[Перевод] Аспирантка решила топологическую задачу полувековой давности
У Лизы Пиччирилло ушло меньше недели на поиски ответа на старый вопрос о странном узле, открытом более пятидесяти лет назад легендарным математиком Джоном Конвеем.
Летом 2018 года на конференции по низкоразмерной топологии и геометрии Лиза Пиччирилло услышала о небольшой математической проблемке. Она показалась неплохим испытательным полигоном для некоторых техник, которые Лиза разрабатывала, будучи аспиранткой в Техасском университете в Остине.
«Я не разрешала себе работать над ней днём, — сказала она, — поскольку не считала эту задачу настоящей математикой. Я воспринимала её больше как домашнюю работу».
Вопрос состоял в следующем: является ли узел Конвея – сложное переплетение верёвки, открытое более пятидесяти лет назад легендарным математиком Джоном Хортоном Конвеем – срезом узла более высокой размерности. «Срезанность» – один из первых естественных вопросов, которые специалисты по теории узлов задают об узлах из пространств высоких разрешений, и математики смогли ответить на него для многих тысяч узлов, имеющих не более 12 пересечений – всех, кроме одного. Узел Конвея, имеющий 11 пересечений, дразнил математиков много десятилетий.
Ещё до конца недели у Пиччирилло был готов ответ: узел Конвея не является упомянутым срезом. Через несколько дней при встрече с Камероном Гордоном, профессором из Техасского университета, она вскользь упомянула о своём решении.
«Я сказал: Что?? Да это сразу должно пойти в ''Анналы''!» – сказал Гордон, имея в виду один из крупнейших математических журналов, Annals of Mathematics.
«Он начал кричать: Почему ты не радуешься этому?» – сказала Пиччирилло, ныне постдок в Брандейском университете. «Он будто с ума сошёл».
«Не думаю, что она осознала, насколько эта задача была старой и знаменитой», — сказал Гордон.
Доказательство Пиччирилло появилось в журнале Annals of Mathematics в феврале. Эта работа и другие её достижения обеспечили ей место в Массачусетском технологическом институте, где она начнёт работать уже с 1 июля, всего через 14 месяцев после защиты докторской.
Вопрос принадлежности узла Конвея к срезанным был знаменит не только из-за того, что он так долго оставался без ответа. Срезанные узлы дают математикам возможность прозондировать странную природу четырёхмерного пространства, в котором иногда можно связать в узел двумерные сферы таким скомканным способом, что их не получится разгладить. Срезанность «связана с некоторыми из глубочайших вопросов четырёхмерной топологии», сказал Чарльз Ливингстон, почётный профессор Индианского университета.
«Вопрос о срезанности узла Конвея был критерием множества современных разработок, относящихся к общим аспектам теории узлов», — сказал Джошуа Грин из Бостонского колледжа, дипломный руководитель Пиччирилло. «Было очень приятно увидеть, как человек, которого я знал довольно давно, внезапно вытащил этот меч из камня».
Волшебные сферы
Большинство из нас представляют себе узел как кусочек переплетённой верёвки с двумя концами. Однако математики работают с верёвками, концы которых соединены между собой, в результате чего узел нельзя распутать. За последнее столетие эти завязанные петли помогали изучать вопросы из различных областей науки, от квантовой физики до строения ДНК, а также из топологии трёхмерных пространств.
На этом видео от 1990 года Джон Конвей объясняет, как ещё в старших классах школы показал, что два узла не отменяют друг друга
Однако если мы учтём время в качестве измерения, то наш мир будет четырёхмерным, поэтому естественно задать вопрос о существовании соответствующей теории узлов в 4D. И это не значит, что мы можем просто взять все трёхмерные узлы и засунуть их в четырёхмерное пространство: если у вас есть четыре измерения, вы можете распутать любую петлю, если начнёте поднимать отрезки верёвки друг над другом в четвёртом измерении.
Чтобы завязать узел в 4D, нужна двумерная сфера, а не одномерная петля. Точно так же, как три измерения обеспечивают достаточно места для завязывания петель, но не для их развязывания, четыре измерения обеспечивают место для завязывания сфер, что математики впервые проделали в 1920-х.
Сложновато представить себе завязанную сферу в четырёхмерном пространстве, однако для этого полезно сначала представить себе обычную сферу в 3D. Если вы её разрежете, то увидите несвязанную петлю. Но если разрезать связанную сферу в 4D, вы увидите связанную петлю (или, возможно, несвязанную петлю, или несколько петель, связанных друг с другом – зависит от того, где резать). Любой узел, который можно получить, разрезав связанную сферу, считается срезанным. Некоторые узлы не срезанные – к примеру, узел с тремя пересечениями, трифолий.
Срезанные узлы «наводят мост между трёхмерной и четырёхмерной историями теории узлов», сказал Грин.
Однако есть одна проблемка, раскрывающая богатство и специфичность четырёхмерной истории: в четырёхмерной топологии есть два различных варианта срезанности. Несколько революционных работ в начале 1980-х годов (за которые Майкл Фридман и Саймон Дональдсон получили филдсовскую премию) показали, что четырёхмерное пространство содержит не только гладкие сферы, которые мы интуитивно себе представляем. В нём также есть настолько скомканные сферы, что их невозможно разгладить. И вопрос о срезанности узла зависит от того, учитывать ли эти скомканные сферы.
«Это очень, очень странные объекты, почти волшебные», — сказал Шелли Харви из университета Райса (именно из доклада Харви в 2018 году Пиччирилло впервые узнала об узле Конвея).
Эти странные сферы – не ошибка четырёхмерной топологии, а её особенность. Топологические срезанные, но не «гладко срезанные» узлы – то есть, узлы, являющиеся срезами скомканных сфер – позволяют математикам создавать т.н. «экзотические» варианты обычного четырёхмерного пространства. Эти копии четырёхмерного пространства с топологической точки зрения выглядят так же, как обычное, однако при этом они безвозвратно скомканы. Существование таких экзотических пространств выделяет четвёртое измерение среди всех остальных.
Вопрос срезанности – это «зонд наименьшей размерности» для этих экзотических четырёхмерных пространств, сказал Грин.
За годы исследований математики открыли целый набор узлов, срезанных топологически, но не гладко. Однако среди узлов с количеством пересечений до 12 таких, вроде бы, не наблюдалось – за исключением, возможно, узла Конвея. Математики могли разобраться со срезанностью всех остальных узлов с числом пересечений не выше 12, однако узел Конвея никак им не давался.
Конвей, умерший в прошлом месяца из-за коронавируса, был известен важными вкладами в целый спектр областей математики. Впервые он заинтересовался узлами в 1950-х и придумал простой способ перечислить практически все узлы с количеством пересечений вплоть до 11 (предыдущие полные списки включали только узлы с количеством пересечений вплоть до 10).
Но один узел в этом списке стоял особняком. «Думаю, Конвей понял, что этот узел был каким-то особенным», — сказал Грин.
Узел Конвея, как его потом назвали, является топологическим срезом – это математики поняли ещё в 1980-х годах в рамках серии революционных открытий. Однако они не могли разобраться с тем, гладкий ли это срез. Они подозревали, что это не так, поскольку у него не было такой особенности, как «ленточность», которая обычно наблюдается у гладких узлов. Однако ещё одна его особенность не давала шансов всем попыткам показать, что срез этот не гладкий.
А именно – у узла Конвея есть братский узел, или, как говорят в теории узлов, мутация. Если нарисовать узел Конвея на бумаге, вырезать определённую её часть, перевернуть фрагмент и снова соединить узел, получится другой узел, известный, как узел Киношита–Терасака.
Доказать, что узел Конвея не является гладким срезом, учёным мешало его сходство с узлом Киношита–Терасака. Лиза Пиччирилло придумала, как связать узлу Конвея нового, более сложного компаньона.
Проблема в том, что этот новый узел является гладким срезом. И поскольку узел Конвея так сильно походит на гладкий срез, он избегает воздействия всех инструментов (инвариантов), используемых математиками для определения узлов, не являющихся срезами.
«При появлении нового инварианта мы пытались проверить его на узле Конвея, — сказал Грин. – И это такой уникальный упрямый пример, который вне зависимости от инварианта не говорил нам, является ли он срезом, или нет».
Узел Конвея «попадает на пересечение слепых пятен» этих инструментов, сказала Пиччирилло.
Один математик, Марк Хьюз из университета Бригама Янга, создал нейросеть, использующую инварианты узлов и другую информацию для предсказания таких их свойств, как срезанность. Для большинства узлов сеть делает чёткие предсказания. Знаете, что она сказала по поводу гладкой срезанности узла Конвея? 50 на 50.
«Со временем этот узел начал выделяться среди других, как неподвластный нам», — сказал Ливингстон.
Хитрые повороты
Пиччирилло нравится визуальная интуиция, связанная с теорией узлов, однако она не считает, что в первую очередь является теоретиком в этой области. «Меня больше интересуют трёхмерные и четырёхмерные фигуры, однако их изучение тесно переплетено с теорией узлов, поэтому я и ею немного занимаюсь», — написала она в емейле.
Когда в колледже она начала изучать математику, то не выделялась как «стандартный ребёнок-вундеркинд в математике», сказала Элисенда Грисби, один из преподавателей Пиччирилло в Бостонском колледже. Грисби в первую очередь приметила творческую натуру Пиччирилло. «Она всегда верила в правильность своей точки зрения».
Вопрос, связанный с узлом Конвея, попался Пиччирилло, когда она думала над тем, могут ли узлы быть связаны между собой чем-то кроме мутаций. У каждого узла есть его т.н. четырёхмерный след, который можно получить, если расположить узел на границе четырёхмерного шара и пришить сверху вдоль узла что-то вроде капюшона. След узла «довольно жёстко кодирует свой узел», — сказал Гордон.
У разных узлов может быть одинаковый четырёхмерный след, и математики уже знали, что у таких, так сказать, родственников по следам, всегда одинаковый статус срезанности – либо они оба срезанные, либо нет. Однако Пиччирилло и Аллисон Миллер, постдок из университета Райса, показали, что такие следовые родственники не обязательно одинаково выглядят для всех инвариантов, использующихся для изучения срезанности.
Это указало Пиччирилло путь к стратегии, используемой для доказательства того, что узел Конвея не относится к срезанным: если бы ей удалось создать следового родственника для этого узла, возможно, он бы охотнее сотрудничал с одним из инвариантов среза, чем сам узел Конвея.
Конструирование таких родственников – задача сложная, но Пиччирилло была в этом экспертом. «Я, в общем-то, этим и занимаюсь, — сказала она. – Поэтому я просто пошла домой и сделала это».
Применив хитроумную комбинацию, Пиччирилло сумела сконструировать сложный узел, имеющий тот же след, что и узел Конвея. И для этого узла инструмент под названием
«с-инвариант Расмуссена» показывает, что он не является гладко срезанным – как, следовательно, и узел Конвея.
«Очень красивое доказательство», — сказал Гордон. По его словам, не было причин ожидать, что узел, созданный Пиччирилло, поддастся с-инварианту Расмуссена. «Однако подход сработал, что даже удивительно».
Доказательство Пиччирилло «встаёт в один ряд с короткими и неожиданными доказательствами неуловимых результатов, которые исследователи в этой области способны быстро переварить, восхититься и попытаться обобщить – не говоря уже о том, чтобы удивляться, почему до этого никто так долго не мог додуматься», — написал Грин в емейле.
Следы узлов – это классический инструмент, существовавший несколько десятилетий, однако Пиччирилло разобралась в нём лучше других, сказал Грин. По его словам, её работа показала топологам, что следы узлов недооценены. «Она взяла кое-какие немного запылённые инструменты, — сказал он. – И теперь другие уже следуют её примеру».
