом деле. Фраза «Из этого легко следует, что…» не значит

Если ты сразу этого не видишь, ты дурак

И она не значит

Это не должно занять больше двух минут

Но человек, незнакомый с математическим словарём, может её неправильно понять и столкнётся с разочарованием. Это помимо вопроса о том, что «утомительная задача» для одного человека может оказаться сложнейшей проблемой для другого. Поэтому автор должен правильно оценивать свою аудиторию.

Знай себя
Тексты пишутся с расчётом на читателей определённого уровня. Убедитесь, что вы являетесь таким читателем или желаете сделать всё, чтобы присоединиться к их числу.

Из Томаса Элиота, «Песнь Симеона»:

Господи, зимнее солнце ползёт меж снежных вершин,
Римские гиацинты заполыхали в чашах;
Время застыло — упрямый немой властелин,
Жду дуновения смерти душой облегчённой,
Словно пушинка на старческой длани. Один.
Пыль под солнцем и память по закоулкам
Чаю прохлады, что веет для смертных долин.
Lord, the Roman hyacinths are blooming in bowls and
The winter sun creeps by the snow hills;
The stubborn season has made stand.
My life is light, waiting for the death wind,
Like a feather on the back of my hand.
Dust in sunlight and memory in corners
Wait for the wind that chills towards the dead land.

Например, стихотворение Элиота в значительной степени предполагает, что читатели или знают, кто такой Симеон, или желают выяснить это. Оно также предполагает, что читателем будет или опытный читатель поэзии, или тот, кто хочет приобрести такой опыт. Автор предполагает, что читатели либо знают, либо разберутся в аллюзиях здесь. Это выходит за рамки простых вещей вроде того, кем был Симеон. Например, почему гиацинты «римские»? Почему это важно?

Элиот предполагает, что читатель будет читать медленно и обратит внимание на картинки: автор сопоставляет пыль и память, сравнивает старость с зимой, сравнивает ожидание смерти с пушинкой на обратной стороне ладони и т.д. Он предполагает, что читатель воспримет это как поэзию; в некотором смысле, он предполагает, что читатель знаком со всей поэтической традицией. Он должен заметить, что нечётные строчки рифмуются, а остальные нет, и т.д.

Самое главное, он предполагает, что читатель будет подключать к чтению не только свой ум, но также свои эмоции и воображение, которое нарисует образ старика, уставшего от жизни, но вынужденного цепляться за неё, ожидающего некоего важного события.

Большинство математических книг тоже написано с некоторыми предположениями об аудитории: что они знают определённые вещи, что они достигли определённого уровня «математической зрелости» и проч. Прежде чем начать читать, убедитесь в соответствии тому, что автор ожидает от вас.

Пример математической записи
Чтобы поэкспериментировать с представленными здесь принципами, я включил в него небольшой математический фрагмент, часто называемый парадоксом дней рождения. Первая часть — это точная математическая статья, описывающая проблему и её решение. Вторая часть — вымышленная попытка Читателя понять статью, используя соответствующий протокол чтения. Тема статьи — вероятность. Она доступна смышлёному и мотивированному читателю даже без математического образования.

Парадокс дней рождения
Профессор в классе из 30-ти случайных студентов часто предлагает поспорить, что как минимум у двоих человек в классе одинаковый день рождения (месяц и день, необязательно год). Вы примете спор? А если в классе меньше студентов? Примете тогда предложение поспорить?

Предположим, что дни рождения $n$ человек равномерно распределены по 365 дням года (для простоты не учитываем високосные годы). Докажем, что вероятность одинакового дня рождения (месяц и день) по крайней мере у двоих из них равна:

$1-\begin{pmatrix}\frac{365\times364\times363\times...\times(365-n+1)}{365^n}\end{pmatrix}$

Какова вероятность, что среди 30-ти случайных людей в комнате попадутся хотя бы двое с одинаковым днём рождения? Для $n=30$ эта вероятность будет 71%, то есть профессор будет выигрывать спор в 71 случаях из 100 на длинной дистанции. Как выясняется, при 23-х учениках в классе вероятность составляет примерно 50%.

Вот доказательство: Пусть $P(n)$ будет искомой вероятностью. Пусть $Q(n)=1-P(n)$ будет вероятностью, что у всех разные дни рождения. Теперь найдём $Q(n)$ , вычислив количество наборов из $n$ дней рождения без дубликатов и разделив его на общее количество возможных наборов из $n$ дней рождения. Затем найдём $P(n)$ .

Общее количество наборов из $n$ дней рождения без дубликатов:

$365\times364\times363\times...\times(365-n+1)$

Это потому что для первого ДР возможно 365 вариантов, для второго — 364и так далее для $n$ человек. Общее количество $n$ дней рождения без всяких ограничений равняется просто $365^n$ , потому что для каждого из $n$ дней рождения есть 365 вариантов. Таким образом, $Q(n)$ равняется

$\frac{365\times364\times363\times...\times(365-n+1)}{365^n}$

Решение для $P(n)$ даёт $P(n)=1-Q(n)$ и, следовательно, наш результат.

Попытки нашего читателя понять парадокс дней рождения
В этом разделе наивный Читатель пытается понять смысл последних нескольких абзацев. Реплики Читателя — метафорическое выражение его мыслей вслух, а комментарии Профессионала представляют собой исследовательскую работу, которую должен проделать Читатель. Соответствующие протоколы выделены жирным шрифтом и вставлены в соответствующие места повествования.

Выглядит, что Читатель как будто схватывает вещи очень быстро. Но будьте уверены, что в реальности между комментариями Читателя проходит немало времени и что я оставил за скобками многие его замечания, которые ведут в тупик. Понять, что он испытывает, можно только если читать между строк и представить образ его мыслей. Думать за него — часть ваших собственных усилий.

Знай себя

Читатель (Ч): Я ничего не знаю о вероятностях, я смогу в этом разобраться?

Профессионал (П): Давай попробуем. Возможно, придётся делать большие отступления на каждом шаге.

Ч: Что означает фраза »30 случайных (хаотичных) студентов»?

«Когда я беру слово, оно означает то, что я хочу, не больше и не
меньше»

П: Хороший вопрос. Фраза не означает, что у нас 30 ошалевших или больных на голову людей. Она означает, что мы должны предположить, что дни рождения этих 30-ти человек не зависят друг от друга и что каждый день рождения одинаково вероятен для каждого человека. Чуть далее автор более формально описывает это: «Предположим, что дни рождения $n$ человек равномерно распределены по 365 дням года».

Ч: Разве это не очевидно? Зачем специально это оговаривать?

П: Да, предположение кажется очевидным. Автор просто устанавливает основное условие. Это предложение гарантирует, что всё нормально, а решение не предполагает какой-либо воображаемой причудливой научной фантастики.

Ч: Что ты имеешь в виду?

П: Например, автор не ищет решения вроде такого: все живут в Стране Независимости и родились 4-го июля, так что шансы на совпадение дней рождения двух и более людей составляют 100%. Математикам не нравятся решения такого рода. Кстати, предположение также подразумевает, что мы не учитываем високосные годы. То есть никто в этой задаче не родился 29-го февраля. Читай дальше.

Ч: Не понимаю эту длинную формулу, Что такое $n$ ?

П: Автор решает проблему для произвольного количества человек, не просто для 30-ти. С этого момента автор называет количество человек $n$ .

Ч: Я по-прежнему не понимаю. Какой ответ?

Не будь пассивным читателем — попробуй примеры

П: Ну если нужен ответ только для 30-ти, просто установи $n=30$ .

Ч: Окей, но это сложно посчитать. Где мой калькулятор? Посмотрим: 365×364×363×…×336. Это утомительно, и результат даже не помещается на экране. Здесь написано:

$2.1710301835085570660575334772481e+76$

Если даже зная формулу я не могу вычислить результат, как я могу понять, откуда взялась формула?

П: Ты прав, что здесь получается не точный результат, но если продолжить дальше и поделить, то ответ будет не слишком далёк от точного.

Ч: Всё это как-то некомфортно. Я бы хотел вычислить точное значение. Есть другой способ произвести вычисления?

П: Сколько множителей у тебя в числителе? Сколько в знаменателе?

Ч: Ты имеешь в виду 365 как первый множитель, 364 как второй? Тогда получается 30 множителей вверху. Также 30 множителей внизу (30 копий 365).

П: Теперь можешь вычислить результат?

Ч: А, понятно. Я могу спарить каждый множитель из числителя с каждым множителем знаменателя, так что получится 365/365 для первого множителя, затем умножить на 364/365 и так далее для всех 30-ти множителей. Так что результат всегда поместится в моём калькуляторе. (Через несколько минут)… Так, я получил 0,29368, если округлить до пяти знаков.

П: Что значит это число?

Не теряй большой картины

Ч: Я забыл, что делал. Так, посмотрим. Я искал ответ для $n=30$ . Число 0,29368 — это все вычисления, кроме вычитания из единицы. Если продолжить, получится 0,70632. А теперь что это значит?

П: Тут полезно больше узнать о вероятностях, но по-простому это означает, что в группе из 30-ти человек у двух или более совпадут дни рождения в 70 632 из 100 000 случаев, то есть примерно в 71% случаев.

Ч: Интересно. Я бы сам не догадался. Хочешь сказать, что в моём классе из 30-ти студентов довольно высока вероятность, что по крайней мере у двух человек будет одинаковый день рождения?

П: Да, правильно. Можешь принимать ставки до того, как узнал их даты рождения. Многие думают, что такое совпадение маловероятно. Вот почему некоторые авторы называют это парадоксом дней рождения.

Ч: Так вот почему я должен читать математику, чтобы заработать пару долларов?

П: Понимаю, что для тебя это может быть неким стимулом, но надеюсь, что математика также вдохновляет тебя и без всяких денежных перспектив.

Ч: Интересно, какой результат будет для других значений $n$ . Попробую сделать ещё несколько вычислений.

П: Хорошая мысль. Мы даже можем составить графическое изображение из всех твоих вычислений. Можно составить график количества людей и вероятностей совпадения дней рождения, хотя это можно оставить на другой раз.

Ч: О, смотри, автор сделал некоторые вычисления за меня. Он говорит, что для $n=30$ ответ около 71%; я тоже получил такую цифру. А для $n=23$ получается около 50%. Это имеет смысл? Думаю, что имеет. Чем больше людей, тем выше вероятность совпадения дней рождения. Эй, я опережаю автора. Неплохо. Ладно, продолжим.

П: Хорошо, теперь сам скажешь, когда продолжить.

Не читай слишком быстро

Ч: Кажется, что мы добрались до доказательства. Оно должно объяснить, почему формула работает. Что это за $Q(n)$ ? Думаю, что $P$ означает «probability » (вероятность), но что означает $Q$ ?

П: Автор вводит новую величину. Он использует $Q$ просто потому что это следующая буква в алфавите после $P$ , но $Q(n)$ — это тоже вероятность, причём имеющая близкое отношение к $P(n)$ . Пришло время взять минутку на раздумье. Что такое $Q(n)$ и почему оно равняется $1-P(n)$ ?

Ч: $Q(n)$ — это вероятность, что ни у кого в комнате не совпадают дни рождения. Почему автора волнует этот вопрос? Разве нам не нужна другая вероятность, что дни рождения совпадают?

П: Хорошее замечание. Автор не говорит этого явно, но между строк ты можешь понять, что он понятия не имеет, как напрямую вычислить $P(n)$ . Вместо этого он вводит вероятность $Q(n)$ , которая предположительно равна $1-P(n)$ . Вероятно, после этого автор должен показать, как вычисляется $Q(n)$ . Кстати, когда ты закончишь статью, ты можешь задаться вопросом, как вычислить $P(n)$ напрямую. Это прекрасное продолжение для идей, представленных здесь.

Ч: Всему своё время.

П: Ладно. Итак, теперь мы знаем $Q(n)$ , что дальше?

Ч: Затем мы можем получить $P(n)$ . Если $Q(n)=1-P(n)$ , то $P(n)=1-Q(n)$ . Хорошо, но почему ? Автор полагает, что это очевидно?

П: Да, он так полагает, и что ещё хуже, он даже не говорит нам, что это очевидно. Вот эмпирическое правило: когда автор явно говорит, что это истина или это очевидно, то следует потратить 15 минут и убедить себя, что так оно и есть. Если автор даже не беспокоиться о том, чтобы это сказать, но подразумевает это, то процесс займёт немного больше времени.

Ч: Как я пойму, что нужно остановиться и подумать?

П: Просто будь честен с собой. Если появились сомнения, остановись и подумай. Если слишком устал, иди посмотри телевизор.

Ч: Так почему $Q(n)=1-P(n)$ ?

П: Давай вообразим особый случай. Если вероятность совпадения двух и более дней рождения ⅓, то какова вероятность не получить совпадение?

Ч: Это 2/3, потому что вероятность отсутствия события обратна вероятности наступления события.

Сделай идею свой собственной

П: Ну, следует быть осторожным при использовании слов вроде обратна, но ты прав. На самом деле ты открыл одно из первых правил, которое изучают в теории вероятностей. А именно, что вероятность отсутствия события равна единице минус вероятность наступления события. Теперь перейдём к следующему абзацу.

Ч: Там вроде объясняется, чему равняется $Q(n)$ — в длинной и сложной на вид формуле. Я никогда такую не пойму.

П: Формула для $Q(n)$ тяжела для понимания, и автор рассчитывает на твоё усердие, упорство и/или имеющиеся знания, чтобы разобраться в ней.

Ч: Он как будто вычисляет все вероятности чего-то и делит их на общее количество вероятностей, что бы это ни значило. Понятия не имею, почему он так делает.

П: Может быть, могу помочь тебе с некоторой информацией по этому предмету. Вероятность наступления определённого исхода в математике определяется так: общее количество возможных вариантов этого исхода делится на общее количество всех вариантов исхода. Например, вероятность выбросить четвёртку на кубике равна 1/6. Поскольку там одна четвёрка и шесть возможных исходов. Какова будет вероятность, что ты выбросишь четвёрку или тройку?

Ч: Ну, я думаю, 2/6 (или ⅓), потому что общее количество возможных исходов по-прежнему осталось шесть, но у меня есть два варианта удачного исхода.

П: Хорошо. Теперь более сложный пример. Что насчёт вероятности выбросить четыре в сумме при бросании двух кубиков? Есть три варианта получить такую сумму (1–3, 2–2, 3–1), в то время как общее количество комбинаций равно 36. Это 3/36 или 1/12. Посмотри на следующую таблицу 6×6 и сам убедись в этом.

1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6
2-1, 2-2, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6
3-1, 3-2, 3-3, 3-4, 3-5, 3-6
4-1, 4-2, 4-3, 4-4, 4-5, 4-6
5-1, 5-2, 5-3, 5-4, 5-5, 5-6
6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 6-6

Что насчёт вероятности выбросить семь в сумме?

Ч: Погоди, что значит 1–1? Разве это не равняется 0?

П: Извини, я виноват. Я использовал знак минуса как тире, просто имея в виду пару чисел, так что 1–1 означает выбросить единички на обоих кубиках.

Ч: Ты не мог бы придумать лучшую запись?

П: Ну может я могу или должен сделать это, но запятые выглядят хуже, а слэш будет похож на деление, и всё остальное тоже может вводить в заблуждение. В любом случае, мы не собираемся публиковать эту расшифровку.

Ч: Слава богу. Ну, теперь-то я знаю, что ты имеешь в виду. Я могу получить семь в сумме шестью способами: 1–6, 2–5, 3–4, 4–3, 5–2 или 6–1. Общее количество исходов по-прежнему 36, так что получается 6/36 или 1/6. Это странно, почему вероятность выпадения четырёх отличается от вероятности выпадения семи?

П: Потому что не каждая сумма одинаково вероятна. Здесь ситуация отличается от простого вращения колеса с цифрами от 2 до 12 в одинаковых интервалах. В этом случае у каждой из 11 цифр одинаковая вероятность выпадения 1/11.

Ч: Хорошо, теперь я эксперт. Вероятность вычисляется просто подсчётом?

П: Иногда да. Хотя рассчитать бывает непросто.

Ч: Ясно, давай продолжим. Кстати, автор реально ожидал, что я всё это знаю? Мой друг проходит курс вероятности и статистики, но я не уверен, что он знает все эти вещи.

П: Маленький раздел математики содержит в себе много информации. Да, автор ожидает от читателя знания всего этого или что тот найдёт эту информацию и усвоит её, как это сделали мы. Если бы меня здесь не было, тебе пришлось бы задавать эти вопросы самому себе и находить ответы путём размышлений, в учебниках и справочниках или консультируясь с другом.

Ч: Так что вероятность совпадения дней рождения у двух человек — это количество возможных наборов из $n$ дней рождения без дубликатов, поделенное на общее количество возможных наборов из $n$ дней рождения.

П: Отличное резюме.

Ч: Мне не нравится использование $n$ , так что давай использовать 30. Возможно, тогда будет проще усвоить обобщение $n$ .

П: Отличная мысль. Часто бывает полезным проанализировать особый случай, чтобы понять общий случай.

Ч: Так сколько наборов из 30-ти дней рождения есть вообще? Я не могу посчитать. Думаю, что мне придётся ещё больше ограничить условия. Давай притворимся, что у нас всего два человека.

П: Хорошо. Теперь ты размышляешь как математик. Рассмотрим $n=2$ . Сколько здесь возможных комбинаций дней рождения?

Ч: Я считаю дни рождения с 1 по 365, не учитывая високосные годы. Тогда вот все возможные комбинации:

1-1, 1-2, 1-3, ... , 1-365,
2-1, 2-2, 2-3, ... , 2-365,
...
365-1, 365-2, 365-3, ... , 365-365

П: Когда ты пишешь 1–1, ты имеешь в виду 1–1=0, как вычитание?

Ч: Хватит меня дразнить. Ты точно знаешь, что я имею в виду.

П: Да, я знаю, и могу отметить хороший выбор способа записи. Теперь сколько здесь пар дней рождения?

Ч: Для двух человек получается 365×365 вариантов.

П: А сколько вариантов, если не учитывать совпадающие дни рождения?

Ч: Нельзя использовать 1–1, 2–2, 3–3… 365–365, так что выходит

1-2, 1-3, ... , 1-365,
2-1, 2-3, ... , 2-365,
...
365-1, 365-2, ... , 365-364

Общее количество вариантов выходит 365×364, потому что в каждой строке теперь 364 пары вместо 365.

П: Хорошо. Ты здесь немного спешишь, но всё равно на 100% прав. Теперь можешь обобщить для 30-ти человек? Каково общее количество возможных наборов из 30-ти дней рождения? Попробуй догадаться. У тебя это хорошо получается.

Ч: Ну если пробовать догадаться (хотя это в реальности не совсем догадка, в конце концов, я уже знаю формулу), то я бы сказал, что для 30-ти человек нужно 30 раз умножить 365×365×…×365, для общего количества возможных наборов ДР.

П: Точно. Математики пишут 36530. А каково общее количество наборов из 30-ти дней рождения без повторений?

Ч: Я знаю, что ответ должен быть 365×364×363×362×…×336 (то есть начать с 365 и каждый раз умножать на число с вычитанием единицы 30 раз), но я не уверен, что действительно понимаю, почему именно так. Возможно, сначала нужно рассмотреть случай с тремя людьми и найти способ увеличения до 30-ти?

П: Блестящая мысль. Давай закончим на сегодня. Общая картина для тебя понятна. Когда отдохнёшь и у тебя будет больше времени, можешь вернуться и заполнить последний пробел в понимании.

Ч: Большое спасибо; это был хороший опыт. Позже.