[Перевод] 10 крупнейших математических достижений последних лет
Апериодическая мозаика Соколара-Тейлора
В последнее время я работаю над своей книгой «Математика 1001», делаю дополнения для следующей редакции, которая будет издана за рубежом. Поэтому я отслеживаю математические достижения, случившиеся примерно с 2009 года. И я решил представить вам десятку самых важных событий по этой теме с того времени, в порядке субъективного увеличения важности.
10. Синъити Мотидзуки заявил о доказательстве им abc-гипотезы. Событие попало в конец списка, поскольку до сих пор его доказательство не поддержано большим кругом математиков. Иначе оно занимало бы первое место. А пока, к разочарованию заинтересованных сторон, оно находится в лимбе.
9. Тернарная проблема Гольдбаха. «Начиная с 7, любое нечётное число является суммой трёх простых». Ещё с 1937 года это утверждение верно для достаточно больших нечётных чисел, но в 2013 году перуанский математик Харальд Гельфготт проверил это утверждение на компьютере для чисел вплоть до 1030. Независимо от него это сделал и Дэвид Плат.
8. Вьетнамский математик Нго Бао Тяу доказательством фундаментальной леммы, составляющей часть программы Ленглендса. Ужасно техническое, но очень важное событие программы.
7. 17 подсказок судоку. В 2012 году Макгуайр, Тьюгеман и Чиварио доказали, что минимальное количество подсказок, уникальным образом идентифицирующих задачу в Судоку, равно 17. Хотя и не каждый набор из 17 подсказок приводит к уникальному решению, теорема говорит, что нельзя построить допустимую задачу только на 16-и подсказках.
6. Гомотопическая теория типов / аксиома унивалентности. Новый подход к основам математики под руководством Владимира Воеводского привлекает пристальное внимание. Кроме математического интереса, она обещает так модифицировать язык высшей математики, чтобы сделать его более пригодным для компьютеризированной обработки.
5. Нетриангулируемые многообразия. На шестом месте списка – удивительное открытие Киприана Манолеску [Ciprian Manolescu] по поводу нетриангулируемых многообразий в измерениях от 5 и выше.
4. Мозаика Соколара-Тейлора. Известна мозаика Пенроуза – набор плиток, которыми можно замостить плоскость, но при этом только апериодически. Много лет существовал вопрос – возможно ли сделать это при помощи только одной плитки. Джоан Тейлор и Джошуа Соколар обнаружили такую плитку.
3. Окончание проекта «Флайспек». В 1998 году Томас Хейлс объявил о получении доказательства гипотезы Кеплера по поводу наиболее эффективного способа упаковки пушечных ядер. К сожалению, его доказательство было слишком длинным и включало большое количество вычислительных вставок, в связи с чем проверявшие его люди не смогли завершить проверку. Поэтому Хейлс с командой взялись за это самостоятельно, призвав на помощь вспомогательные компьютерные программы Isabelle и HOL Light. Результат работы стал значимой вехой не только в дискретной геометрии, но и в системах автоматического получения доказательств.
2. Разбиение чисел. Сколькими способами можно записать положительное целое число в виде суммы меньших чисел? В 2011 году Кен Оно и Ян Брюинье предложили ответ на этот старый вопрос.
1. Интервалы между простыми числами. Неудивительно, что это достижение попало на первое место. Этот замечательный результат получил Чжан Итан в 2013 году. Он доказал, что существует бесконечно много последовательных простых чисел с разностью не более 70 миллионов. Последовавший за этим ажиотаж привёл к тому, что Джеймс Мэйнард и проект Polymath, организованный Теренсом Тао, уменьшили это число до 246.
Но! Но?..
Где же работа Хейрера по уравнению KPZ (Kardar–Parisi–Zhang)? Что насчёт новых примеров Фридмана о неполноте? Что я могу сказать – мы тут просто развлекаемся. Если вы считаете, что я неправ – составьте свой собственный лист.
В качестве бонуса – прогресс в вычислительных доказательствах.
- Обобщённая непрерывная дробь для числа π подсчитана до 15 миллиардов первых членов.
- Десятичное представление числа π подсчитано до 13,3 триллионов цифр
- В поисках совершенного кубоида (целочисленный кирпич) — это прямоугольный параллелепипед, у которого все семь основных величин (три ребра, три лицевых диагонали и пространственная диагональ) являются целыми числами. Пока ясно, что если он и существует, то длина одной из его сторон будет не меньше, чем 3 триллиона.
- Проблема Гольдбаха (утверждение о том, что любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел) проверена вплоть до числа 4 * 1018.
- Наибольшая известная пара простых чисел-близнецов – числа с обеих сторон числа 3756801695685 × 2666669.
- Наибольшее из известных простых чисел и 48-е из известных чисел Мерсенна – 257885161-1.
- В энциклопедии центров треугольников уже 7719 записей.
- Длиннейшая из известных оптимальных линеек Голомба теперь имеет порядок 27: (0, 3, 15, 41, 66, 95, 97, 106, 142, 152, 220, 221, 225, 242, 295, 330, 338, 354, 382, 388, 402, 415, 486, 504, 523, 546, 553)
- Самое впечатляющее достижение в факторизации целых чисел (разложение на простые множители) при помощи классических компьютеров – число из 232 цифр RSA-768:
1230186684530117755130494958384962720772853569595334792197322452 1517264005072636575187452021997864693899564749427740638459251925 5732630345373154826850791702612214291346167042921431160222124047 9274737794080665351419597459856902143413
разложенное в два простых числа из 116 цифр:
3347807169895689878604416984821269081770479498371376856891243138 8982883793878002287614711652531743087737814467999489
и
3674604366679959042824463379962795263227915816434308764267603228 3815739666511279233373417143396810270092798736308917
- А при помощи квантового компьютера — пока только 56153 = 233 * 241
- Гипотеза Коллатца проверена для чисел вплоть до 2 * 1021
